24.1.2 垂直于弦的直径 教学设计

24.1.2垂直于弦的直径
一、教学目标
①知识与能力目标：
使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。

培养学生观察能力、分析能力及联想能力。

②过程与方法目标：
老师利用多媒体和教具创设情境，激发学生的求知欲望，学生在老师的引导下进行自主探索，合作交流，收获新知，通过分层训练、深化新知，共同感受收获的喜悦。

③情感态度与价值观目标：
对圆的轴对称美始于欣赏，进而分析提升，直至最终领悟数学美。

从而陶冶学生情操，发展学生心灵美，提高数学审美力。

二、教学重点、难点
教学重点：垂径定理的探索及应用；
教学难点：垂径定理的探索及对题设与结论的理解。

三、教学方法
探究、引导法四、教学过程设计:
1、复习引入，揭示课题（3分钟）
学生对切水果感兴趣，认为从中间
切比较均匀，比较爽，左右能形成对
称。

学生能准备识别轴对称图形，并的
内容中来。

能找到对称轴。

投影图片，由学生熟悉的“切水果”游戏入手，激发学生兴趣：
问题：同学们切水果时第一刀习惯怎么切？
数学中还有许多对称的图形，请
学生自己动手操作，对折圆形纸片，能自己归纳出：（1）圆是轴对称图形。

（2）对称轴是过圆点的直线（或
教师活动学生活动设计意图
由生活中的有趣
的游戏引入，吸引学
生
学生识别，并能找到对称轴。

任何一条直径所在的直线）
（3）圆的对称轴有无穷多条
圆是轴对称图形吗 折一折：
你能利用手中的圆形纸片说明圆是轴对称图形吗？画一画：
⑴作一圆；
⑵在圆上任意作一条弦AB ；
⑶过圆心作AB 的垂线的直径CD 且交
AB 于E 。

（板书课题：垂直于弦的直径）
2、师生互动，探索新知（9分钟）
猜猜：
现在CD 是一条垂直于弦的直径，那么请思考两个问题：（1）点A 和点B 有什么位置关系？（2）你能发现图中有哪些相等的线段
和弧？证一证：
提问：这个结论是同学们通过观察猜想出来的，结论是否正确还要从理论上证明它，下面我们试着来证明它
已知：CD 是。

O 的直径，AB 是弦，
AB X CD
证明：AE=EB 、弧AC=>CB 、弧AD=<DB 学生可以从全等、等腰三角形三线合一等证明线段相等，至于弧相等，看学生是否能想到用叠合的方法进行证明，如果不能，老师提示等弧的概念，
通过翻折达到完全重合。

让学生自主探究，培养思考、操作、归纳等能力。

（小组合作探究）
AE=EB 、弧AC=>CB 、弧AD=>DB 学生自己动手画图，首先折两条直径找到圆心，然后根据描述准确作图，一步一步探索圆的轴对称性。

小组成员之间分享探究的结果，和谐互助，得到完整的结果。

学生展示证明的过
程，用不同的方法证明结论。

遇到需要突破的难点时，老师及时点拨，师生合作探
学生证完后，老师运用几何画板展示直径与弦垂直相交时圆的翻折动画让学生观察，再次验证结论的正确。

文字语言：
垂径定理：垂直于弦的直径平分
弦，并且平分弦所对的两条弧
符号语言：
:CD是直径，CD X AB
.•・AE=BE,
弧AC=>CB、弧AD=>DB图
形语言：
三种语言是数学呈现
的三种形式，让学生
能灵活转换最佳。

由此，结论得以证明，老师让学生尝试用自己的语言叙述这个命题，老师再补充改正。

（〈板书〉垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）
3、概念辨析，运用新知（15分
钟）垂径定理：
条件：（1）过圆心；
（2）垂直于弦；
结论：（3）平分弦；
（4）平分弦所对的优弧;
（5）平分弦所对的劣弧。

