2020-2021学年江苏省盐城市射阳二中高一(下)期初数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年江苏省盐城市射阳二中高一（下）期初数
学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1.设集合U={−1,0，1，2，4}，集合∁U M={−1,1}，则集合M等于()
A. {0,2}
B. {0,4}
C. {2,4}
D. {0,2，4}
2.函数y=log2(2x−1)的定义域为()
A. (1
2,+∞) B. [1,+∞) C. (1
2
,1] D. (−∞,1)
3.已知向量a⃗=(3
2,sinα)，b⃗ =(sinα,1
6
)，若a⃗//b⃗ ，则锐角α为()
A. 30°
B. 60°
C. 45°
D. 75°
4.定义在[−7,7]上的奇函数f(x)，当0<x≤7时，f(x)=2x+x−6，则不等式f(x)>
0的解集为()
A. (2,7]
B. (−2,0)∪(2,7]
C. (−2,0)∪(2,+∞)
D. [−7,−2)∪(2,7]
5.已知3m=2n=k且1
m +1
n
=2，则k的值为()
A. 15
B. √15
C. √6
D. 6
6.已知f(x)=|2x−1|，当a<b<c时，有f(a)>f(c)>f(b)，则必有()
A. a<0，b<0，c<0
B. a<0，b>0，c>0
C. 2−a<2c
D. 1<2a+2c<2
7.若存在实数a，使得函数f(x)={−x 2+2(a+1)x+4,0<x≤1
x a,x>1在
(0,+∞)上为减函数，则实数a的取值范围是()
A. a<0
B. a≤−1
C. −2≤a≤−1
D. −2≤a<0
8.已知函数f(x)={1
x ,x<0
|x−2|,x≥0
，方程f2(x)−2f(x)=0，则方程的根的个数是()
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
9.若函数y=x2−4x−4的定义域为[0,m]，值域为[−8,−4]，则实数m的值可能为
()
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
10.狄利克雷函数f(x)满足：当x取有理数时，f(x)=1；当x取无理数时，f(x)=0.则
下列选项成立的是()
A. f(x)≥0
B. f(x)≤1
C. f(x)−x 3=0有1个实数根
D. f(x)−x 3=0有2个实数根
11. 下列命题正确的是( )
A. 若α，β是第一象限角，且α>β，则tanα>tanβ
B. 函数y =sin(5π
2−2x)是偶函数 C. y =sin|x|是周期为2π的周期函数
D. 函数y =cos(x +π
3)的图象关于点(π
6,0)成中心对称
12. 设点M 是△ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A. 若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1
2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点M 是边BC 的中点 B. 若AM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点M 在边BC 的延长线上 C. 若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点M 是△ABC 的重心 D. 若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且x +y =1
2，则△MBC 的面积是△ABC 面积的1
2 三、单空题（本大题共2小题，共10.0分）
13. 设函数f(x)=3|x|−1
1+x 2，则使得f(2x +1)>f(x)成立的实数x 的取值范围是
______．
14. 若关于x 的方程1
1+|x|−x 2+a =0有两个不等的实数解，则a 的取值范围是______． 四、解答题（本大题共2小题，共30.0分） 15. 正数x ，y 满足1
x +9y =1．(1)求xy 的最小值；
(2)求x +2y 的最小值．
16. 已知函数f(x)=6x 2+x −1．
(1)求f(x)的零点；
(2)若α为锐角，且sinα是f(x)的零点． ①求tanα的值；
②求tan(π+α)cos(−α)
cos(π2
−α)sin(π−α)的值．
答案和解析1.【答案】D
【解析】解：∵C U M={−1,1}，故M={0,2，4}，故选：D．
由C U M={−1,1}，可知−1∉M，1∉M，可求出M 本题考查集合的基本运算，较简单．
2.【答案】A
【解析】解：由函数的解析式可得2x−1>0，
解得x>1
2，故函数的定义域为(1
2
,+∞)，
故选：A．
由函数的解析式可得2x−1>0，解得x的范围，可得函数的定义域．
本题主要考查求对数函数型的定义域，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查锐角值的求法，考查向量平行、三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
由向量a⃗=(3
2,sinα)，b⃗ =(sinα,1
6
)，a⃗//b⃗ ，求出sin2α=1
