必修5第三单元《不等式》单元复习(复习设计)

必修5第三章 《不等式〉单元复习（复习设计）
一、知识结构（课时必记） 1、不等式的基本性质
①（对称性）a b b a >⇔> ②（传递性）,a b b c a c >>⇒>
③（可加性）a b a c b c >⇔+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+⇒>>, ④（可积性）bc ac c b a >⇒>>0, bc ac c b a <⇒<>0,
⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒> ⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且 ⑧（倒数法则）b
a b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>> 2、几个重要不等式
①()2
2
2a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22
.2
a b ab +≤ ②（基本不等式）
2
a b
ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b ab +≥ 2
.2a b ab +⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. 3、不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比较法（作差法）、综合法、分析法； 4 0>∆
0=∆
0<∆
二次函数
c bx ax y ++=2
（0>a ）的图象
c bx ax y ++=2
c bx ax y ++=2
c bx ax y ++=2
一元二次方程
()的根
00
2>=++a c bx ax
有两相异实根 )(,2121x x x x <
有两相等实根
a
b x x 221-== 无实根
的解集)0(02>>++a c bx ax
{}2
1
x x x x x ><或
⎭⎬⎫⎩
⎨⎧-≠a b x x 2
R
的解集
)0(02><++a c bx ax
{}21
x x x
x <<
∅
∅
规律：当二次项系数为正时，小于夹中间，大于取两边.
5、分式不等式的解法：1）移项；2）通分；3）转化为等价的整式不等式。

如：
()
0()()0()
()()0()
0()0
()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （<≤“或”
时同理） 规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 6、指数不等式的解法：（同底化） ⑴当1a >时,()
()()()f x g x a
a f x g x >⇔>
⑵当01a <<时, ()
()()()f x g x a
a f x g x >⇔<
规律：根据指数函数的性质转化.（同底化） 7、对数不等式的解法
⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪
>⇔>⎨⎪>⎩
⑵当01a <<时, ()0log ()log ()()0
.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪
>⇔>⎨⎪<⎩
规律：根据对数函数的性质转化. 8、含绝对值不等式的解法： ⑴定义法：(0)
.(0)
a a a a a ≥⎧=⎨
-<⎩ ⑵平方法：22()()()().f x g x f x g x ≤⇔≤
⑶同解变形法，其同解定理有：
①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或 ③()()()()()(()0)f x g x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥ ④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或
规律：关键是去掉绝对值的符号.
9、恒成立问题（三个二次的关系，結合二次函數的圖象進行分析） ⑴不等式2
0ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：
①当0a =时 0,0;b c ⇒=> ②当0a ≠时0
0.
a >⎧⇒⎨
∆<⎩
⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：
①当0a =时0,0;b c ⇒=< ②当0a ≠时0
0.
a <⎧⇒⎨
∆<⎩
⑶()f x a <恒成立max ();f x a ⇔< ()f x a ≤恒成立max ();f x a ⇔≤ ⑷()f x a >恒成立min ();f x a ⇔> ()f x a ≥恒成立min ().f x a ⇔≥
10、线性规划问题
⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断： 取点定域法：
由于直线0Ax By C ++=的同一侧的所有点的坐标代入Ax By C ++后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点00(,)x y （如原点），由00Ax By C ++的正负即可判断出0Ax By C ++>(或0)<表示直线哪一侧的平面区域.
即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点. ⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：
不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. ⑶利用线性规划求目标函数z Ax By =+(,A B 为常数）的最值： 法一：角点法：
如果目标函数z Ax By =+ （x y 、即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z 值，最大的那个数为目标函数z 的最大值，最小的那个数为目标函数z 的最小值 法二：画——移——定——求：
第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线0:0l Ax By += ，平移直线0l （据可行域，将直线0l 平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解(,)x y ；第四步，将最优解(,)x y 代入目标函数
z Ax By =+即可求出最大值或最小值 .
第二步中最优解的确定方法：
利用z 的几何意义：A z y x B B =-+,z
B
为直线的纵截距. ①若0,B >则使目标函数z Ax By =+所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最小值；
②若0,B <则使目标函数z Ax By =+所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最大值.
⑷常见的目标函数的类型：
①“截距”型：;z Ax By =+ ②“斜率”型：y z x =或;y b
z x a
-=
-
③“距离”型：2
2
z x y =+或z =
22()()z x a y b =-+-或z =
在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.
二、例题选讲：
例1：解下列不等式：
(1)2x 2＋7x ＋3＞0； (2)x 2－4x －5≤0； (3)－4x 2＋18x －81
4≥0；
(4)－1
2
x 2＋3x －5＞0； (5)－2x 2＋3x －2＜0.
[解] (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－1
2.
