江苏高三高中数学月考试卷带答案解析

江苏高三高中数学月考试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、填空题
1.已知集合，，则__ ．
2.如果复数的实部与虚部互为相反数,则= .
3.一组数据，，，，的平均数是，则这组数据的方差是_________．
4.的值为．
5.对某种电子元件使用寿命跟踪调查，抽取容量为1000的样本，其频率分布直方图如图所示，根据此图可知这批
样本中电子元件的寿命在300~500小时的数量是_____个．
6.已知，若是的充分条件，则实数a的取值范围是．
7.正四面体ABCD中，AO⊥平面BCD，垂足为，设是线段上一点，且是直角，则的值
为 .
8.将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为，则方程有实根的概率为
9.若数列的通项公式，记，试通过计算、、的值，推测出．
10.在△ABC中,角A,B,C的对边分别a,b,c,若.则直线被圆所截得的弦长
为．
11.若正数满足，则的最大值为 .
12.如图，已知椭圆的左、右准线分别为，且分别交轴于两点，从上一点发
出一条光线经过椭圆的左焦点被轴反射后与交于点，若，且，则椭圆的离心率等
于．
13.已知函数，下列命题正确的是。

（写出所有正确命题的序号）
①是奇函数；②对定义域内任意x，<1恒成立；
③当时，取得极小值；④；⑤当x>0时，若方程||=k有且仅有两个不同的实数解
·cos=－sin。

14.已知连续个正整数总和为，且这些数中后个数的平方和与前个数的平方和之差为．若
，则的值为．
二、解答题
1.（本小题满分14分）
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
（1）求角C的大小；
（2）求的最大值．
2.(本小题满分14分)
如图，在四棱锥中，∥，，，⊥，⊥，为的中
点．
求证：（1）∥平面；
（2）⊥平面．
3.（本小题满分15分）
如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数）的图象，且点M到边
OA距离为．
（1）当时，求直路所在的直线方程；
（2）当t为何值时，地块OABC在直路不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？
4.（本小题满分15分）
给定椭圆C：，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个
焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为．
（1）求椭圆C和其“准圆”的方程；
（2）若点是椭圆C的“准圆”与轴正半轴的交点，是椭圆C上的两相异点，且轴，求的取值范围；
（3）在椭圆C的“准圆”上任取一点，过点作直线，使得与椭圆C都只有一个交点，试判断是否垂直？并说明理由．
5.（本题满分16分）
已知有穷数列共有项（整数），首项，设该数列的前项和为，且
其中常数⑴求的通项公式；⑵若，数列满足
求证：；
⑶若⑵中数列满足不等式：，求的最大值．
6.（本小题满分16分）
已知，，且直线与曲线相切．
（1）若对内的一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，求最大的正整数，使得对（是自然对数的底数）内的任意个实数都有成立；
（3）求证：．
7.已知矩阵A ＝，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝，属于特征值1的一个特征向量为α2＝
．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．
8.已知圆的极坐标方程为：
．
⑴将极坐标方程化为普通方程；
⑵若点P(x ，y)在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值．
9.在平面直角坐标系中，抛物线C 的顶点在原点，焦点F 的坐标为（1，0）。

（1）求抛物线C 的标准方程；
（2）设M 、N 是抛物线C 的准线上的两个动点，且它们的纵坐标之积为，直线MO 、NO 与抛物线的交点分别为点A 、B ，求证：动直线AB 恒过一个定点。

10.已知集合，其中，表示 的所有不同值的个数． （1）已知集合，，分别求，； （2）求的最小值．
江苏高三高中数学月考试卷答案及解析
一、填空题
1.已知集合，
，则
__ ．
【答案】．
【解析】
=
，所以。

【考点】本题主要考查集合的运算，指数函数的性质。

点评：基础题，高考中，此类问题经常出现，在考查几何知识的同时，与其它知识综合在一起进行考查。

确定集合中元素的特征是关键。

2.如果复数
的实部与虚部互为相反数,则= .
【答案】1.
【解析】因为的实部与虚部互为相反数，所以=0，解得=1.
【考点】本题主要考查复数的代数运算，复数的概念。

