例谈含轻弹簧类问题的求解策略

ʏ重庆市巫山第二中学 谭天爵
轻弹簧是指不计质量的弹簧模型,遇到含轻弹簧类问题时,需要在正确进行受力分
析的前提下,灵活选用胡克定律㊁平衡条件㊁牛顿第二定律㊁动能定理㊁机械能守恒定律,以及功能关系等物理规律列式求解㊂下面通过不同类型含轻弹簧问题的分析,展示此类问题的求解策略,供同学们参考㊂
一、水平面内含轻弹簧问题的求解
1.
由轻弹簧连接的物体静止㊂当由轻弹簧连接的物体静止时,物体处于平衡状态,轻弹簧的弹力处处相等,合理选择研究对象,正确进行受力分析,根据平衡条件列式求解即可
㊂
图1
例1 如图1所示,由
轻弹簧连接的物块A 和B 放置在粗糙水平地面上,物
块A 和B 的质量分别为m A ㊁m B ,
且m A <m B ,
轻弹簧的原长为L ,劲度系数为k ,两物块与水平地面间的动摩擦因数均为μ㊂假定物块与水平地面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力㊂现用手按住物块A ,将物块B 向右拉一段距离,放手后使两物块静止在水平地面上,则两物块间的距离可能是( )
㊂A.L +μk
m A g
B .L +μ2k (
m A +m B )g
C .L +μ
k
m B g
D .L +μ
2k
m A g
解析:用手按住物块A ,将物块B 向右
拉一段距离,放手后使两物块静止在水平地面上,轻弹簧被拉长,设轻弹簧的形变量为x ,根据胡克定律得F =k x ㊂选物块A 为研究对象,根据平衡条件得F =f ,且f ɤ
μm A g ,解得x ɤμk
m A g ㊂因为m A <m B ,所以m A +m B
2
>m A ㊂因此两物块间的距离s =
L +x ɤL +μ
k
m A g ㊂
答案:A D
2.由轻弹簧连接的物体做匀加速直线运动㊂
当由轻弹簧连接的物体做匀加速直线运动时,合理选择研究对象,根据牛顿第二定律可以求出物体的加速度,以加速度为桥梁可以求解相关的动力学问题㊂轻弹簧的弹力与形变量成正比,一般情况下不发生突变;若轻弹簧一端与物体脱离,则轻弹簧的弹力将突变为零㊂
例2 如图2所示,2024个质量均为
m 的小球通过完全相同的轻弹簧相连,在水平拉力F 的作用下,一起沿光滑水平面以加速度a 向右做匀加速直线运动,轻弹簧始终处在弹性限度内㊂设小球1和2间轻弹簧的弹力为F 1,小球2和3间轻弹簧的弹力为F 2, ,小球2023和2024间轻弹簧的弹
力为F 2023,
则下列说法中错误的是( )㊂图2
A.F 1ʒF 2ʒF 3ʒ ʒF 2023=1ʒ2ʒ
3ʒ ʒ2023
B .
从左到右每根轻弹簧的形变量之比为1ʒ2ʒ3ʒ ʒ2023
C .
如果突然撤去拉力F ,那么撤去拉力F 的瞬间,小球2024的加速度为
2024F
2023m
D .
