2020届甘肃省张掖市第二中学高三10月月考数学(理)试卷

2020届甘肃省张掖市第二中学高三10月月考
数学（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每題给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．设集合{|1A x =-≤x ≤2},B=},04|{2
R x x x x ∈>-,则)(B C A R ⋂=
A.［1,2］
B.［0,2］
C. ［1,4］
D.［0,4］ 2．设12:,10:≥<<x
q x p ，则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．5
12x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中3x 项的系数为 A. 80
B. -40
C. -80
D. 48
4．已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则()tan 2α的值为 A ．4
7
-
B ．
4
7
C ．
1
8
D ．18
-
5．设等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1=-15, a 3+a 5= -18,则当S n 取最小值时n 等于 A ．9
B ．8
C ．7
D ．6
6．函数()()1ln f x x x =-的图象可能为
A ．
B ．
C ．
D ．
7．若变量x ，y 满足条件0
02x y x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
，则2z x y =-的最大值是
A ．-4
B ．-2
C ．0
D ．2
8．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[
)0,+∞内单调递减，则 A ．()()()320log 2log 3f f f <<- B ．()()()32log 20log 3f f f <<- C ．()()()23log 3log 20f f f -<<
D ．()()()32log 2log 30f f f <-<
9．函数()sin y A x ωϕ=+()0,0,0A ωϕ>><<π的图象的一部分如图所示，则此函数的解析式为
A ．3sin y x π
π⎛⎫=+ ⎪4
4⎝⎭
B ．3sin y x π
3π⎛⎫=+ ⎪4
4⎝⎭
C ．3sin y x π
π⎛⎫=+
⎪24⎝⎭
D ．3sin y x π
3π⎛⎫=+
⎪2
4⎝⎭
10．设函数⎪⎩⎪
⎨⎧<-≥-=)2(1)2
1()
2()2()(x x x a x f x 是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围为
A ．(-∞，2)
B ．(-∞，
813] C ．(0,2) D ．[8
13
,2) 11．已知2F 、1F 是双曲线()22
2210,0y x a b a b
-=>>的上、下焦点，点2F 关于渐近线的对称点恰好落在以1
F 为圆心，1OF 为半径的圆上，则双曲线的离心率为 A ．3
B ．3
C ．2
D ．2
12．已知()'f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，()20f =，当0x ≠时，()()2
'f x f x x
>
，则不等式()()10x f x -<的解集为
A ．()(),20,2-∞-
B ．()()2,02,-+∞
C ．()
(),21,2-∞-
D ．()()2,01,2-U 第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选做题，考生根据要求做答．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．
⎰
+2
)sin (cos π
dx x x 的值为
14．已知平面向量　，
2)(,61=-⋅==，则b a 与的夹角为 15．若直线220a x b y +-=，(0,0)a b >>平分圆2
2
2460x y x y +---=,则
12
a b
+的最小值是 . 16
．已知函数())f x x =
-，则不等式(lg )0f x >的解集为________.
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+，x ∈R ． （I ）求函数()f x 的最小正周期． （II ）求函数()f x 的单调递增区间．
（III ）求函数()f x 在区间ππ,44⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦上的最小值和最大值．
18．（本小题满分12分）在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝CA ＝AA 1＝2，侧棱AA 1⊥面ABC ，D 、E 分别是棱A 1B 1、AA 1的中点，点F 在棱AB 上，且1
4
AF AB =． （Ⅰ）求证：EF ∥平面BDC 1； （Ⅱ）求二面角E －BC 1－D 的余弦值．
19．（本小题满分12分）已知向量(cos ,sin )m A A =-，(cos ,sin )n B B =，cos 2m n C ⋅=，其中,,A B C 为ABC ∆的内角． （I ）求角C 的大小；
（II ）若2c =，求2a b +的最大值．
20. (本题满分12分)已知圆G ：0222
2
=--+y x y x 经过椭圆122
22=+b
y a x (a ＞b ＞0)的右焦点F 及上
顶点B 。

（1）求椭圆的方程
（2）过椭圆外一点M(m,0) (m ＞a)倾斜角为
6
5π
的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，若右焦点F 在以弦CD 为直径的圆的外部，求实数m 的范围。