点评：简单题，高考必考题型，往往比较简单。

细心计算即可。

3.一组数据，，，，的平均数是，则这组数据的方差是_________．
【答案】2．
【解析】因为，，，，的平均数是，即，所以x=10；
数据的方差为。

【考点】本题主要考查平均数、方差的概念及计算。

点评：简单题，注意理解平均数、方差的概念，掌握它们的计算公式。

4.的值为．
【答案】．
【解析】=-2.
【考点】本题主要考查对数的运算法则，二倍角公式，特殊角的三角函数值。

点评：简单题，利用对数乘法法则，进一步计算三角函数值。

5.对某种电子元件使用寿命跟踪调查，抽取容量为1000的样本，其频率分布直方图如图所示，根据此图可知这批
样本中电子元件的寿命在300~500小时的数量是_____个．
【答案】650．
【解析】电子元件的寿命在300~500小时的数量是（×100+×100）×1000=650.
【考点】本题主要考查频率、频数的概念及其关系，频率分布直方图。

点评：简单题，各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1．频率、频数的关系：频率=频数÷数据总和。

6.已知，若是的充分条件，则实数a的取值范围是．
【答案】.
【解析】
所以，；而是的充分条件，所以对应集合是对应集合的子集，即，解得，故答案为。

【考点】本题主要考查充要条件的概念，简单不等式解法。

点评：基础题，充要条件的判断问题，是高考不可少的内容，特别是充要条件可以和任何知识点相结合。

充要条件的判断一般有三种思路：定义法、等价关系转化法、集合关系法。

本题运用的是集合关系法。

7.正四面体ABCD中，AO⊥平面BCD，垂足为，设是线段上一点，且是直角，则的值
为 .
【答案】1．
【解析】延长BO，交CD于点N，可得BN⊥CD且N为CD中点
设正四面体ABCD棱长为1，得等边△ABC中，BN=，BC=
∵AO⊥平面BCD，∴O为等边△ABC的中心，得BO=，BN=，
Rt△ABO中，AO==
设MO=x，则Rt△BOM中，BM==
∵∠BMC=90°，得△BMC是等腰直角三角形，
∴BM=AM=BC，即=，解之得x=
由此可得AM=AO-MO=，所以MO=AM=，从而=1.
【考点】本题主要考查正四面体的几何性质，垂直关系。

点评：中档题，本题充分借助于正四面体的几何性质，通过发现等腰三角形，灵活利用勾股定理，达到解题目的。

本题解法充分体现了立体几何问题转化成平面几何问题的基本思路。

8.将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为，则方程有实根的概率为
【答案】
【解析】将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，共有36种结果：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），
（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），
（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），
（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），属于古典概型．
记“方程x2+bx+c=0有实根”为事件A，则△=b2-4c≥0即b≥2，A包含的结果有：（2，1），（3，1）（4，1），（5，1），（6，1），（3，2），（4，2），（5，2），（6，2），（4，3），（5，3），
（6，3），（4，4），（5，4），（6，4），（5，5），（6，5），（5，6），（6，6）共19种结果，由古典
概率的计算公式可得，P（A）=。

【考点】本题主要考查古典概型概率的计算。

点评：中档题，此类型题的求解有两点：①首先清楚古典概率模型的特征：结果有限且每种结果等可能出现②古典概率的计算公式：P（A）=m/n（其中n是试验的所有结果，m是基本事件的结果数．）难点在确定“结果数”。

9.若数列的通项公式，记，试通过计算、、的值，推测出．
【答案】
=，f(1)=2（1-）=，
【解析】根据题意，a
1
a
=，f(2)=2（1-）（1-）=，
2
a
=，f(3)=2（1-）（1-）（1-）=，
3
归纳可得.
【考点】本题主要考查归纳推理的概念.
点评：简单题，本题解法明确，逐项计算，发现规律，写出结论。

10.在△ABC中,角A,B,C的对边分别a,b,c,若.则直线被圆所截得的弦长
为．
【答案】
【解析】由半径、弦的一半、圆心距所确定的“特征直角三角形”及得，
直线被圆所截得的弦长为2=。

