高中数学第一章1.5函数y=Asinωx φ的图象成长训练

1.5 函数y=Asin （ωx+ψ）的图象
主动成长
夯基达标
1.若函数f(x)=sin(kx+
5π)的最小正周期为32π,则正常数k 的值为( ) A.2B.3C.4D.5
解析:k
ππ232=,∴k=3. 答案:B 2.已知函数y=2sin ωx(ω＞0)的图象与直线y+2=0的相邻的两个公共点之间的距离为
32π,则ω的值为( ) A.3B.2
3C.32D.31 解析:
ωππ232=,∴ω=3. 答案:A
3.图1-5-4是周期为2π的三角函数y=f(x)的图象,那么f(x)可以写成( )
图1-5-4
A.sin(1+x)
B.sin(-1-x)
C.sin(x-1)
D.sin(1-x)
解析:函数y=f(x)的图象过点(1,0),即f(1)=0,可排除A,B ，又因为y=f(x)的图象过点(0,b),b ＞0,即f(0)＞0,可排除C,故选D.
答案:D
4.若函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象(部分)如图1-5-5所示,则ω和φ的取值是( )
图1-5-5
A.ω=1,φ=
3πB.ω=1,φ=-3πC.ω=21,φ=6πD.ω=21,φ=-6
π 解析:相邻关键点相差四分之一个周期,即324π=T -(-3
π)=π,T=4π,ω=T π2 =21. 又21×32π+φ=2π+2k π,∴φ=6π. 答案:C
5.下列四个函数中,最小正周期是π且图象关于x=3
π对称的是( )
A.y=sin(2x +6π)
B.y=sin(2x+6π
) C.y=sin(2x-3π)D.y=sin(2x-6π
)
解析:对于A,T=21
2π
=4π,舍去.
对于B,T=22π
=π,令2x+6π=k π+2π
,
∴2x=k π+3π
. ∴x=2π
k +6π
(k∈Z ),舍去.
对于C,T=22π
=π,令2x-3π
=k π+2π
,
∴2x=k π+65π
. ∴x=2π
k +125π
(k∈Z ),不合题意,舍去.
对于D,T=22π
=π,令2x-6π=k π+2π
,
∴2x=k π+32π
. ∴x=2π
k +3π
(k∈Z ).
令k=0,得x=3π
.∴选D.
答案:D
6.ω是正实数,函数f(x)=2sin ωx 在［-3π,3π
］上是增函数,那么( )
A.0＜ω≤23
B.0＜ω≤2
C.0＜ω≤724
D.ω≥2
解析:函数的单调增区间是2k π-2π
≤ωx≤2k π+2π
,
∵ω＞0,∴ωπωπ
22-k ≤x≤ωπ
ωπ
22+k (k∈Z ). 由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≤-,
32,
3
2πωππ
ωπ
∴0＜ω≤23
.
答案:A
7.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0),在一个周期内,当x=12
π时,取得最大值2,当x=
12
7π时,取得最小值-2,那么( ) A.y=21sin(x+3π)B.y=2sin(2x+3
π) C.y=2sin(2x+6π)D.y=sin(2x +6π) 解析:由已知得A=2, T=2(
12
127ππ-)=π,∴ω=2. 又点(12π,2)在图象上,可验证y=2sin(2x+3π). 答案:B
8.函数y=3sin(2x+
3
π)的图象,可由函数y=sinx 的图象经过下述_________变换而得到.( ) A.向右平移
3
π个单位,横坐标缩小到原来的21,纵坐标扩大到原来的3倍 B.向左平移3
π个单位,横坐标缩小到原来的21,纵坐标扩大到原来的3倍 C.向右平移6
π个单位,横坐标扩大到原来的2倍,纵坐标缩小到原来的31 D.向左平移6π个单位,横坐标缩小到原来的21,纵坐标缩小到原来的31 解析:y=sinx y=sin(x+3π)y=sin(2x+3π) y=3sin(2x+
3
π). 答案:B 9.函数y=2sin(
4
π-x)的单调递增区间为______________;单调递减区间为______________. 解析:y=2sin(4π-x)=-2sin(x-4
π). ∵y=sinu(u∈R )的递增,递减区间分别为［2k π-2π,2k π+2π］(k∈Z ),［2k π+2π,2k π+23π］(k∈Z ).
