2013届高三数学下学期期末练习 文(海淀二模)(含解析)

海淀区高三年级第二学期期末练习
数 学（文科）
2013.5
本试卷共4页,150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作 答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

—、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项.
1. 集合{}|(1)(2)0A x x x =-+≤，B ={}0x x <，则A B =
A ．(,0]-∞
B ．(,1]-∞
C ．[1,2]
D ．[1,)+∞ 【答案】B
【解析】{}|(1)(2)0{21}
A x x x x x =-+≤=-≤≤，所以
A B ={1}x x ≤，即选B.
2 已知1
211
ln ,sin ,222
a b c -===，则a,b ，c 的大小关系为
A. a < b < c
B. a <c <b
C.b <a<c
D. b <c < a
【答案】A
【解析】1ln 02a =<，11
0sin sin 262π<<=所以102
b <<
，1
2122c -==>，所以
a 大小关系为c
b a >>。

选A.
3. 如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω. 向正方形内随机撒豆子，若 撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ，则图形Ω面积的估计值为
A.ma n
B.na m
C. 2ma n
D. 2na m
【答案】C
【解析】设图形Ω面积的为S ,则由实验结果得2S m a n
=，解2
ma
S n =,所以选C.
4.俯视图
A.180
B.240
C.276
D.300 【答案】B
【解析】由三视图可知，该几何体的下面部分是边长为6的正方体。

上部分为四棱锥。

四棱锥的底面为正方形，边长为 6.侧面三角形的斜高为 5.所以该几何体的表面积为
21
656542402
⨯+⨯⨯⨯=，选B.
5 下列函数中，为偶函数且有最小值的是
A.f(x) =x 2
+x B.f(x) = |lnx| C.f(x) =xsinx D.f(x) =e x
+e -x
【答案】D
【解析】A ，B 为非奇非偶函数。

C 是偶函数，但没有最小值, D.为偶函数。

()2x x f x e e -=+≥=，当且仅当x x e e -=，即0x =时取最小值，所以选D.
6 在四边形ABCD 中，“λ∃∈R ，使得,AB DC AD BC λλ==”是“四边形ABCD 为平行四边形”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件 【答案】C
【解析】若,AB DC AD BC λλ==，则//,//AB DC AD BC ，即//,//AB DC AD BC ,所以四边形ABCD 为平行四边形。

反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则有//,//AB DC AD BC 且,AB DC AD BC ==，即,AB DC AD BC ==，此时
1λ=，所以λ∃∈R ，使得
,AB DC AD BC λλ==成立。

所以“λ∃∈R ，使得,AB DC AD BC λλ==”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充分必要条件，选C.
7.双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，且2F 恰为抛物线2
4y x =的焦点，设双曲线C 与该抛物
线的一个交点为A ，若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为
B.1+1+2 【答案】B
【解析】抛物线的焦点为(1,0)，即2(1,0)F ,所以双曲线中1c =。

双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，（不妨设在第一象限）若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形，则抛物线的准线过双曲线的左焦点。

所以21222AF F F c ===,所以(1)2A x --=,即1A x =，所以
244A A y x ==,解得2A y =，即(1,2)A .又(1,2)A 在双曲线上，所以122AF AF a -=,即
2222a ===，所以1a =，即双曲线的离心率
1
c e a ===。

选B.
8. 若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为
周期数列，周期为T . 已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>，11, 1=1, 0 1.n n n n n
a a a a a +->⎧⎪
⎨<≤⎪⎩，
则下列结论中错误．．的是 A. 若m=
5
4
，则a 5＝3 B 若a 3=2，则m 可以取3个不同的值 C. 若2m =，则数列{}n a 是周期为3的数列 D.Q m ∃∈且2m ≥，数列{}n a 是周期数列 【答案】D 【解析】A 若45m =
，则1415a =<，所以211514a a =
=>，3251
11144
a a =-=-=<，43
1
41a a =
=>，541413a a =-=-=，所以A 成立。