【考点】本题主要考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式。

点评：典型题，涉及直线被圆截得弦长问题，往往要借助于半径、弦的一半、圆心距所确定的“特征直角三角形”。

11.若正数满足，则的最大值为 .
【答案】
【解析】因为，所以，，=，令t=，则=
在是增函数，所以t=时，的最大值为。

【考点】本题主要考查平方公式，基本不等式的应用，二次函数的图象和性质。

点评：典型题，基本不等式是高考考查的重点内容之一，应用基本不等式，要注意“一正、二定、三相等”。

12.如图，已知椭圆的左、右准线分别为，且分别交轴于两点，从上一点发出一条光线经过椭圆的左焦点被轴反射后与交于点，若，且，则椭圆的离心率等
于．
【答案】．
【解析】由题意知|AC|=|CF|=-c-(-)=，
∴|AF|=，|BF|=•cot30°=．
∵|BD|=|DF|=c+，∴|BF|=(c+)=，
∴，整理得e4-4e2+1=0．
解得e2=2-或e2=2+（舍去），
∴e=。

【考点】本题主要考查椭圆的几何性质。

点评：典型题，椭圆的几何性质是重要考点之一，常常将a,b,c,e关系与椭圆的标准方程结合在一起进行考查。

本题利用函数方程思想，通过建立e的方程，达到解题目的。

13.已知函数，下列命题正确的是。

（写出所有正确命题的序号）
①是奇函数；②对定义域内任意x，<1恒成立；
③当时，取得极小值；④；⑤当x>0时，若方程||=k有且仅有两个不同的实数解
·cos=－sin。

【答案】②④⑤．
【解析】的定义域为{x|x0}.因为f（-x）=f(x),所以其为偶函数；①错；
因为|sinx|1，且当0＜x＜时，sinx<x,所以<1成立; ②对；
由于函数的导数，
x=时，0，所以③错；
由x∈(，)时，xcosx-sinx＜0，即f'（x）＜0，知函数在区间(，)为减函数，所以④对；
⑤当x>0时，若方程||=k有且仅有两个不同的实数解，由于（0，π）上f(x)>0,(π，2π)上f(x)<0，所以（导数为零），
结合图象知·cos=－sin。

综上知，答案为②④⑤．
【考点】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用导数研究函数的单调性、求极值，数形结合思想。

点评：中档题，本题综合性较强，解答过程中，时而运用函数图象，时而运用导数知识，体现应用数学知识的灵活性。

14.已知连续个正整数总和为，且这些数中后个数的平方和与前个数的平方和之差为．若
，则的值为．
【答案】5
【解析】设中间数为m，由等差数列的求和公式得m+2mn=a，后n个数的平方和就是
，前n个数的平方和为
因为
所以后个数的平方和与前个数的平方和之差为，
由得n=5。

【考点】本题主要考查等差数列的求和公式。

点评：中档题，解答本题的关键是能灵活的假设中间数m，并将前n个数、后n个数m表示，利用方程思想建立
m的方程。

二、解答题
1.（本小题满分14分）
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
（1）求角C的大小；
（2）求的最大值．
【答案】（1）A＋B＝，C＝．（2）A＝时，取最大值2．
【解析】（1）sinA＋cosA＝2sinB即2sin(A＋)＝2sinB，则sin(A＋)＝sinB．
因为0＜A，B＜p，又a≥b进而A≥B，
所以A＋＝p－B，故A＋B＝，C＝．
（2）由正弦定理及（Ⅰ）得
＝＝ [sinA＋sin(A＋)]＝sinA＋cosA＝2sin(A＋)．
当A＝时，取最大值2．
【考点】本题主要考查三角函数恒等变换，正弦定理的应用。

点评：典型题，为研究三角函数的图象和性质，往往需要将函数“化一”。

本题由正弦定理建立了的表达式，通过“化一”，利用三角函数性质，求得最大值。

2.(本小题满分14分)
如图，在四棱锥中，∥，，，⊥，⊥，为的中
点．
求证：（1）∥平面；
（2）⊥平面．
【答案】证明：（1）取中点，连结，，利用三角形中位线定理∥且=．推出∥．进一步证出∥平面.
（2）先推证平面．得出．由，为的中点，得到．从而⊥平面.
【解析】证明：（1）取中点，连结，，∵为中点，∴∥且=．∵∥且，∴∥且=．∴四边形为平行四边形．∴∥．∵平面，平面，
∴∥平面.
（2）∵⊥，⊥，，∴平面．∵平面，∴．∵，为的中点，∴．∵，∴⊥平面.
【考点】本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系。

点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离的计算。

证明过程中，往往需要将立体几何问题转化成平面几何问题加以解答。

适当添加辅助线是关键。

3.（本小题满分15分）
如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数）的图象，且点M到边
OA距离为．
（1）当时，求直路所在的直线方程；
（2）当t为何值时，地块OABC在直路不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？
【答案】（1）；（2），。

