高考数学一轮复习 14导数的应用课时作业 文 北师大版

高考数学一轮复习 14导数的应用课时作业 文 北师大版
一、选择题
1．函数 f (x )＝(x －3)e x
的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)
D ．(2，＋∞)
解析：f ′(x )＝(x －3)′e x
＋(x －3)(e x
)′＝(x －2)e x
， 令f ′(x )>0，解得x >2. 答案：D
2．已知函数 f (x )的导数为f ′(x )＝4x 3
－4x ，且 f (x )的图象过点(0，－5)，当函数
f (x )取得极大值－5时，x 的值应为( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．±1
解析：可以求出 f (x )＝x 4
－2x 2
＋c ，其中c 为常数．
由于 f (x )过(0，－5)，所以c ＝－5，又由f ′(x )＝0，得极值点为x ＝0和x ＝±1.又x ＝0时， f (x )＝－5，故x 的值为0.
答案：B
3．若函数 f (x )＝ax 3
－3x 在(－1,1)上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <1 B ．a ≤1 C ．0<a <1
D ．0<a ≤1
解析：∵f ′(x )＝3ax 2－3，由题意f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立．若a ≤0，显然有
f ′(x )<0；若a >0，由f ′(x )≤0得－
1
a
≤x ≤
1
a
，于是
1
a
≥1，∴0<a ≤1，综上知a ≤1.
答案：B
4．函数 f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2
在x ＝1处有极值10，则( ) A ．a ＝－11，b ＝4 B ．a ＝－4，b ＝11 C ．a ＝11，b ＝－4
D ．a ＝4，b ＝－11
解析：由 f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋a 2
， 得f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋b ，
根据已知条件⎩⎪⎨
⎪⎧ f ′
1＝0，f 1＝10，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
2a ＋b ＋3＝0，a 2
＋a ＋b ＋1＝10.
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝4，
b ＝－11，或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－3，
b ＝3.(经检验应舍去)．
答案：D
5．已知 f (x )＝2x 3
－6x 2
＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]
上的最小值是( )
A ．－37
B ．－29
C ．－5
D ．以上都不对
解析：∵f ′(x )＝6x 2
－12x ＝6x (x －2)，
∵ f (x )在(－2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数， ∴当x ＝0时， f (x )＝m 最大．∴m ＝3，从而f (－2)＝－37，
f (2)＝－5.∴最小值为－37.
答案：A
6．（2011年山东高考理9）函数2sin 2
x
y x =
-的图象大致是（ ）
解析：因为12cos 2y x '=
-,所以令12cos 02y x '=->,得1
cos 4x <,此时原函数是增函数;令12cos 02y x '=-<,得1
cos 4
x >,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得选C
正确.
答案：C 二、填空题
7． f (x )＝x (x －c )2
在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________． 解析： f (x )＝x 3
－2cx 2
＋c 2
x ，f ′(x )＝3x 2
－4cx ＋c 2
，
f ′(2)＝0⇒c ＝2或c ＝6.若c ＝2，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4，
令f ′(x )>0⇒x <23或x >2，f ′(x )<0⇒2
3
<x <2，
故函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23及(2，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，2上单调递减，∴x ＝2是极小值点．故c ＝2不合题意，c ＝6.
答案：6
8．(2011年广东省中山市实验高中高三第一次月考)若函数 f (x )＝2x 2
－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是__________ .
解析：求导，可求得 f (x )的递增区间为(12，＋∞)，递减区间为(0，1
2)．函数 f (x )＝
2x 2
－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则
⎩⎪⎨⎪⎧
0≤k －1<1
2k ＋1>12
，解得1≤k <3
2
.
答案：1≤k <3
2
9．(2010年福建厦门3月质检)已知函数 f (x )＝(m －2)x 2
＋(m 2
－4)x ＋m 是偶函数，函数g (x )＝－x 3
＋2x 2
＋mx ＋5在(－∞，＋∞)内单调递减，则实数m 等于( )
A ．2
B ．－2
C ．±2
D ．0
解析：若 f (x )＝(m －2)x 2
＋(m 2
－4)x ＋m 是偶函数， 则m 2
－4＝0，m ＝±2.若g ′(x )＝－3x 2
＋4x ＋m <0恒成立， 则16＋4×3m <0，解得m <－4
3，故m ＝－2.
答案：B 三、解答题
10．已知向量a ＝(x 2
，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )．若函数 f (x )＝a·b 在区间(－1,1)上是增函数，求t 的取值范围．
解： f (x )＝a·b ＝x 2(1－x )＋t (x ＋1) ＝－x 3
＋x 2
＋tx ＋t ， ∴f ′(x )＝－3x 2
＋2x ＋t . ∵ f (x )在(－1,1)上是增函数，
∴－3x 2
＋2x ＋t ≥0在x ∈(－1,1)上恒成立． ∴t ≥3x 2
－2x ，令g (x )＝3x 2
－2x ，x ∈(－1,1)．
∴g (x )∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－13，5，∴t ≥5. 11．已知函数 f (x )＝13
x 3＋x 2
－2.