B.若32a =。

若3212a a =-=，则23a =。

若113a -=，则14a =。

若
113a =，则113a =。

若3212a a ==，则212
a =，若1112a -=
，则13
2
a =。

若1112a =，则12a =，不合题意。

所以满足32a =的m 可以取3个不
同的值，正确。

C.
121a m ==>，则211211a a =-=-<，
3211
21121
a a =
==+>-，所以4312112a a =-=+-=。

此时数列{}n a 是周期为3的数列，所以正确。

所以不正确的选D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9 复数
i
i
-12=______ 【答案】1i -+
【解析】
22(1)2(1)11(1)(1)2
i i i i i i i i i ++===-+--+. 10 甲、乙两名运动员在8场篮球比赛中得分的数据统计 如右图，则甲乙两人发挥较为稳定的是_____.
【答案】乙
【解析】由茎叶图可知：乙运动员的得分大部分集中在22～27分之间，而甲运动员的得分相对比较散故乙运动员的成绩发挥比较稳定．
11 已知数列{a n }是等比数列，且134a a ⋅=，48a =，则5a 的值为____.
【答案】16-或 16
【解析】由134a a ⋅=，48a =得2214a q =，3
18a q =，解得2q =±。

当2q =时，11a =，
此时45116a a q ==。

当2q =-时，11a =-，此时4
5116a a q ==-.所以
5
a 的值为16-或 16。

12 直线y= x+1被圆x 2-2x +y 2
-3 =0所截得的弦长为_____
【答案】【解析】圆的标准方程为2
2
(1)4x y -+=。

圆心为(1,0)，半径为2.圆心到直线10x y -+=
=
=
= 13 已知函数f(x)=sin()10)(62<<-
ωπ
ωx 的图象经过点(,0)6
π
，则ω= ，()f x 在区间[0, π]上的单调递增区间为________ 【答案】
12，2[0,]3
π
【解析】因为函数的图象过点(,0)6π
，所以()sin(2)0666
f πππ
ω=⋅-=，即
2,66k k Z ππωπ⋅-=∈.解得132k ω=+。

因为01ω<<，所以当0k =时，1
2ω=，所以
()sin()6f x x π=-，由22262
k x k πππ
ππ-+≤-≤+，得增区间为
22233k x k ππππ-+≤≤+。

因为0x π≤<，所以当0k =时，233
x ππ
-≤≤
，即203x π≤≤，所以函数的增区间为2[0,]3π。

14 设变量x,y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧-≤-≤-+≥-)1(1040
1x k y y x y 其中k 0,>∈k R
(I)当k=1时2
y
x 的最大值为______； (II)若
2
x y
的最大值为1，则实数k 的取值范围是_____. 【答案】1，02k <≤
【解析】(I)当1k =时，作出不等式对应的区域如图（阴影部分），设2y m x =，即2
1x y m
=，
要使
2y m x =最大，则只需要使抛物线的通径1
m
最小，由图象可知当抛物线经过点C 时，抛物线的通径最小，此时(1,1)C ,代入抛物线方程2y
m x
=得1m =，即当k=1时2y x 的最大值为1.
(II) 设2y m x =，即2
1x y m =，
要使2y m x =最大，则只需要使抛物线的通径1m
最小，当2x y 的最大值为1时，此时抛物线方程为2
y x =，因为直线1(1)y k x -=-过定点(1,1)C ，当直线(1)y x k x -=-在(1,1)C 与抛物线2
y x =相切时，此时k 最大。

