2019大一轮高考总复习理数文档：第09章 平面解析几何

第二课时 圆锥曲线中的定点与定值问题
圆锥曲线中的定点问题
[明技法]
圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
[提能力]
【典例】(2018·邵阳联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >0，b >0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点Q 、P ，与椭圆分别交
于点M 、N ，各点均不重合且满足PM →＝λ1MQ →，PN →＝λ2NQ →.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l 过定点并求此定点．
(1)解：设椭圆的焦距为2c ，由题意知b ＝1，且(2a )2＋(2b )2＝2(2c )2，
又a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝3.
∴椭圆的方程为x 23
＋y 2＝1. (2)证明：由题意设P (0，m )，Q (x 0,0)，M (x 1，y 1)，
N (x 2，y 2)，设l 方程为x ＝t (y －m )，
由PM →＝λ1MQ →知(x 1，y 1－m )＝λ1(x 0－x 1，－y 1)，
∴y 1－m ＝－y 1λ1，由题意y 1≠0，∴λ1＝m y 1
－1. 同理由PN →＝λ2NQ →知λ2＝m y 2
－1. ∵λ1＋λ2＝－3，∴y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＝0，①
联立⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋3y 2＝3，x ＝t (y －m )得(t 2＋3)y 2－2mt 2y ＋t 2m 2－3＝0， ∴由题意知Δ＝4m 2t 4－4(t 2＋3)(t 2m 2－3)>0，②
且有y 1＋y 2＝2mt 2
t 2＋3，y 1y 2＝t 2m 2－3t 2＋3
，③ ③代入①得t 2m 2－3＋2m 2t 2＝0，∴(mt )2＝1，
由题意mt <0，∴mt ＝－1，满足②，
得直线l 方程为x ＝ty ＋1，过定点(1,0)，即Q 为定点．
[刷好题]
如图，过顶点在原点、对称轴为y 轴的抛物线E 上的定点A (2,1)作斜率分别为k 1，k 2的直线，分别交抛物线E 于B ，C 两点．
(1)求抛物线E 的标准方程和准线方程；
(2)若k 1＋k 2＝k 1k 2，证明：直线BC 恒过定点．
(1)解：设抛物线E 的标准方程为x 2＝ay ，a ＞0，
将A (2,1)代入得，a ＝4. 所以抛物线E 的标准方程为x 2＝4y ，准线方程为y ＝－1.
(2)证明：由题意得，直线AB 的方程为y ＝k 1x ＋1－2k 1，
直线AC 的方程为y ＝k 2x ＋1－2k 2，
联立⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＝4y ，y ＝k 1x ＋1－2k 1，消去y 得x 2－4k 1x －4(1－2k 1)＝0， 解得x ＝2或x ＝4k 1－2，
因此点B (4k 1－2, (2k 1－1)2)，
同理可得C (4k 2－2, (2k 2－1)2)．
于是直线BC 的斜率为：
k ＝(2k 1－1)2－(2k 2－1)2(4k 1－2)－(4k 2－2)＝4(k 1－k 2)(k 1＋k 2－1)4(k 1－k 2)
＝k 1＋k 2－1， 又k 1＋k 2＝k 1k 2，所以直线BC 的方程为y －(2k 2－1)2＝(k 1k 2－1)·[x －(4k 2－2)]， 即y ＝(k 1k 2－1)x －2k 1k 2－1＝(k 1k 2－1)(x －2)－3.
故直线BC 恒过定点(2，－3)．
圆锥曲线中的定值问题
[明技法]
圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；
(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题
设条件化简、变形求得；
(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．
[提能力]
【典例】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1，过A (2,0)，B (0,1)两点． (1)求椭圆C 的方程及离心率；
(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．
(1)解：由题意得a ＝2，b ＝1，
所以椭圆C 的方程为x 24
＋y 2＝1. 又c ＝a 2－b 2＝3，所以离心率e ＝c a ＝32
. (2)证明：设P (x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则x 20＋4y 20＝4.
又A (2,0)，B (0,1)，
所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0－2
(x －2)． 令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2
， 从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2
. 直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0
x ＋1. 令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1
， 从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1
. 所以四边形ABNM 的面积S ＝12
|AN |·|BM | ＝12⎝⎛⎭⎫2＋x 0y 0－1⎝⎛⎭⎫1＋2y 0x 0
－2 ＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42(x 0y 0－x 0－2y 0＋2)
＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2
＝2. 从而四边形ABNM 的面积为定值．
[刷好题]
如图，在平面直角坐标系xOy 中，点F ⎝⎛⎭⎫12，0，直线l ：x ＝－12
，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l .
(1)求动点Q 的轨迹C 的方程； (2)设圆M 过A (1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长|TS |是否为定值？请说明理由．
解：(1)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ，
∴RQ 是线段FP 的垂直平分线．
∵点Q 在线段FP 的垂直平分线上，∴|PQ |＝|QF |，
又|PQ |是点Q 到直线l 的距离，
故动点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为y 2＝2x (x >0)．
(2)弦长|TS |为定值．理由如下：
取曲线C 上的点M (x 0，y 0)，M 到y 轴的距离为d ＝|x 0|＝x 0，圆的半径r ＝|MA |＝(x 0－1)2＋y 20，
则|TS |＝2r 2－d 2＝2y 20－2x 0＋1，
∵点M 在曲线C 上，∴x 0＝y 202
， ∴|TS |＝2y 20－y 20＋1＝2是定值．。