(1)设{a n }是正数组成的数列，前n 项和为S n ，其中a 1＝3，若点(a n ，a n ＋12
－a n ＋1)(n ∈N *
)在函数 y ＝f ′(x )的图象上，
求证：点(n ，S n )也在 y ＝f ′(x )的图象上； (2)求函数 f (x )在区间(a －1，a )内的极值．
解：(1)证明：因为 f (x )＝13
x 3＋x 2－2，所以 f ′(x ) ＝x 2＋2x .由点(a n ，a n ＋12
－2a n ＋
1
)(n ∈N *)在函数 y ＝f ′(x )的图象上，得a n ＋12－2a n _1＝a n 2
＋2a n ，即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)
＝0.
又a n >0(n ∈N *
)，所以a n ＋1－a n ＝2.
又因为a 1＝3，所以数列{a n }是以3为首项，公差为2的等差数列．所以S n ＝3n ＋n n －1
2
×2＝n 2
＋2n ，又因为 f ′(n )＝n 2
＋2n ，所以S n ＝ f ′(n )．
故点(n ，S n )也在函数 y ＝f ′(x )的图象上． (2)解： f ′(x )＝x 2
＋2x ＝x (x ＋2)， 由 f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－2.
当x 变化时， f ′(x )、 f (x )的变化情况如下表：
注意到|(a －1)－a |＝1<2，从而
①当a －1<－2<a ，即－2<a <－1时， f (x )的极大值为 f (－2)＝－2
3，此时 f (x )无极
小值；
②当a －1<0<a ，即0<a <1时， f (x )的极小值为 f (0)＝－2，此时 f (x )无极大值； ③当a ≤－2或－1≤a ≤0或a ≥1时， f (x )既无极大值又无极小值．
12．(2011年湖北八校)已知函数F (x )＝－14x 4＋ax 3
＋a 2
＋5a －22x 2＋b .(a ，b 为常数)
(1)当a ＝1时，F (x )＝0有两个不相等的实根，求b 的取值范围；
(2)若F (x )有三个不同的极值点0，x 1，x 2.a 为何值时，能使函数F (x )在x 1(或者x 2)处取得的极值为b?
(3)若对任意的a ∈[－1,0]，不等式F (x )≥－8在[－2,2]上恒成立，求b 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，F (x )＝－14x 4＋x 3＋2x 2＋b ，F (x )＝0⇔b ＝14x 4－x 3－2x 2
，记g (x )＝14x
4－x 3
－2x 2
，则g ′(x )＝x 3
－3x 2
－4x ＝x (x ＋1)(x －4)，
令g ′(x )＝0，得x ＝－1,0,4，当x 变化时，g ′(x )、g (x )的变化情况如下表：
x (－∞，－1)
－1 (－1,0) 0 (0,4) 4 (4，＋∞) g ′(x ) －
0 ＋
0 －
0 ＋
g (x )
极小值
－34
极大值0
极小值－32
由已知，知直线y ＝b 与y ＝g (x )的图象有且只有两个公共点，所以，－32<b <－4
，或b >0，
∴b 的取值范围为(－32，－3
4
)∪(0，＋∞)．
(2)f ′(x )＝－x 3
＋3ax 2
＋(a 2
＋5a －2)x ＝－x [x 2
－3ax －(a 2
＋5a －2)]， 则x 1，x 2是x 2
－3ax －(a 2
＋5a －2)＝0的两个不相等的非零实根， ∴Δ＝9a 2
＋4(a 2
＋5a －2)＝13a 2
＋20a －8>0，且a 2
＋5a －2≠0(*) 不妨设F (x 1)＝b ，∴－14x 14＋ax 13
＋a 2
＋5a －22x 12＝0，即
∴－x 12
＋4ax 1＋2(a 2
＋5a －2)＝0① 又∵x 12
－3ax 1－(a 2
＋5a －2)＝0②
①＋②得ax 1＋(a 2
＋5a －2)＝0，即－(a 2
＋5a －2)＝ax 1③ 代入②，得
x 12－2ax 1＝0，∵x 1≠0，∴x 1＝2a ，代入③，得3a 2＋5a －2＝0，
∴a ＝－2或a ＝13.经检验，a ＝－2或a ＝13都满足(*)，故a ＝－2或a ＝1
3.
(3)当a ∈[－1,0]时，可知Δ＝13a 2
＋20a －8<0，
∴x 2
－3ax －(a 2
＋5a －2)>0恒成立，∴x >0时，f ′(x )<0；x <0时，f ′(x )>0. ∴F (x )在(－∞，0)内递增，在(0，＋∞)内递减，
∴F (x )在[－2,2]上的最小值min{F (－2)，F (2)}＝2a 2
＋18a －8＋b ≥－8恒成立， ∴b ≥－2a 2－18a ＝－2[(a ＋92)2－814]，当a ＝－1时，－2a 2
－18a 取最大值16，
所以b 的取值范围为[16，＋∞)．。