又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为{x |x ＞－1
2
，或x ＜－3}．
(2)原不等式可化为(x －5)(x ＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x |－1≤x ≤5}．
(3)原不等式可化为⎝
⎛⎭⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫x |x ＝94. (4)原不等式可化为x 2－6x ＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x 2－6x ＋10＝0无实根，又二次函数y ＝x 2－6x ＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.
(5)原不等式可化为2x 2－3x ＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R . 例2：解下列不等式：
(1)x ＋23－x ≥0； (2)2x －1
3－4x
>1. 解：(1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧
(x ＋2)(3－x )≥0，3－x ≠0，
即⎩⎨⎧
(x ＋2)(x －3)≤0，
x ≠3
⇒－2≤x <3. ∴原不等式的解集为{x |－2≤x <3}． (2)原不等式可化为2x －13－4x －1>0，即3x －2
4x －3<0.
等价于(3x －2)(4x －3)<0. ∴23<x <3
4
. ∴原不等式的解集为{x |23<x <34}.
例3：解关于x 的不等式x 2＋(1－a )x －a ＜0.
[解] 方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a ，函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象开口向上，则当a ＜－1时，原不等式解集为{x |a ＜x ＜－1}；
当a ＝－1时，原不等式解集为∅；
当a ＞－1时，原不等式解集为{x |－1＜x ＜a }．
例4：关于x 的不等式(1＋m )x 2＋mx ＋m ＜x 2＋1对x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．
[解] 原不等式等价于mx 2＋mx ＋m －1＜0，对x ∈R 恒成立， 当m ＝0时，0·x 2＋0·x －1＜0对x ∈R 恒成立． 当m ≠0时，由题意，得
⎩⎪⎨
⎪⎧ m ＜0，Δ＝m 2－4m (m －1)＜0⇔⎩⎪⎨⎪⎧
m ＜0，
3m 2
－4m ＞0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧
m ＜0，m ＜0，或m ＞43
⇔m ＜0. 综上，m 的取值范围为m ≤0.
例5：某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
[解] 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤300，
500x ＋200y ≤90 000，x ≥0，y ≥0.
目标函数为z ＝3 000x ＋2 000y .
二元一次不等式组等价于⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ≤300，
5x ＋2y ≤900，x ≥0，y ≥0.
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图．
作直线l ：
3 000x ＋2 000y ＝0， 即3x ＋2y ＝0.
平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值．
联立⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900，
解得x ＝100，y ＝200.
∴点M 的坐标为(100,200)．
∴z 最大值＝3 000x ＋2 000y ＝700 000(元)．
因此，该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．
例6：(1)已知m ，n ＞0，且m ＋n ＝16，求1
2mn 的最大值．
(2)已知x ＞3，求f (x )＝x ＋4
x －3
的最小值；
(3)设x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，求1x ＋1
y 的最小值．
[解] (1)∵m ，n ＞0且m ＋n ＝16， 所以由基本不等式可得mn ≤⎝
⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝
⎝⎛⎭
⎫1622
＝64， 当且仅当m ＝n ＝8时，mn 取到最大值64. ∴1
2mn 的最大值为32. (2)∵x ＞3，
∴x －3＞0，4
x －3
＞0，
于是f (x )＝x ＋4x －3＝x －3＋4
x －3
＋3≥2
(x －3)·4
x －3
＋3＝7，
当且仅当x －3＝4
x －3即x ＝5时，f (x )取到最小值7.
(3)法一：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋y ＝1， ∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 y x ·2x
y
＝3＋22， 当且仅当y x ＝2x
y ，即y ＝2x 时，等号成立，
解得x ＝1－
2
2
，y ＝2－1，
法二：1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·1＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y (2x ＋y )＝3＋2x y ＋y x ≥3＋2y x ·2x
y
＝3＋22， 例7：已知函数f (x )＝x 2－2x －8，g (x )＝2x 2－4x －16， (1)求不等式g (x )<0的解集；
(2)若对一切x >2，均有f (x )≥(m ＋2)x －m －15成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)g (x )＝2x 2－4x －16<0， ∴(2x ＋4)(x －4)<0，∴－2<x <4， ∴不等式g (x )<0的解集为{x |－2<x <4}． (2)∵f (x )＝x 2－2x －8.
当x >2时，f (x )≥(m ＋2)x －m －15恒成立， ∴x 2－2x －8≥(m ＋2)x －m －15， 即x 2－4x ＋7≥m (x －1)．
∴对一切x >2，均有不等式x 2－4x ＋7x －1≥m 成立．
而x 2－4x ＋7x －1＝(x －1)＋4x －1－2
≥2
(x －1)×4
x －1
－2＝2(当且仅当x ＝3时等号成立)，
∴实数m 的取值范围是(－∞，2]． 三、巩固作业：
1．不等式(x ＋3)2＜1的解集是( )
A ．{x |x ＞－2}
B ．{x |x ＜－4}
C ．{x |－4＜x ＜－2}
D ．{x |－4≤x ≤－2}
解析：选C 原不等式可化为x 2＋6x ＋8＜0， 解得－4＜x ＜－2.