∴函数y=-2sin(x-
4
π)的递增,递减区间分别由下面的不等式确定: 2k π+2π≤x -4π≤2k π+23π(k∈Z ),
2k π-
2π≤x -4π≤2k π+2
π (k∈Z ),得2k π+43π≤x≤2k π+47π(k∈Z ), 2k π-4
π≤x≤2k π+43π(k∈Z ). ∴函数y=2sin(4
π-x)的单调递增区间,单调递减区间分别为［2k π+43π,2k π+47π］(k∈Z ),［2k π-4
π,2k π+43π］(k∈Z ). 答案:［2k π+43π,2k π+47π］(k∈Z ) ［2k π-4
π,2k π+43π］(k∈Z ) 10.关于函数f(x)=4sin(2x+3π)(x∈R )有以下命题: ①由f(x 1)=f(x 2)=0有x 1-x 2必是π
的整数倍;②y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-6π);③y=f(x)的图象关于点(-6π,0)对称;④y=f(x)的图象关于直线x=-6π对称.
其中正确的命题是___________.
解析:对于①,f(x 1)=4sin(2x 1+
3π)=0, f(x 2)=4sin(2x 2+3
π)=0, ∴2x 1+3π=k 1π,2x 2+3
π=k 2π. ∴x 1=2
31ππ-k ,x 2=232ππ-k . ∴x 1-x 2=21(k 1π-3π-k 2π+3π)=2
)(21πk k -. k 1-k 2不一定为偶数,∴x 1-x 2不一定为π的整数倍.
∴①错误. 对于②,y=4sin(2x+
3π)=4cos(2π-2x-3π)=4cos(6π-2x)=4cos(2x-6π), ∴②正确.
对于③,令2x+
3π=k π,∴2x=k π-3π. ∴x=2πk -6
π. 令k=0,∴一个对称中心为(-
6π,0),③正确. 对于④,令2x+
3π=k π+2π, ∴2x=k π+6
π.
∴x=12
2ππ+k ,故④错误. 故选②③.
答案:②③
11.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0,|φ|＜2
π)的图象的一个最高点为(2,22),由这个最高点到相邻最低点,图象与x 轴交于点(6,0),试求这个函数的解析式.
解:已知函数最高点为(2,22),所以A=22.
又由题意知从最高点到相邻最低点时与x 轴相交于点(6,0),而最高点与此交点沿横轴方向的距离正好为
41个周期长度, 所以4
T =6-2=4,即T=16. 所以ω=8
2ππ=T . 所以y=22sin(8
πx+φ). 将点(6,0)的坐标代入,有22sin(
8π×6+φ)=0. 所以sin(4
3π+φ)=0. 又因为|φ|＜2π,所以φ=4
π. 所以函数的解析式为y=22sin(8πx+4
π). 12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数,其图象关于点M(
43π,0)对称,且在区间［0,2
π］上是单调函数,求φ和ω的值. 解:由f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x),
即sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ),
所以-cos φsin ωx=cos φsin ωx,对任意x 都成立,且ω＞0,
所以得cos φ=0.
依题设0≤φ≤π,所以解得φ=
2π. 由
f(x)的图象关于点M 对称得f(43π-x)=-f(43π+x),取x=0,得f(43π)=sin(43ωπ+2
π)=cos 43ωπ, ∴cos 4
3ωπ=0. 又ω＞0,得43ωπ=2
π+k π,k=1,2,3,…,
∴ω=
3
2(2k+1),k=0,1,2,… 当k=0时,ω=32,f(x)=sin(32x+2π)在［0,2π］上是减函数; 当k=1时,ω=2,f(x)=sin(2x+
2π)在［0,2
π］上是减函数; 当k≥0时,ω=310,f(x)=sin(ωx+2π)在［0, 2
π］上不是单调函数. 所以综合得ω=32或ω=2. 走近高考
13.(2006江苏高考,4)为了得到函数y=2sin(
3x +6
π),x∈R 的图象,只需把函数y=2sinx,x∈R 的图象上所有的点( ) A.向左平移
6
π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变) B.向右平移6
π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变) C.向左平移6
π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) D.向右平移6
π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) 解析:将y=2sinx 的图象向左平移6
π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),可得y=2sin(3x +6π)的图象. 答案:C
14.(2006四川高考,5)下列函数中,图象的一部分如图1-5-6所示的是( )
图1-5-6 A.y=sin(x+
6π)B.y=sin(2x-6
π) C.y=cos(4x-3π)D.y=cos(2x-6
π) 解析:T=4(12π+6π)=π,则ω=2,否定A,C;又过(12π,1),则否定B. 答案:D
15.(2006福建高考,9)已知函数f(x)=2sin ωx(ω＞0)在区间［-
3π,4
π］上的最小值是-2,则ω的最小值等于( )
A.32
B.2
3C.2D.3 解析:y=2sin ωx 包含原点的一个单调区间为［ωπ2-,ωπ2］, 根据题意和y=2sin ωx 的图象可知ωπ2-≥-3
π. ∴ω≥
2
3. ∴ωmin =23. 答案:B。