湘教版九年级数学下册解题技巧专题：圆中辅助线的作法

解题技巧专题：圆中辅助线的作法
——形成精准思维模式，快速解题
◆类型一 遇弦过圆心作弦的垂线或连半径
1．如图，以点O 为圆心的两个圆中，大圆的弦AB 切小圆于点C ，OA 交小圆于点D ，
若OD ＝2，tan ∠OAB ＝12
，则AB 的长是( ) A ．4 B .23 C ．8 D .43
第1题图 第2题图
2．如图，已知⊙O 的半径OD 与弦AB 互相垂直，垂足为点C ，若AB ＝16cm ，CD ＝6cm ，⊙O 的半径为________．
◆类型二 遇直径添加直径所对的圆周角
3．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D ，E 都是⊙O 上的点，则∠ACE ＋∠BDE 等于( )
A ．60°
B ．75°
C ．90°
D ．120°
第3题图 第4题图
4．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，CD 是直径，∠B ＝40°，则∠ACD 的度数是________．
5．如图，△ABC 的顶点均在⊙O 上，AD 为⊙O 的直径，AE ⊥BC 于E.求证：∠BAD ＝∠EAC.
◆类型三 遇切线连接圆心和切点
6．已知⊙O 的半径为1，圆心O 到直线l 的距离为2，过l 上任一点A 作⊙O 的切线，切点为B ，则线段AB 长度的最小值为( )
A ．1
B . 2
C . 3
D ．2
7．如图，从⊙O 外一点A 引圆的切线AB ，切点为B ，连接AO 并延长交圆于点C ，连接BC.若∠A ＝26°，则∠ACB 的度数为________．
8．★如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 切⊙O 于点D ，AM ⊥CD 于点M ，BN ⊥CD 于N.
(1)求证：∠ADC ＝∠ABD ；
(2)求证：AD 2＝AM·AB ；
(3)若AM ＝185，sin ∠ABD ＝35
，求线段BN 的长．
参考答案与解析
1．C 2.253
cm 3.C 4.50° 5．证明：连接BD .∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD ＝90°，∴∠BAD ＋∠D ＝90°.∵AE 是△ABC 的高，∴∠AEC ＝90°，∴∠EAC ＋∠ACB ＝90°.∵∠D ＝∠ACB ，∴∠BAD ＝∠EAC .
6．C 7.32°
8．(1)证明：连接OD .∵CD 是⊙O 的切线，∴∠ADC ＋∠ADO ＝90°.又∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠ADO ＋∠ODB ＝90°，∴∠ADC ＝∠ODB .又∵OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠ABD ，∴∠ADC ＝∠ABD .
(2)证明：由(1)得∠ADC ＝∠ABD ，∠ADB ＝90°.又∵AM ⊥MN ，∴∠AMN ＝∠ADB ＝90°，
∴△ADM ∽△ABD ，∴AD AB ＝AM AD
，∴AD 2＝AM ·AB . (3)解：由(1)知∠ADC ＝∠ABD ，∴sin ∠ADC ＝sin ∠ABD ＝35，∴AM AD ＝35.又∵AM ＝185
，∴AD ＝6，∴AB ＝AD sin ∠ABD
＝10.在Rt △ABD 中，由勾股定理得BD ＝AB 2－AD 2＝8.∵∠BND ＝∠BDA ＝90°，∴∠BDN ＋∠MDA ＝90°，∠BAD ＋∠ABD ＝90°，∴∠BDN ＝∠BAD ，
∴△DBN ∽△ABD ，∴BN BD ＝DB AB ，∴BN ＝BD 2AB ＝325
.。