如果小球1和2间的轻弹簧从小球1连接处脱落,那么脱落瞬间小球1的加速度
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2解题篇 经典题突破方法 高考理化 2024年1月
为0,小球2的加速度为2a ,其余小球的加速度依然为a
解析:选小球1为研究对象,根据牛顿第
二定律得F 1=m a ;选由小球1和2组成的整体为研究对象,同理得F 2=2m a ;
选由小球1㊁2㊁3组成的整体为研究对象,
同理得F 3=3m a ; ;选由小球1㊁2㊁3㊁ ㊁2023组成的整体为研究对象,同理得F 2023=2023m a ㊂因此F 1ʒF 2ʒF 3ʒ ʒF 2023=
1ʒ2ʒ3ʒ ʒ2023
,选项A 正确㊂根据胡克定律可知,弹簧形变量与弹簧弹力成正比,即从左到右每根轻弹簧的形变量之比Δx 1ʒΔx 2ʒΔx 3ʒ ʒ
Δx 2023=F 1ʒF 2ʒF 3ʒ ʒF 2023=1
ʒ2ʒ3ʒ ʒ2023
,选项B 正确㊂突然撤去拉力F 的瞬间,
小球间轻弹簧的弹力保持不变,即F 2023=
2023m a ,设小球2024的加速度为a ',则F 2023=m
a ',又有F =2024m a ,解得a '=
2023F
2024m
,选项C 错误㊂小球1和2间的轻弹簧从小球1连接处脱落瞬间,小球1和2间的轻弹簧的弹力突变为零,小球1所受合力为零,其加速度为零,小球2仅受小球2和3间轻弹簧的弹力,
且小球2和3间的轻弹簧的弹力不发生突变,根据牛顿第二定律得F 2=m a 2,
又有F 2=2m a ,解得小球2的加速度a 2=2a ,其余小球的受力情况不变,加速度依然为a ,选项D 正确㊂
答案:C
3.由轻弹簧连接的两个物体做速度不同的运动㊂
当由轻弹簧连接的两个物体做速度不同的运动时,合理选用整体法和隔离法进行受力分析,根据物体的受力情况判断物体的运动情况,利用牛顿第二定律㊁机械能守恒定律或动量守恒定律列式可以求解相关的动力学问题
㊂
图3
例3 如图3所示,由
轻弹簧连接的物块A 和B 放置在光滑水平地面上,轻
弹簧的原长为l ,物块A 的质量为3m ,物块B 的质量为m ,
轻弹簧始终处于弹性限度内㊂现使物块A 瞬间获得向右的初速度v 0,
在轻弹簧再次恢复至原长的过程中,以下判断正确的是( )
㊂A.
物块A 的速度先减小后增大B .物块B 的加速度先增大后减小C .
任意时刻,物块A 和B 的速度大小之比均为1ʒ3
D .
任意时刻,物块A 和B 的加速度大小之比均为1ʒ3
解析:物块A 瞬间获得向右的初速度
v 0,
轻弹簧被压缩,在轻弹簧再次恢复至原长的过程中,物块A 始终受到向左的弹力,做初速度为v 0的减速运动,物块B 始终受到向右的弹力,做初速度为零的加速运动,轻弹簧的弹力先增大后减小,物块B 的加速度先增大后减小,选项A 错误,B 正确㊂水平地面光滑,由物块A 和B ㊁轻弹簧组成的系统在水平方向上的动量守恒,任意时刻均有3m v 0=
3m v 1+m v 2,则v 1ʒv 2=v 1ʒ3(v 0-v 1)ʂ1ʒ3,选项C 错误㊂任意时刻,轻弹簧对物块A ㊁B 的弹力大小相等,方向相反,根据牛顿第二定律F =m a 可知,物块A 和B 的加速度大小之比为a 1ʒa 2=
1ʒ3,选项D 正确㊂答案:B D
二、竖直面内含轻弹簧问题的求解
1.
由轻弹簧连接的物体静止㊂当由轻弹簧连接的物体在竖直面内静止时,物体处于平衡状态,合理选择研究对象,正确进行受力分析,根据平衡条件列方程式依然是求解相关动力学问题的必要过程㊂若物体由轻绳和轻弹簧共同连接,突然剪断轻绳或轻弹簧瞬间,则需要根据轻绳和轻弹簧的力学特性,确定物体的受力情况,推断物体的运动情况
㊂
图4
例4 如图4所示,
一物块P 静置在粗糙水平桌面上,一根水平轻绳将其连接在竖直放置的轻弹簧
上端,连接点为O ㊂另外一根轻绳的一端也与O 点相
连,另一端固定在竖直墙壁上的Q 点㊂轻绳O Q 与竖直墙壁间的夹角α=53ʎ
,物块P 处于静止状态,弹簧的劲度系数k =200N /m ,
3 解题篇 经典题突破方法 高考理化 2024年1月
形变量x =3c m ,已知s i n 53ʎ=0.8,c o s 53ʎ
=0.6㊂下列说法中正确的是( )
㊂A.