4
，由此能求出锐角α的值．
【解答】
解：∵向量a⃗=(3
2,sinα)，b⃗ =(sinα,1
6
)，a⃗//b⃗ ，
∴
3
2
sinα
=sinα1
6
，解得sin2α=1
4
，
∵α为锐角，∴sinα=1
2
，∴锐角α为30°．故选：A．
4.【答案】B
【解析】解：∵当0<x≤7时，f(x)=2x+x−6；
∴f(x)在(0,7]上单调递增，且f(2)=0；
∴2<x≤7时，f(x)>0；0<x<2时，f(x)<0；
∵f(x)是定义在[−7,7]上的奇函数；
∴x∈(−2,0)时，f(x)>0；
∴不等式f(x)>0的解集为：(−2,0)∪(2,7]．
故选：B．
根据题意即可判断f(x)在(0,7]上单调递增，并且f(2)=0，从而得出2<x≤7时，f(x)> 0；0<x<2时，f(x)<0；再根据f(x)在[−7,7]上是奇函数即可得出−2<x<0时
f(x)>0，从而得出原不等式的解集．
考查奇函数的定义，奇函数图象的对称性，指数函数和一次函数的单调性，增函数的定义．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了指数式与对数式的互化，以及对数的运算性质，是基础题．
先把指数式化为对数式，再利用对数的运算性质求解．
【解答】
解：∵3m=2n=k，∴m=log3k，n=log2k，
∴1
m +1
n
=1
log3k
+1
log2k
=log k3+log k2=log k6=2，
∴k2=6，∴k=√6，
故选C．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查学生运用数形结合的数学思想解决问题的能力，以及掌握指数函数图象性质的能力，属于中档题．
根据题意可画出函数图象，根据图象和a <b <c ，且f(a)>f(c)>f(b)得到ac <0即可． 【解答】
解：根据题意画出函数图象，
A ，三个不可能都小于0，因为都为负数时，函数单调递减即a <b <c 时，得不到f(a)>f(c)>f(b)；
B ，b 的符号不一定为正，还可以为负；
C ，∵−a >c >0，∴2−a >2c ，故错误．
D ，根据函数图象可知：a <0，c >0，|2a −1|>|2c −1|， ∴0<2a <1，2c >1，1−2a >2c −1， ∴1<2a +2c <2， 故选D ．
7.【答案】C
【解析】解：根据题意，若函数f(x)={−x 2+2(a +1)x +4,0<x ≤1x a ,x >1在(0,+∞)上
为减函数，
当0<x ≤1时，f(x)=−x 2+2(a +1)x +4递减，有a +1≤0， 当x >1时，f(x)=xa 为减函数，必有a <0， 综合可得：{a +1≤0
a <03+2(a +1)≥1，解可得−2≤a ≤−1；
故选：C ．
根据题意，结合函数的单调性的定义分析可得：{a −1≤0
a <03+2(a +1)≥1，解可得a 的取值范
围，即可得答案．
本题考查函数单调性的性质，关键是理解函数的单调性与图象的关系．
8.【答案】B
【解析】解：解方程f2(x)−2f(x)=0，得：f(x)=0或f(x)=2，
<0，∴f(x)≠0且f(x)≠2，
当x<0时，f(x)=1
x
当x≥0时，f(x)=|x−2|，令f(x)=0得，x=2；令f(x)=2得，x=4或0，
∴方程f2(x)−2f(x)=0，则方程的根的个数是3个，
故选：B．
解方程f2(x)−2f(x)=0，得：f(x)=0或f(x)=2，再分别求x的值即可．
本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，是中档题．
9.【答案】ABC
【解析】
【分析】
本题考查函数的定义域及其值域的求法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．求出二次函数的对称轴方程，可知当m=2时函数有最小值，再由x=0时y=−4，结合二次函数的对称性可得m的可能取值．
【解答】
解：函数y=x2−4x−4的对称轴方程为x=2，
当0<m≤2时，函数在[0,m]上单调递减，x=0时取最大值−4，x=m时有最小值m2−4m−4=−8，解得m=2．
则当m>2时，最小值为−8，而x=0时y=−4，由对称性可知，m≤4．
∴实数m的值可能为2，3，4．
故选：ABC．
10.【答案】ABC
【解析】
【分析】
本题考查新定义，考查解方程，主要考查对新定义的理解和分析解决问题的能力，属于基础题．
根据狄利克雷函数的定义，逐项判断即可．
【解答】
解：依题意，对于A选项，狄利克雷函数f(x)只有0，1两个函数值，且均满足f(x)≥0，故A成立；
对于B选项，狄利克雷函数f(x)只有0，1两个函数值，均满足f(x)≤1，故B成立；对于C，D选项，f(x)−x3=0，
①当x为无理数时，x3=0无解；
②当x为有理数时，有一个实根x=1，
故C成立，D不成立；
故选：ABC．
11.【答案】BD
【解析】解：对于A：若α，β是第一象限角，且π
2
>α>β>0，则tanα>tanβ，故A 错误；
对于B：函数y=f(x)=sin(5π
2
−2x)=cos2x，满足f(−x)=f(x)故该函数为偶函数，故B正确；
对于C：y=sin|x|是周期为偶函数，函数的图像关于y轴对称，该函数不是周期函数，故C错误；
对于D：函数设函数f(x)=y=cos(x+π
3)，故f(π
6
)=cos(π
6
+π
3
)=0，故函数的图象关
