2020高考数学核心突破《专题8 选考部分 第2讲 不等式选讲》 (2)

专题八 第2讲
1．(教材回归)已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|．
(1)求不等式f (x )≤6的解集；
(2)若关于x 的不等式f (x )＜|a －1|的解集非空，求实数a 的取值范围．
解析 (1)不等式f (x )≤6，
即|2x ＋1|＋|2x －3|≤6，
所以①⎩⎪⎨⎪⎧ x <－12，－2x －1＋(3－2x )≤6
或 ②⎩⎪⎨⎪⎧ －12≤x ≤32，2x ＋1＋(3－2x )≤6
或 ③⎩⎪⎨⎪⎧
x >32，2x ＋1＋(2x －3)≤6，
解①得－1≤x ＜－12，解②得－12≤x ≤32
， 解③得32
<x ≤2， 即不等式的解集为{x |－1≤x ≤2}．
(2)因为f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4，即f (x )的最小值等于4， 所以|a －1|>4，解此不等式得a <－3或a >5．
故实数a 的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．
2．(书中淘金)(1)设a ≥b ＞0，证明：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2；
(2)证明：a 6＋8b 6＋127
c 6≥2a 2b 2c 2． 证明 (1)3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2)＝3a 2(a －b )－2b 2(a －b )＝(a －b )(3a 2－2b 2)． 因为a ≥b >0，所以a －b ≥0,3a 2－2b 2>0．
所以(a －b )(3a 2－2b 2)≥0．
所以3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2．
(2)因为a 6＋8b 6
＋127c 6≥33827a 6b 6c 6 ＝3×23
a 2
b 2
c 2＝2a 2b 2c 2， 所以a 6＋8b 6＋127
c 6≥2a 2b 2c 2． 3．已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}．
(1)求a 的值；
(2)若⎪⎪⎪
⎪f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围． 解析 (1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2．
又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，
所以当a ≤0时，不合题意．
当a >0时，－4a ≤x ≤2a
， 得a ＝2．
(2)记h (x )＝f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫x 2，
则h (x )＝⎩⎨⎧ 1，x ≤－1，－4x －3，－1<x <－12
，－1，x ≥－12
，
所以|h (x )|≤1，因此k ≥1．
所以k 的取值范围是[1，＋∞)． 4．已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x ＋1|．
(1)当a ＝1时，解不等式f (x )＜3；
(2)若f (x )的最小值为1，求a 的值．
解析 (1)因为f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|＝
⎩⎨⎧ －3x ，x ≤－1－x ＋2，－1<x <12，且f (1)＝f (－1)＝3，3x ，x ≥12
所以f (x )<3的解集为{x |－1<x <1}．
(2)|2x －a |＋|x ＋1|＝⎪⎪⎪⎪x －a 2＋||x ＋1＋⎪⎪⎪⎪x －a 2≥⎪⎪⎪⎪1＋a 2＋0＝⎪⎪⎪
⎪1＋a 2 当且仅当(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x －a 2≤0且x －a 2
＝0时，取等号． 所以⎪⎪⎪
⎪1＋a 2＝1，解得a ＝－4或0． 5．设函数f (x )＝|x ＋2|－|x －2|．
(1)解不等式f (x )≥2；
(2)当x ∈R,0＜y ＜1时，证明：|x ＋2|－|x －2|≤1y ＋11－y
． 解析 (1)由已知可得，
f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4，x ≥2，2x ，－2<x <2，
－4，x ≤－2，
所以，f (x )≥2的解集为{}x |x ≥1．
(2)证明：由(1)知，|x ＋2|－|x －2|≤4，
1y ＋11－y
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋11－y [y ＋(1－y )]＝2＋1－y y ＋y 1－y
≥4(当且仅当y ＝12时取等号)， 所以|x ＋2|－|x －2|≤1y ＋11－y
． 6．(考点聚焦)设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|．
(1)解不等式f (x )>0；
(2)若∃x ∈R ，使得|x ＋3|－|x －5|≥f (x －1)－t 2＋32
t ＋3成立，求实数t 的取值范围． 解析 (1)当x ≥4时，f (x )＝2x ＋1－(x －4)＝x ＋5>0，得x >－5，所以x ≥4；当－12
≤x <4时，令f (x )＝2x ＋1＋x －4＝3x －3>0，得x >1，所以1<x <4；当x <－12
时，令f (x )＝－x －5>0，得x <－5，所以x <－5．综上，原不等式的解集为{x |x >1或x <－5}．
(2)|x ＋3|－|x －5|≥f (x －1)－t 2＋32
t ＋3等价于
|x ＋3|－|2x －1|≥－t 2＋32
t ＋3， 令g (x )＝|x ＋3|－|2x －1|＝⎩⎨⎧ x －4，x ≤－3，3x ＋2，－3<x <12
，－x ＋4，x ≥12
故g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝72，则有72≥－t 2＋32
t ＋3， 即2t 2－3t ＋1≥0，解得t ≤12或t ≥1， 即实数t 的取值范围是⎝
⎛⎦⎤－∞，12∪[1，＋∞)．。