2．设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则有( ) A ．M ＞N B ．M ≥N C ．M ＜N
D ．M ≤N
解析：选A 因为M －N ＝2a 2－4a －(a 2－2a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2＞0，所以M ＞N ，故选A. 3．下列命题中正确的是( )
A ．a ＞b ⇒ac 2＞bc 2
B ．a ＞b ⇒a 2＞b 2
C ．a ＞b ⇒a 3＞b 3
D ．a 2＞b 2⇒a ＞b
解析：选C 选项A 中，当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以A 不正确；选项B 中，当a ＝0，b ＝－1时a ＞b ，但a 2＜b 2，所以B 不正确；选项D 中，当a ＝－2，b ＝－1时，a 2＞b 2，但a ＜b ，所以D 不正确．很明显C 正确．
4．(2012·安徽高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，x ＋2y ≥3，
2x ＋y ≤3，则z ＝x －y 的最小值是( )
A.－3 B ．0 C.3
2
D ．3
解析：选A 可行域为如图所示的阴影部分，可知z ＝x －y 在点A (0,3)处取得
最小值，∴z 最小值＝－3.
5．设x ，y 为正数，则(x ＋y )⎝⎛⎭⎫
1x ＋4y 的最小值为( ) A ．6 B ．9 C ．12
D ．15
解析：选B x ，y 为正数，(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝1＋4＋y x ＋4x
y ≥9，当且仅当y ＝2x 等号成立，选B. 6．已知x >0，y >0.若2y x ＋8x
y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )
A ．m ≥4或m ≤－2
B ．m ≥2或m ≤－4
C ．－2<m <4
D ．－4<m <2
解析：选D ∵x >0，y >0.∴2y x ＋8x
y ≥8(当且仅当
2y x ＝8x
y
时取“＝”)． 若2y x ＋8x
y >m 2＋2m 恒成立，则m 2＋2m <8，解之得－4<m <2. 7．函数y ＝2－x －4
x (x ＞0)的值域为________．
解析：当x ＞0时，y ＝2－⎝⎛⎭⎫x ＋4
x ≤2－2 x ×4x ＝－2.当且仅当x ＝4
x
，x ＝2时取等号． 答案：(－∞，－2]
8．已知不等式x 2－ax －b ＜0的解集为(2,3)，则不等式bx 2－ax －1＞0的解集为________．
解析：方程x 2－ax －b ＝0的根为2,3.根据韦达定理得：a ＝5，b ＝－6，所以不等式为6x 2＋5x ＋1＜0，
解得解集为⎝⎛⎭⎫
－1
2
，－1
3.
答案：⎝⎛⎭⎫
－
1
2，－
1
3
9．设D是不等式组
⎩⎪
⎨
⎪⎧x＋2y≤10，
2x＋y≥3，
0≤x≤4，
y≥1，
表示的平面区域，则D中的点P(x，y)到直线x＋y＝10的距离
的最大值是________．
解析：画出可行域，由图知最优解为A(1,1)，故A到x＋y＝10的距离为d＝4 2.
答案：4 2
10．已知关于x的不等式kx2－2x＋6k＜0(k≠0)．
(1)若不等式的解集是{x|x＜－3或x＞－2}，求k的值；
(2)若不等式的解集是R，求k的取值范围．
解：(1)因为不等式的解集为{x|x＜－3或x＞－2}，所以－3，－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根且k ＜0 .
由根与系数的关系得
⎩
⎨
⎧(－3)×(－2)＝6，
(－3)＋(－2)＝
2
k
，
解得k＝－2
5.
(2)因为不等式的解集为R，
所以
⎩⎪
⎨
⎪⎧k＜0，
Δ＝4－4k·6k＜0，
即
⎩⎪
⎨
⎪⎧k＜0，
k＞
6
6
或k＜－6
6.
所以k＜－6
6.
即k的取值范围是
⎝
⎛
⎭
⎫
－∞，－6
6
.
11．一个农民有田2亩，根据他的经验，若种水稻，则每亩每期产量为400千克；若种花生，则每亩
每期产量为100千克，但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只要80元，且花生每千克可卖5元，稻米每千克只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润？
解：设水稻种x 亩，花生种y 亩，则由题意得
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤2，
240x ＋80y ≤400，x ≥0，y ≥0.
即⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤2，
3x ＋y ≤5，x ≥0，y ≥0，
画出可行域如图阴影部分所示
而利润P ＝(3×400－240)x ＋(5×100－80)y ＝960x ＋420y (目标函数)，
可联立⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝2，
3x ＋y ＝5，
得交点B (1.5，0.5)．
故当x ＝1.5，y ＝0.5时，
P 最大值＝960×1.5＋420×0.5＝1 650，
即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得到的利润最大．。