平面简谐波的波函数

y
o
第十章 波动
x
7
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数
3 x 、 t 都变 方程表示在不同时刻各质点的位移， 即不同时刻的波形，体现了波的传播.
y
O
u
x
第十章 波动
8
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
4 沿 x轴方向传播的波动方程
A
y
O
u
P x
x
A
yO A cost
所以简谐波的传播也是媒质振动相位的传播。
设 t 时刻 x 处的相位经 dt 传到（x +dx）处，
x x d x 则应有 （t ） （ t d t） u u
dx —— 相速度（相速） u 于是得到 dt 即简谐波的波速就是相速。
第十章 波动
第十章 波动
6
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
2πx 2 t 一定 x 变化 y A cos t 令 t C（定值） 2πx 则 y A cos 该方程表示 t 时刻波传播方向上各质点 的位移, 即 t 时刻的波形（y — x的关系）
y yo t t
对波动方程的各种形式，应着重从 物理意义上去理解和把握. 从实质上看：波动是振动的传播. 从形式上看：波动是波形的传播.
第十章 波动
10
物理学
第五版
总结
10-2 平面简谐波的波函数
已知振动方程，求解波动方程 1.已知坐标原点O的振动方程，求解波动方程 若点P的振动超前于点O，则波动方程为
由初始条件给出 由最大速度和最 大加速度给出
3. 初相位φ的求解主要是由振源或坐标原点的初始状
态给出。
第十章 波动
12
物理学
第五版
能量
10-2 平面简谐波的波函数
x dW dWk dWp dVA sin ( t ) u
2 2 2
1 x 2 2 2 dW p dVA si n ( t ) 2 u 1 x 2 2 2 dWk dVA sin ( t ) 2 u
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
一
平面简谐波的波函数 设有一平面简谐波沿 x 轴正方向传播， 波速
yO A cost
为u，坐标原点 O处质点的振动方程为 沿 x 轴正方向传播的平面简谐波的波函数， 又称波动方程.
yP yO (t Δt ) Acosωt Δt φ x A cos t u
(1)在波动传播的介质中，任一体积元的动能、势能、 总机械能均随t作周期性变化，且变化是同相位的。 体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能均最大； 体积元的位移最大时，三者均为零。
第十章 波动
13
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
3
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
y( x , t ) A cos( t
t
2π

x )
t 2 π
t ( x)
说明：
0

x
沿波传播方向每增加 的距离，相位落后2。 ∴
( x)
x

2 π
波动
4
第十章
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
二
波函数的物理含义
2π
2πx y A cos t
1 x一定， t 变化 令

x
y
则 y A cost
O
t
表示 x点处质点的振动方程（ y — t 的关系）
y ( x, t ) y ( x, t T ) （波具有时间的周期性）
故P 点的振动方程（波动方程）为：
x y yo ( t t ) A cos[( t ) ] u
第十章 波动
9
物理学
第五版
总结
10-2 平面简谐波的波函数
已知坐标原点O的振动方程，求解波动方程
若点P的振动超前于点O，则波动方程为
y yo t t
若点P的振动落后于点O，则波动方程为
第十章 波动
1
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数 波动方程的几种不同形式：
x y A cos t u x t T和ω是由振源决定的。 A cos 2 π λ和u是由介质决定的。 T 2 πx A cost
第十章 波动
t x x0 u
11
物理学
第五版
总结
10-2 平面简谐波的波函数
x y ( x , t ) A cos （ t ） 一般情况下求解波动方程： u
1. T，u，λ，ω这四个量中只要知道其中两个就可以
求出其他。 2. 波动振幅=各质点振动振幅
x t u 若点P的振动落后于点O，则波动方程为 y yo t t
y yo t t
2.已知任意一点Q的振动方程，求解波动方程 方法一 利用点Q的振动方程和距点O的距离求解O 点振动方程后，利用1中的方法求波动方程。 方法二 考察点P的振动相对于Q点是超前还是落后 的，直接利用 y yo t t 来求波动方程。
体积元的振动速度，加速度
y x v A sin[ ( t ) ] t u
y x 2 a 2 A cos[ ( t ) ] t u
2
注意 体积元的振动速度和波的传播速度是完全 不同的，二者之间没有必然联系。
第十章 波动
5
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
1 周期 T 频率 T 2π 2πu 2π 波长 uT 波数 k 2π


第十章
波动
2
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
x x y( x, t ) A cos （t ） （t ） 为波的相位。 u u
波在某点的相位反映该点媒质的“运动状态”。