弹簧的弹力为6N B .桌面对物块P 的摩擦力为10N C .水平轻绳的拉力为10N
D .
倾斜轻绳的拉力为8N 解析:根据胡克定律得F =k x =6N ,
即弹簧的弹力为6N ,选项A 正确㊂选结点O
为研究对象,进行受力分析,如图5甲所示,根据平衡条件得T 2s i n α=T 1,T 2c o s α=F ,解得水平轻绳的拉力T 1=8N ,倾斜轻绳的
拉力T 2=10N ,选项C ㊁D 错误㊂选物块P 为研究对象,进行受力分析,如图5乙所示,
根据平衡条件得T 1=f ,解得桌面对物块P 的摩擦力f =8N ,
选项B 错误㊂图5
答案:A
2.
由轻弹簧连接的物体绕轴转动㊂当由轻弹簧连接的物体绕轴转动时,根据物体的运动情况,确定物体的受力情况,利用圆周运动规律可以求解相关的动力学问题㊂若物体由轻杆和轻弹簧共同连接,则需要注意轻杆和轻弹簧的力学特性,确定物体的受力情况,推断物体的运动情况
㊂
图6
例5 如图6所示,一
根光滑竖直杆固定在一足够大水平光滑圆台的中央,一根轻弹簧套在竖直杆上,A ㊁B ㊁C 三个小球用两根轻杆通
过光滑铰链连接,小球A 套
在竖直杆上,并与轻弹簧的上端拴接㊂已知轻弹簧的原长与两根轻杆的长度均为L ,三个小球的质量均为m ㊂当系统处于静止状态时,两根轻杆与竖直方向间的夹角θ=37ʎ
㊂当小球B ㊁C 以相同的角速度ω0绕竖直杆匀速转动时,小球B ㊁C 恰好要脱离圆台,此时两根轻杆与竖直方向间的夹角为θ0㊂弹簧始终在弹性限度内,重力加速度为g ,s i n 37ʎ=
35,c o s 37ʎ=4
5
㊂下列判断正确的是( )㊂A.
系统静止时,弹簧的形变量为2L
5
B .
弹簧的劲度系数为5m g
2L
C .小球B ㊁C 绕竖直杆转动的角速度ω0=
5g
2L
D .两根轻杆与竖直方向间的夹角θ0的余弦值c o s θ0=
2
5
解析:当系统处于静止状态时,弹簧的形变量x =L -L c o s θ,
解得x =L
5
,选项A 错误㊂选小球B (小球C )为研究对象,根据平衡条件可得,轻杆对小球B 的作用力为零,
同理得轻杆对小球A 的作用力也为零㊂选小球A 为研究对象,根据平衡条件得k x =
m g ,
解得k =5m g L
,
选项B 错误㊂当小球B ㊁C 以相同的角速度ω0绕竖直杆匀速转动时,小球B ㊁C 恰好要脱离圆台,对圆台无弹力,由小球A ㊁B ㊁C 组成的系统在竖直方向上所受合力为零,即k (L -L c o s θ0)
=3m g ,解得c o s θ0=
2
5
,选项D 正确㊂选小球B (小球C )为研究对象,根据向心力公式得m g t a n θ0=
m ω2
0L s i n θ0,
解得ω0=5g 2L
,
选项C 正确㊂答案:C D
总结:求解含轻弹簧的动力学问题时,需要先确定轻弹簧是处于拉伸㊁压缩还是原长状态,明确弹簧弹力的方向;再对研究对象进行分析受力,研究对象可以是单个物体,也可以是由多个物体组成的系统,需要具体情况具体分析;然后根据物体的受力情况或运动情况,选用合适的物理规律列式求解,若物体处于共点力平衡状态,则可以利用平衡条件列式求解,若物体处于变速运动状态,则可以利用牛顿第二定律分析与讨论㊂
(责任编辑 张 巧)
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3解题篇 经典题突破方法 高考理化 2024年1月。