2016-2017学年高中数学第一章数列1.4数列在日常经济生活中的应用课后演练提升北师大版必修5

2016-2017学年高中数学第一章数列 1.4 数列在日常经济生活中的应用课后演练提升北师大版必修5
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．某商品的价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，最后一年的价格与原来的价格比较，变化情况是( )
A．不增不减B．约增1.4%
C．约减9.2% D．约减7.8%
解析：设原价为1，则现价为(1＋20%)2(1－20%)2＝0.921 6，∴1－0.921 6＝0.078 4，约减7.8%.
答案：D
2．某厂在2009年底制订生产计划，要使2019年底的总产量在原有基础上翻两番，则年平均增长率为( )
A．41
10－1 B．2
1
10
C．41
11－1 D．2
1
11
－1
解析：设年增长率为x,2009年总产量为1，到2019年底翻两番后的总产量为4，故
得1·(1＋x)10＝4，∴x＝41
10
－1.
答案：A
3．农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2006年某地区农民人均收入为3 150元(其中工资性收入为1 800元，其他收入为1 350元)，预计该地区自2007年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元，根据以上数据，2011年该地区农民人均收入介于( )
A．4 200元～4 400元B．4 400元～4 600元
C．4 600元～4 800元D．4 800元～5 000元
解析：从2007年起该地区农民人均工资性收入构成以1 800为首项，1＋6%为公比的等比数列，其他收入构成以1350为首项，160为公差的等差数列，则2011年该地区农民人均收入为T＝1 800(1＋6%)5＋1 350＋5×160＝1 800×(1＋0.06)5＋2 150，显然T＝1 800×(1＋0.06)5＋2 150≈4 559.
答案：B
4．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还( )
A.a 1＋γ1＋γ5
－1万元 B.aγ1＋γ51＋γ5
－1
万元 C.aγ1＋γ51＋γ4
－1
万元 D.
aγ1＋γ
5
万元
解析： 设每年偿还x 万元，则：x ＋x (1＋γ)＋x (1＋γ)2
＋x (1＋γ)3
＋x (1＋γ)4
＝
a (1＋γ)5
，∴x ＝aγ1＋γ5
1＋γ5
－1
. 答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．随着计算机技术的迅猛发展，电脑的价格不断降低，若每隔4年电脑的价格降低三分之一，则现在价格8 100元的电脑12年后的价格可降为________元．
解析： 8 100×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－133
＝2 400.
答案： 2 400
6．银行一年定期储蓄存款年息为r ，三年定期储蓄存款年息为q ，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q 的值应略大于________．
解析： 设储户开始存入银行的款数为a ， 由题意，有a (1＋3q )＞a (1＋r )3
， 解得q ＞13[(1＋r )3
－1]．
答案： 13
[(1＋r )3
－1]
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．用分期付款的方式购置家用电器一件，价格为1 150元，购置当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的第一个月开始作为分期付款的第一个月，第20个月付清．则分期付款的第10个月应该付多少钱？全部货款付清后，买这件家电实际花了多少钱？
解析： 购置时付150元，则欠款1 000元，依题意分20次付清，则每次交付款的数额顺次构成数列{a n }．a 1＝50＋1 000×0.01＝60(元)，a 2＝50＋(1 000－50)×0.01＝59.5(元)，…，a n ＝50＋[1 000－50(n －1)]×0.01＝[60－(n －1)×0.5]元，所以数列{a n }是以60为首项，－0.5为公差的等差数列，
所以a 10＝60－9×0.5＝55.5(元)，
S 20＝60×20－
20×19×0.5
2
＝1 105(元)， 所以实际付款共为1 105＋150＝1 255元．
8．某人在年初用16万元购买了一套住房，付现金6万元，按合同余款分6年付清，年
利率为10%，每年以复利计算，问每年年底应支付出多少元？
解析： 余款10万元6年的本利和是105
×(1＋0.1)6
＝105
×1.16
. 设每年年底应支付款为a 元，支付6次的本利和应是
a ＋a (1＋0.1)＋a (1＋0.1)2＋…＋a (1＋0.1)5
＝a ·1.16
－11.1－1
＝10a (1.16
－1)．
由105
×1.16
＝10a (1.16
－1)得a ＝104
×1.1
6
1.16
－1
≈22 960(元)． ∴每年年底应支付22 960元． 尖子生题库
☆☆☆
9．(10分)某行政部门进行机构改革，对部分人员实行分流，规定分流人员分流后的第一年可以到原单位按100%领取工资，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年的2
3领取
工资．该部门根据分流人员的技术特长，在分流的同时，组织这些人员创办经济实体，预计经济实体第一年属投资阶段，没有利润，第二年每人可获得b 元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50%.如果某人分流前工资收入为每年a 元，分流后的第n 年年总收入为a n .
(1)求a n ；
(2)当b ＝8a
27时，这个人分流后的哪一年收入最少？最少收入多少？
解析： (1)由题意得当n ＝1时，a 1＝a ，
分流后的第n (n ≥2)年，该人在原单位拿a ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1
元，
在新单位拿b ⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2
元．
当n ≥2时，a n ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＋b ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32n －2
.
故a n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
a ，n ＝1，a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫23n －1＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2
，n ≥2.
(2)由于b ＝8a
27
，当n ≥2时，
a n ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＋8a 27⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＝a ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －5 ＝a ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫234⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －5，
令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －5,0<t ≤278，则a n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1681t ＋1t a . 依据函数单调性的知识可得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1681t ＋1t a 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤94，278上单调递增，在⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，94上单调递
减．
所以当t ＝94，即n ＝3时，a n 有最小值为8a
9元．。