【解析】（1）
（2），过切点M的切线
即，令得，故切线与AB交于点；
令，得，又在递减，所以
故切线与OC交于点。

地块OABC在切线右上部分区域为直角梯形，
面积，等号，。

【考点】本题主要考查函数模型，导数的几何意义，导数的应用，均值定理的应用。

点评：中档题，注意仔细审题。

运用导数的几何意义，求切线方程属于简单题，解题的关键是建立面积的表达式后，通过构造，创造了应用均值定理的条件，“一正、二定、三相等”。

4.（本小题满分15分）
给定椭圆C：，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个
焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为．
（1）求椭圆C和其“准圆”的方程；
（2）若点是椭圆C的“准圆”与轴正半轴的交点，是椭圆C上的两相异点，且轴，求的取
值范围；
（3）在椭圆C的“准圆”上任取一点，过点作直线，使得与椭圆C都只有一个交点，试判断是否垂直？并说明理由．
【答案】（1）．（2）．（3）对于椭圆上的任意点，都有．
【解析】（1）由题意知，且，可得，
故椭圆C的方程为，其“准圆”方程为．
（2）由题意，可设，则有，
又A点坐标为，故，
故
,
又，故，
所以的取值范围是．
（3）设，则．
当时，，则其中之一斜率不存在，另一斜率为0，显然有．
当时，设过且与椭圆有一个公共点的直线的斜率为，
则的方程为，代入椭圆方程可得
，即，
由，
可得，其中，
设的斜率分别为，则是上述方程的两个根，
故，即．
综上可知，对于椭圆上的任意点，都有．
【考点】本题主要考查圆的方程，直线与椭圆的位置关系，平面向量的坐标运算。

点评：中档题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。

本题新定义了“准圆”，
解答时要注意审题，明确其特征。

本题易漏“其中之一斜率不存在，另一斜率为0，的情况。

5.（本题满分16分）
已知有穷数列共有项（整数），首项，设该数列的前项和为，且
其中常数⑴求的通项公式；⑵若，数列满足
求证：；
⑶若⑵中数列满足不等式：，求的最大值．
【答案】⑴⑵⑶整数的最大值为7。

【解析】⑴
两式相减得
当时则，数列的通项公式为
⑵把数列的通项公式代入数列的通项公式，可得
⑶数列单调递增，且
则原不等式左边即为
由可得因此整数的最大值为7。

【考点】本题主要考查数列的的基础知识，简单不等式的解法。

点评：中档题，本解答从研究的关系入手，确定得到通项公式，从而进一步明确
证明了。

“分组求和法”、“裂项相消法”、“错位相消法”是高考常常考到数列求和方法。

6.（本小题满分16分）
已知，，且直线与曲线相切．
（1）若对内的一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，求最大的正整数，使得对（是自然对数的底数）内的任意个实数都有成立；
（3）求证：．
【答案】（1）设点为直线与曲线的切点，则有
．（*）
，．（**）
由（*）、（**）两式，解得，．
由整理，得，
，要使不等式恒成立，必须恒成立．
设，，
，当时，，则是增函数，
，是增函数，，．
因此，实数的取值范围是．
（2）当时，
，
在
上是增函数，
在
上的最大值为
．
要对内的任意个实数都有
成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值， 当时不等式左边取得最大值，
时不等式右边取得最小值．
，解得
．因此，的最大值为
．
（3）证明：当时，得出
． 令
，
化简得，
得出
．
【解析】（1）设点为直线与曲线
的切点，则有
． （*）
，
． （**）
由（*）、（**）两式，解得，
． 由
整理，得
，
，要使不等式恒成立，必须
恒成立．
设
，
，
，当时，，则是增函数，
，是增函数，，． 因此，实数的取值范围是． （2）当时，
，
在
上是增函数，
在
上的最大值为
．
要对内的任意个实数都有
成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值， 当
时不等式左边取得最大值，
时不等式右边取得最小值．
，解得．因此，的最大值为． （3）证明：当时，根据（1）的推导有，时，
，
即． 令
，得
，
化简得
，
．
【考点】本题主要考查导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性及极值，证明不等式。

点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，像涉及恒成立问题，往往通过研究函数的最值达到解题目的。

