三种常用的正交坐标系程

张量分析
z
1、直角坐标系 坐标变量
z z0 （平面）
ez
x, y, z
o
坐标单位矢量 ex , e y , ez
位置矢量 线元矢量
ex
P
ey
点 P(x0,y0,z0)
y y y0（平面）
r ex x e y y ez z
dl ex dx ey dy ez dz
o
x
dx d y dSx exdydz
y
体积元
南京工业大学
dV dxdydz
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
张量分析 2、圆柱面坐标系
坐标变量
, , z
坐标单位矢量 e , e , ez r e ez z 位置矢量 线元矢量 dl e d e d ez dz
x1 x 2 x 3 g1 1 i 1 j 1 k x x x x1 x 2 x 3 g2 2 i 2 j 2 k x x x x1 x 2 x 3 g3 3 i 3 j 3 k x x x
3
1
x3' g3 g2 O
1 v1 v v 2 r 2 v 2 0 r sin 2 v 3 r sin 2 v 3
面元矢量
dS e dl dl z e ddz dS e dl dl z e ddz dS z ez dl dl ez dd
体积元
南京工业大学
dV dddz
张量分析 3、球面坐标系 坐标变量
坐标单位矢量 er , e , e
1
第四章
摩擦
球坐标系：
g1 g2 g3 g1 g2 g3 sin cosi sin sin j cosk r cos cosi r cos sin j r sin k r sin sin i r sin cosj
r sin cos sin cosk r sin 2 cosj r sin cos sin cosk r sin 2 sin i r cos2 cosj r cos2 sin i r sin sin i r sin cosj r sin i r cosj r sin sin i r sin cosj r 2 sin sin 2 r 2 sin cos2 r 2 sin
球面坐标系
dS e dlr dl e rdrd
体积元
南京工业大学
dV r 2sin drdd
球坐标系中的线元、面元和体积元
张量分析 4、坐标单位矢量之间的关系 直角坐标与 圆柱坐标系
e
y
e ez
er
cos sin 0
sin cos 0源自第四章 摩擦1 r cos cosi r cos sin j r sin k g 2 r sin r sin sin i r sin cosj 1 sin cos cos2 k sin cos sin 2 k sin sin 2 sin j sin 2 cosi sin cosi sin sin j cosk g1 1 r sin sin i r sin cosj g2 2 r sin sin cosi sin sin j cosk 1 sin 2 sin 2 k sin cos sin j r sin sin 2 cos2 k sin cos cosi 1 1 cos cosi cos sin j sin k 2 g 2 r r
1


第四章
摩擦
1 r sin i r cosj g 2 r sin 1 2 2 r sin sin i r sin cosj r sin 1 2 2 g3 r sin
3
（3）


2
g1 g1 g1 g2 g1 g3 g ij g2 g1 g2 g2 g2 g3 g3 g1 g3 g2 g3 g3 g1 g1 g1 g 2 g1 g 3 g ij g 2 g1 g 2 g 2 g 2 g 3 g 3 g1 g 3 g 2 g 3 g 3
1 2 3 1 2 3 1 2
g1 r g3 g2 x2‘

O
g3 x sin x sin x i x sin x cos x j
1 2 3 1 2 3

x1'
第四章
摩擦
（2）
g 2 g3 g3 g1 g1 g2 2 3 g , g , g g1 g2 g3 g1 g2 g3 g1 g2 g3
i j i j
dr dr dr gi dx g j dx g ij dx dx
第四章 摩擦
圆柱坐标系：

1 0 g ij 0 r 2 0 0
0 0 , 1

1 ij g 0 0
0 1 r2 0
0 0 1
x3'
e
直角坐标与 球坐标系
e e
ez sin cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos sin 0

单位圆
e

o
柱坐标系与球坐标系之间 坐标单位矢量的关系
南京工业大学
推导过程（见黄克智张量分析第二版习题1.13） 已知:（1）圆柱坐标系如图（a），r =x1， =x2，z =x3。 （2）球坐标系如图（b）， r =x1， =x2， =x3。
2
g1 z
g1 cos x 2 i sin x 2 j g 2 x sin x i x cos x j
1 2 1

r
x2‘
g3 k
第四章 摩擦
x1'
x r sin cos x1 sin x 2 cos x 3 球坐标系： x 2 r sin sin x1 sin x 2 sin x 3 x r cos x1 cos x 2
1 0 2 0 r 2 dr dr d dz 0 0
2 2 2
dr r d dz
0 dr d 0 1 dz
O
d dz
dr
dr
r
2

r
z
x2‘
x1'
第四章
摩擦
球坐标系：
1 0 g ij 0 r 2 0 0 0 , 2 2 r sin 0 1 ij g 0 0 0 1 r2 0 0 0 1 2 2 r sin
x3'
x3'

O
r

r
x2‘ z x1'
O
x2‘

x1'
求：两种坐标系中： （1）gi 通过笛卡儿基 i，j，k 的表达式，画出简图。 （2）求 gi，说明 gi 和 gi 的大小与方向有何关系。 2 ij， （3）由 gi 求 gij，g dr 。
第四章 摩擦
解：（1） 圆柱坐标系：
x r cos x1 cos x 2 x 2 r sin x1 sin x 2 x z x3
x
x x0 （平面）
直角坐标系
面元矢量
dS x exdl y dlz exdydz
dS z ez dlxdl y ez dxdy
dS y ey dl x dl z ey dxdz
z
dz
dS z ez dxdy
dS y ey dxdz
ex
ex
sin cos 0
e
ey
ez 0 0 1 ez cos sin 0
e
ey

e
ex
圆柱坐标与 球坐标系
e
o

单位圆
x
直角坐标系与柱坐标系之间 坐标单位矢量的关系
e e
er
0 0 1
ey
z
ez


er
1
圆柱坐标系：
g1 g2 g3 g1 g2 g3 cosi sin j r sin i r cosj k
r cos2 k r sin 2 k k r


1 g r sin i r cos j k sin j cos i g1 r 1 1 1 2 g k cos i sin j cos j sin i 2 g2 r r r 1 3 g cosi sin j r sin i r cosj r cos2 k sin 2 k k g3
位置矢量 线元矢量 面元矢量
r , ,
dS e dlr dl e rsin drd
r er r dl er dr e rd e rsin d 2 dSr er dl dl er r sin dd
x1 x 2 x 3 g1 1 i 1 j 1 k x x x x1 x 2 x 3 g2 2 i 2 j 2 k x x x x1 x 2 x 3 g3 3 i 3 j 3 k x x x
3
1
x3'
g1 sin x 2 cos x 3i sin x 2 sin x 3 j cos x 2 k g2 x cos x cos x i x cos x sin x j x sin x k
x3'


1 0 2 dr dr d d 0 r 2 0 0
2 2 2 2
dr r d r sin d
2
0 dr d 0 r 2 sin 2 d
2
d
O
d r
r
dr
张量分析
三种常用的正交坐标系
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来 确定。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为
正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称
为坐标变量。
在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角
坐标系、圆柱坐标系和球面坐标系。
南京工业大学
dr
x2‘

x1'
第四章
摩擦
1.16 已知：圆柱坐标系中、球坐标系中矢量的逆变分量 v i。 利用题 1.13 结果分别求两个坐标系中的协变分量 vi 。 解：
vi gij v j
v1 1 0 v2 0 r 2 v 0 0 3 0 v1 v1 v 2 r 2 v 2 0 1 v 3 v 3