于点(π
6
,0)成中心对称，故D正确．
故选：BD．
直接利用象限角的定义，函数的性质，周期性和对称性的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：象限角，函数的性质，周期性和对称性，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
12.【答案】ACD
【解析】解：若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +1
2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点M 是边BC 的中点，故A 正确；
若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即有AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则点M 在边CB 的延长线上，故B 错误；
若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则点M 是△ABC 的重心，故C 正确； 若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且x +y =1
2，可得2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，设AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由右图可得M 为AN 的中点，则△MBC 的面积是△ABC 面积的1
2，故D 正确． 故选：ACD ．
由向量的中点表示可判断A ；由向量的加减运算，可判断B ；由三角形的重心的向量表示可判断C ；由三点共线的向量表示，以及三角形的面积公式可判断D ．
本题考查向量的中点表示和三点共线的向量表示，以及三角形的重心的向量表示，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．
13.【答案】(−∞,−1)∪(−1
3,+∞)
【解析】解：根据题意，函数f(x)=3|x|−1
1+x 2，
则f(−x)=3|−x|−1
1+(−x)2=3|x|−1
1+x 2=f(x)，即函数f(x)为偶函数， 当x ≥0时，f(x)=3x −1
1+x 2，f(x)在[0,+∞)上为增函数， 则f(2x +1)>f(x)⇒f(|2x +1|)>f(|x|)⇒|2x +1|>|x|， 变形可得：3x 2+4x +1>0， 解可得：x <−1或x >−13，
即x 的取值范围为(−∞,−1)∪(−1
3,+∞)； 故答案为：(−∞,−1)∪(−1
3,+∞)．
根据题意，分析函数f(x)的奇偶性与单调性，据此可得f(2x +1)>f(x)⇒f(|2x +1|)>f(|x|)⇒|2x +1|>|x|，解可得x 的取值范围，即可得答案．
本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题．
14.【答案】(−1,+∞)
【解析】解：记y =1
1+|x|，y =x 2−a ，在同一坐标系中作出这两个函数的图象如图： 则若关于x 的方程1
1+|x|−x 2+a =0有两个不等的实数解， 即y =1
1+|x|与y =x 2−a 的图象有两个不同的交点，
由图可知−a <1，解得a >−1， 故答案为(−1,+∞)．
作出函数y =1
1+|x|，y =x 2−a 图象，则题目等价于图象有两个不同的交点，进而可判断出a 的取值范围．
本题考查方程根与函数交点的问题，数形结合是关键，属于中档题．
15.【答案】解：(1)∵x >0，y >0，1
x +9
y =1，
那么：1=1
x +9
y ≥2√1
x ⋅9
y =6√xy
，当且仅当9x =y ，即x =2，y =18时取等号．
即：√xy ≥6， 所以：xy 的最小值36．
(2))∵x >0，y >0，1
x +9
y =1， 那么：x +2y =(x +2y)(1
x +9
y )=1+
2y x
+
9x y
+18≥19+2√2y x ⋅
9x y
=19+6√2，
当且仅当3x =√2y ，即x =1+3√2，y =3√2+18
2
时取等号． 所以：x +2y 的最小值为19+6√2．
【解析】本题考查了基本不等式的性质的运用能力．属于中档题． (1)直接利用基本不等式的性质求解．
(2)利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
16.【答案】解：(1)令f(x)=6x 2+x −1=0，解得x =1
3或x =−1
2，
∴函数的零点是1
3和−1
2；
第11页，共11页 (2)∵α为锐角，∴sin α=13．
①由α为锐角，且sin α=13，∴cosα=√1−sin 2α=
2√23， ∴tan α=
sinαcosα=√24； ②tan(π+α)cos(−α)cos(π2−α)sin(π−α)=tanαcosαsinαsinα=1sinα=3．
【解析】(1)直接求解一元二次方程可得函数零点；
(2)①利用同角三角函数基本关系式求tanα的值；②运用三角函数的诱导公式化简求值．
本题考查函数零点的求法，考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．。