证明不等式问题，往往通过构造新函数，研究其单调性及最值，而达到目的。

本题涉及对数函数，要特别注意函数的定义域。

7.已知矩阵A ＝，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝，属于特征值1的一个特征向量为α2＝
．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵． 【答案】A ＝
， A 的逆矩阵是
．
【解析】由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝
可得，
＝6， 即c ＋d ＝6；由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝
，可得
＝
，即3c －2d ＝－2，解
得即A ＝， A 的逆矩阵是．
【考点】本题主要考查矩阵的概念，逆矩阵的求法。

点评：中档题，矩阵作为选考内容，一般出题难度不大。

就本题而言利用函数方程思想，通过建立方程，确定得到逆矩阵。

8.已知圆的极坐标方程为：
．
⑴将极坐标方程化为普通方程；
⑵若点P(x ，y)在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值． 【答案】⑴； ⑵x ＋y 最大值为6，最小值为2． 【解析】⑴； ⑵圆的参数方程为
所以
，那么x ＋y 最大值为6，最小值为2．
【考点】本题主要考查极坐标、参数方程。

点评：中档题，极坐标、参数方程作为选考内容，命题难度也不太大。

极坐标主要停留在简单曲线方程的互化，而参数方程的应用，则显得更为突出。

本题应用参数方程，将求二元函数的最值问题，转化成了三角函数问题，也很好体现了“换元思想”。

9.在平面直角坐标系中，抛物线C 的顶点在原点，焦点F 的坐标为（1，0）。

（1）求抛物线C 的标准方程；
（2）设M 、N 是抛物线C 的准线上的两个动点，且它们的纵坐标之积为，直线MO 、NO 与抛物线的交点分别为点A 、B ，求证：动直线AB 恒过一个定点。

【答案】(1)设抛物线的标准方程为，则
，
所以抛物线方程为
（2）直线MO 的方程：，与
联立解得A 点坐标
，B 点坐标
，得出直线
AB 的方程为：
，说明直线AB 恒过定点（1,0）。

【解析】(1)设抛物线的标准方程为，则
，
所以抛物线方程为
（2）抛物线C 的准线方程为，设
，其中
，
直线MO 的方程：
，将
与
联立解得A 点坐标。

同理可得B 点坐标，则直线AB 的方程为：
整理得，故直线AB 恒过定点（1,0）。

【考点】本题主要考查直线方程，抛物线标准方程，直线与抛物线的位置关系。

点评：中档题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。

本题求抛物线标准方程时，主要运用了抛物线的几何性质。

（2）证明直线过定点问题时，巧妙地假设，并应用假设字母表示点的坐标，值得学习。

10.已知集合，其中，表示 的所有不同值的个数． （1）已知集合，，分别求，； （2）求的最小值．
【答案】（1）l(P)＝5 ，l(Q)＝6
（2）对这样的集合A ，l(A)＝2n －3，所以l(A)的最小值为2n －3．
【解析】（1）由2＋4＝6，2＋6＝8，2＋8＝10，4＋6＝10，4＋8＝12，6＋8＝14， 得l(P)＝5
由2＋4＝6，2＋8＝10，2＋16＝18，4＋8＝12，4＋16＝20，8＋16＝24， 得l(Q)＝6
（2）不妨设a 1＜a 2＜a 3＜…＜a n ，可得
a 1＋a 2＜a 1＋a 3＜…＜a 1＋a n ＜a 2＋a n ＜a 3＋a n ＜…＜a n －1＋a n ，
故a i ＋a j (1≤i ＜j≤n)中至少有2n －3个不同的数，即l(A)≥2n －3．
事实上，设a 1，a 2，a 3，…，a n 成等差数列，考虑a i ＋a j (1≤i ＜j≤n)，根据等差数列的性质，当i ＋j≤n 时， a i ＋a j ＝a 1＋a i ＋j －1；当i ＋j ＞n 时， a i ＋a j ＝a i ＋j －n ＋a n ；
因此每个和a i ＋a j (1≤i ＜j≤n)等于a 1＋a k (2≤k≤n)中的一个，或者等于a l ＋a n (2≤l≤n －1)中的一个．故对这样的集合A ，l(A)＝2n －3，所以l(A)的最小值为2n －3．
【考点】本题主要考查集合的意义，等差数列的性质。

点评：新定义问题，利用新定义集合确定，属于简单问题。

而求的最小值的方法，则具有一定难度，特别是假设“排序”难以想到，这是解决问题的关键所在。