21．(本题满分12分)已知函数2
()ln 2()f x ax x x a =++∈R . （1）当1a =时，求函数()f x 在点(1, (1))f 处的切线方程； （2）若函数()f x 有两个不同极值点，求实数a 的取值范围；
（3）当0a >时，求证：对任意[1,)x ∈+∞，2
()(2)1f x x a x '<+++恒成立.
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.（本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程
设直线l 的参数方程为⎩
⎨⎧=+=t y t x 22(t 为参数），若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ=
θ
θ
2sin cos 8．
（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线； （2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求AB .
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数212)(+--=x x x f （1）求f(x)≤6 的解集
（2）若f(x)≥m 对任意x∈R 恒成立，求m 的范围。

数学（理科）答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每題给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1. B 2．A 3. C 4. A 5．B 6．A 7．D 8．C 9．A 10．B 11.C 12．D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 2 14．
3
π
15．223+ 16.
()1,100
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（I ）()f x 的最小正周期πT =;（II ）()f x 的单调递增区间为3πππ,π()88k k k ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦Z ;
（III ）min π()04f x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭;max π()18f x f ⎛⎫
==+ ⎪⎝⎭
【解析】（I ）()()π2cos sin cos sin2cos21214f x x x x x x x ⎛
⎫=+=++=++ ⎪⎝
⎭
因此，函数()f x 的最小正周期πT =． （II ）由πππ2π22π242k x k -
≤+≤+得：3ππ
ππ88
k x k -≤≤+． 即函数()f x 的单调递增区间为()3πππ,π88k k k Z ⎡
⎤
-+∈⎢⎥⎣
⎦
． （III ）因为ππ44x -
≤≤ 所以ππ3π
2444
x -≤+≤
所以()()min max
ππ0148f x f f x f ⎛⎫⎛⎫
=-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
18．(12分)（1）证法一：设O 为AB 的中点，连结A 1O ，
∵AF=
4
1
AB ，O 为AB 的中点 ∴F 为AO 的中点，又E 为AA 1的中点 ∴EF∥A 1O
又∵D 为A 1B 1的中点，O 为AB 的中点 ∴A 1D=OB 又A 1D∥OB ∴四边形A 1DBO 为平行四边形 ∴A 1O∥BD 又EF∥A 1O ∴EF∥BD
又EF ⊄平面DBC 1 ， BD ⊂平面DBC 1 ∴EF∥平面DBC 1 （6分） 证法二：建立如图所示的坐标系。