由2
'()'2y x x ==，即
212k =⨯=。

所以实数k 的取值范围是02k <≤，
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15 (本小题满分13分）
已知等差数列{a n }的前n 项和为 S n (I)若a 1=1，S 10= 100，求{a n }的通项公式; (II)若S n =n 2-6n ，解关于n 的不等式S n +a n >2n
16 (本小题满分13分）
已知点 D 为ΔABC 的边 BC 上一点.且 BD =2DC, ADB ∠=750，ACB ∠=30°,AD =2. (I)求CD 的长； (II)求ΔABC 的面积
17 (本小题满分14分）
如图1，在直角梯形ABCD 中，AD//BC, ADC ∠=900
，BA=BC 把ΔBAC 沿AC 折起到PAC
∆的位置,使得点P 在平面ADC 上的正投影O 恰好落在线段AC 上，如图2所示，点,E F 分别为线段PC ，CD 的中点．
(I) 求证：平面OEF//平面APD ； (II)求直线CD 与平面POF
(III)在棱PC 上是否存在一点M ,使得M 到点P,O,C,F 四点的距离相等？请说明理由.
18 (本小题满分13分） 已知函数f(x) =lnx g(x) =-
)0(>a a
x
(1)当a=1时，若曲线y=f(x)在点M (x 0,f(x 0))处的切线与曲线y=g(x)在点P (x 0, g(x 0））处的切线平行，求实数x 0的值；
(II)若∈∀x (0,e]，都有f(x)≥g(x) 2
3
，求实数a 的取值范围.
19 (本小题满分丨4分）
已知椭圆C:22
221(0)x y a b a b
+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60的菱形的
四个顶点.
(I)求椭圆C 的方程；
(II)若直线y =kx 交椭圆C 于A ，B 两点，在直线l:x+y-3=0上存在点P,使得 ΔPAB 为等边三角形,求k 的值.
20 (本小题满分13分）
设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”.
(Ⅰ) 数表A 如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所
得的数表（写出一种方法即可）； 表1 (Ⅱ) 数表A 如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数．．a 的所有可能值；
(Ⅲ)对由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的任意一个数表A ，
能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之
表2
和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由.
数 学 （文科）
参考答案及评分标准 2013．5
2222
1212a a a a a a a a ------
说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）
注：11题少写一个，扣两分，错写不给分 13题开闭区间都对
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15．（本小题满分13分） 解：（I ）设{}n a 的公差为d
因为11a =，19
10101002
a a S +=
⨯= ……………………2分 所以1101,19a a == ……………………4分 所以2d =
所以 21n a n =- ……………………6分
（II ）因为2
6n S n n =-
当2n ≥时，2
1(1)6(1)n S n n -=---
所以27n a n =-，2n ≥ ……………………9分
又1n =时，11527a S ==-=-
所以 27n a n =- ……………………10分
所以2
47n n S a n n +=--
所以2472n n n
-->，即2670n n -->
所以7n >或1n <-，
所以7n >，N n ∈ ……………………13分
16. 解：（I ）因为75ADB ∠=，所以45DAC ∠=
在ACD ∆中，AD =， 根据正弦定理有
sin45sin30
CD AD
= ……………………4分
所以2CD = ……………………6分 （II ）所以4BD = ……………………7分 又在ABD ∆中，
75ADB ∠=，6sin75sin(4530)4
+=+= ……………………9分 所以1
sin75312ADB S AD BD ∆=
⋅⋅= ……………………12分
所以32ABC ABD S S ∆∆== ……………………13分
同理，根据根据正弦定理有sin105sin30
AC AD
=
而 6sin105sin(4560)4
+=+= ……………………8分
所以1AC ……………………10分 又4BD =，6BC = ……………………11分 所以 ……………………13分
17.解：（I ）因为点P 在平面ADC 上的正投影O 恰好落在线段AC 上
所以PO ⊥平面ABC ，所以PO ⊥AC …………………2分
因为AB BC =，
所以O 是AC 中点， …………………3分
所以//OE PA …………………4分 同理//OF AD 又,OE
OF O PA AD A ==