学生分析知道条件有两个，结论
有三个
意图：剖析定理结
构，理解其内涵，便于
应用。

练习1：下列图形具备垂径定理的条
件吗？
学生自己叙述垂径定理需要满
足的条件，归纳出：
直径，垂直于弦，缺一不可！直径的实质是要过圆心
明确能使用垂径定理的条件，要从理解上升到应用。

学生独立思考，回答步骤，老师板书，得出“弦心距”，再得到垂径定理常用的三角形模型。

例1:
1、如图，在。

O中，若弦AB的长为8cm,/4O到AB的距离为3cm,求O O的半径。

学生迅速计算，很快得出结果，体
会成功感，增强自信。

归纳出：（1）圆
中有关弦、半径的计算问题通常利用垂
径定理来解决。

（2）重要的辅助线：过
圆心做弦的垂线或连接半径构造直角
三角形，结合垂径定理与勾股定理等有
关知识解题。

（3）“半径半弦弦心距”
是常用的基本模型。

一a
d2+（）2=R2
2
思考1：若圆的半径为R,一条弦长为
2,圆心到弦的距离为d,则R,a,d三者
的关系式
为。

例2:
（情景问题）赵州桥主桥拱的跨度（弧
所对的弦的长）为37m,拱高（弧的中
点到弦的距离）为7.23m,你能求出赵
州桥主桥拱的半径吗（结果保留小数点
后一位）？
思考：半径，半弦，弦心距，再加上
弓高，一共有四个量，如果知道其中
的几个，能够求出剩下的？
知道两个，可以求出剩下的两个，
主要应用垂径定理和勾股定理解决问
题。

揭示模型，使定理的应用具体化，发展其外延。

半径是10cm,OE=6cm,则弦AB=()cm。

简单变式，让学生
灵活应用，掌握计算规
律。

学生阐述解决实际问题的一般步
骤，先将实际问题转化为数学问题，
建立数学模型，再结合条件解决问
题。

最后的计算也由学生完成，加强
数学来源于生活，应
用于生活，引入实际
问题，让学生能够学
以致用。

让学生学会
如何审题，分析题目
中的数量关系。

总结出一般模型，知识
结构生成，知识迁移应
用，提升能力。

变式：。

0的半径是多少?
5、归纳小结，思维延续（5分钟） 知识总结： 方法总结：
①学习垂径定理后，你认为应该注意 哪些问题？
②应用垂径定理如何添辅助线？垂径 定理有哪些应用？ 感知总结：
①这节课的学习你有什么疑问？
②这节课的学习方式你喜欢吗？你有什么好的建议？
思考：如果把垂径定理（1）过圆
心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。

上述五个条件中的任何两个条件都可
学生在学习这一节课的基础上，
熟悉了垂径定理和应用，老师提出思考，学生又有了新的想法，为下一节做好铺垫。

以推出其他三个结论吗？让学生下去思考，为下一节课讲授推论作铺垫。

4、拓展升华，变式议练（8分钟）
例3：已知：如图，在以O 为圆心的两 个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C , D 两点。

求证：AC =BD 。

其中OA=8,AB=12,N A=N B=60°, 则BC 的长为（）
一题多解，充分让学生说出自己的看法，展示思路与过程
让学生为主体，利
用展台发表看法，从思维上，过程上细化，养成良好的学习习惯。

本道题知识点覆盖较多，学生需进
行综合分析，找到解决问题的办法 （让学生自己计
算）
给予学生充分的
时间思考，当面对稍复杂的题目时，应该怎样
分析，合作探究，抽丝剥茧，层层深入，思维
提升。

学生自己总结，归纳，分享。

提高学生对学习数学的理解，从感性到理性都有所认识，智商情商双提高。

提出“知二得三”模型，让学生下来思考，思维得到延续，为后继学习打好基础。

③]⑤J
6、分层作业，课后提升
①必做题:习题24.1—1,7,8
②选做题:习题24.1—13,15
分层作业是为了不同层次的学生都有所收获。