（坐标系建立仅为参考） ∵AB=BC=CA=AA 1=2，D 、E 分别为A 1B 1、AA 1的中点，AF=
4
1
AB
E （-1，0，1），
F ）
，，（002
1
-，B （1，0，0），D （0，0，2），C 1（0，），23） 设平面平面DBC 1的法向量为),,(z y x n =
）1-,0,2
1
(=,)2,0,1(-=BD ,）2,3,1(1-=BC 02=+-=⋅z x 0231=++-=z y x BC
令z=1,则y=0,x=2 ）
1,0,2(= 0)1(102
1
2=-⋅++⋅=⋅n EF ∴ n EF ⊥ 又EF ⊄平面BDC 1 ∴EF∥平面BDC 1 （6分） （2）设面EBC 1的法向量为),,(z y x =
)1,0,2(-=，)2,3,1(1-=BC 02=+-=⋅z x
0231=++-=⋅z y x m BC 令x=1,则z=2，y=-3 ∴ )2,3,1(-=m
cos ＜,＞
=
5
102
252
1)3(012=
⋅⋅+-⋅+⋅ 由图知二面角E －BC 1－D 为锐二面角，所以二面角的余弦值为
5
10
（12分） 19.（Ⅰ）由cos cos sin sin cos()cos m n A B A B A B C =-=+=-……2分
所以cos cos2C C -=即22cos cos 10C C +-=………………3分 解得1
cos cos 12
C C =
=-或（舍)………………………………5分 又0C π<<，所以3
C π
=
…………………………………………6分
（Ⅱ）∵,22
C c π
==
，∴由正弦定理可得：sin sin sin 3
b a
c B A π===
．
∴,a A b B =
=，
∴22223a b A B A A π⎛⎫
+=
+=+- ⎪⎝⎭
)
()2sin sin 3
A A A θ=
+=+，
∵20,
,3
A πθ⎛⎫
∈= ⎪
⎝
⎭
∴()sin 1A θ+≤，∴2+a b 的最大值为
3
． 20．（12分）（1）解：∵0222
2=--+y x y x
经过椭圆122
22=+b
y a x (a ＞b ＞0)的右焦点F 及上顶点B
在圆方程中令x=0得B （0，2），令y=0得F （2，0）
∴b=2 , c=2 , a=6 ∴椭圆方程为：12
62
2=+y x （5分） （2）∵直线l 的倾斜角为
6
5π
∴直线l 斜率k=tan 33-65=π
∴直线l 的方程为：y=)3
3
-
m x -（ (m ＞6) 代入12
62
2=+y x 得206222=-+-m mx x △
=
＞m m )6(8)22
2---（0 解得＜m 212 设C （x 1,y 1）,D(x 2,y 2) 则x 1+x 2=m, x 1x 2=2
62-m (8分)
∵右焦点F 在以弦CD 为直径的圆的外部 ∴＞⋅0，∴（x 1-2）(x 2-2)+y 1y 2＞0 4x 1x 2-(m+6)(x 1+x 2)+＞m 122+0
4×2
62-m -（m+6）×m+122+m ＞0 即：m ＞m 32-0
m ＞3或m ＜0 又m ＞6, ＜m 212
∴m∈）（32,3 （12分）
21．【答案】（1）30x y -=（2）(),2-∞-（3）见解析
【详解】（1）当1a =时，()()()
2
ln 20,f x x x x x =++∈+∞．
∴()ln 21f x x x +'=+ ∴()13f '=，又∵()13f = ∴()331y x -=-，即30x y -=
∴函 数 ()f x 在点()()
1,1f 处的切线方程为30x y -=．
（2）由题意知，函数()f x 的定义域为()0,∞+，()ln 2f x a x x a '=++ ， 令()0f x '=，可得ln 20a x x a ++=，
当0a =时，方程ln 20a x x a ++=仅有一解，∴0a ≠， ∴
()1ln 102x x a x
+=>- 令()()1ln 02x
g x x x
+=
>- 则由题可知直线1
y a
=与函数()y g x =的图像有两个不同的交点． ∵()2
2ln 4x
g x x =
' ∴当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 为单调递减函数； 当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 为单调递增函数． 又∵10g e ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，()112g =-，且当x →+∞时，()0g x <
∴11
02a
-<<，
∴2a <-
∴实数a 的取值范围为(),2-∞-． （3）∵()ln 2f x a x x a '=++
∴要证对任意[)1,x ∈+∞，()()2
+21f x x a x '<++恒成立
即证()2
ln 2+21a x x a x a x ++<++成立
即证2ln 10a x x ax a --+-<成立 设()()2
ln 11h x a x x ax a x =--+-≥
∴()()21a
h x x a x x
'=
--≥ ∵0a >时，易知()h x '在[
)1,+∞上为减函数 ∴()()120h x h ''≤=-< ∴()h x 在[
)1,+∞上为减函数 ∴()()120h x h ≤=-<
∴2ln 10a x x ax a --+-<成立
即对任意[)1,x ∈+∞，()()2
+21f x x a x '<++恒成立．
22．（10分）解：（1）由ρ=
θ
θ2
sin cos 8得ρθθcos 8sin 2
= θρθρcos 8sin 22= ∴x y 82=
∴ 曲线C 表示顶点在原点，焦点在x 上的抛物线 （5分）
（2）
{
22t
x t
y +==化为t x t
y 5
5
25
5
2{+
==代入x y 82=得020522=--t t
10)20(4)52(4)(22121212=-⨯-=-+=-=t t t t t t AB （10分）
（或将直线方程化为直角坐标方程用弦长公式求解均可） 23．（10分）解：（1）212+--x x ≤6
不等式等价于：2
-6)2()-12{x ＜x x ≤++（ 或1
262)-12
{≤≤-≤--x x x （或1
62)1(2{x ＞x x ≤--- 等价于2
-2
{x ＜x -≥ 或1
22
{≤≤--≥x x 或1
10{x ＞x ≤ ∴不等式的解集为[-2，10] （5分）
（2）由（1）知））
2-(-41(4)12
(3{x ＜x x ＞x x x -≤≤--
容易求得函数最小值为-3 ∵f(x)≥m 对任意x∈R 恒成立 ∴m≤-3 （10分）。