所以平面//OEF 平面PDA …………………6分 （II ）因为//OF AD ，AD CD ⊥
所以OF CD ⊥ …………………7分 又PO ⊥平面ADC ，CD ⊂平面ADC
所以PO ⊥CD …………………8分 又OF
PO O =
所以CD ⊥平面POF …………………10分 (III)存在，事实上记点E 为M 即可 …………………11分 因为CD ⊥平面POF ，PF ⊂平面POF 所以CD PF ⊥
又E 为PC 中点，所以 1
2
EF PC =
…………………12分 同理，在直角三角形POC 中，1
2
EP EC OE PC ===， …………………13分
所以点E 到四个点,,,P O C F 的距离相等 …………………14分
18.解：（I ）当因为1a =, 211
'(),()f x g x x x
=
= …………………2分 若函数()f x 在点00(,())M x f x 处的切线与函数()g x 在点00(,())P x g x
处的切线平行， 所以
200
11
x x =，解得01x = 此时()f x 在点(1,0)M 处的切线为1y x =-
()g x 在点(1,1)P - 处的切线为2y x =-
所以01x = …………………4分
（II ）若(0,e]x ∀∈，都有3()()2
f x
g x ≥+ 记33()()()ln 22
a F x f x g x x x =--
=+-， 只要()F x 在(0,e]上的最小值大于等于0
221'()a x a
F x x x x
-=
-= …………………6分 则'(),()F x F x 随x 的变化情况如下表：
…………………8分 当e a ≥时，函数()F x 在(0,e)上单调递减，(e)F 为最小值
所以3(e)102a F e =+-≥，得e 2
a ≥ 所以e a ≥ …………………10分 当e a <时，函数()F x 在
(0,)a 上单调递减，在(,e)a 上单调递增 ，
()F a 为最小值，所以3()ln 02
a F a
a a =+-≥，得a ≥ e a < ………………12分
a ≤ ………………13分
19.解：(I)
因为椭圆:C 22
221(0)x y a b a b
+=>>的四个顶点恰好是一边长为2， 一内角为60 的菱形的四个顶点,
所以1a b ==,椭圆C 的方程为2
213
x y += ………………4分 (II)设11(,),A x y 则11(
,),B x y --
当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴，
y 轴与直线:30l x y +-=的交点为(0,3)P ,
又因为|||3AB PO ==，所以60PAO ∠=，
所以PAB ∆是等边三角形,所以直线AB 的方程为0y = ………………6分 当直线AB 的斜率存在且不为0时，设AB 的方程为y kx =
所以2
213x y y kx
⎧+=⎪⎨⎪=⎩，化简得22(3
1)3k x +=
所以 1||x =||AO ==………………8分
设AB 的垂直平分线为1y x k
=-
，它与直线:30l x y +-=的交点记为00(,)P x y 所以31y x y x k =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得003131k x k y k ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩,
则||PO =………………10分 因为PAB ∆为等边三角形，
所以应有|||PO AO =
代入得到=0k =（舍），1k =-……………13分 此时直线AB 的方程为y x =-
综上，直线AB 的方程为y x =-或0y = ………………14分
20.解：（I ）
法1：
42123712371237210121012101
-−−−−−→−−−−−→----改变第列改变第行 法2： 24123712371237210121012101
--−−−−−→−−−−−→----改变第行改变第列 法3： 14123712371237210121012101----−−−−−→−−−−−→--改变第列改变第列 （写出一种即
可） …………………3分
(II) 每一列所有数之和分别为2，0，2-，0，每一行所有数之和分别为1-，1; ①如果操作第三列，则 22
22
1212a a a a a a a a ----- 则第一行之和为21a -，第二行之和为52a -，
210520a a -≥⎧⎨-≥⎩
,解得1,2a a ==. …………………6分 ② 如果操作第一行 2
222
1212a a a a a a a a ----- 则每一列之和分别为22a -，222a -，22a -，22a
解得1a = …………………9分
综上1a = …………………10分 (III) 证明：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和） 由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得 数阵中mn 个数之和增加，且增加的幅度大于等于1(1)2--=，但是每次操作都只 是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中mn 个数之和必然小于等于11||m n
ij i j a ==∑∑，可见其增加的趋势必在有限次之后终止,终止
之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立 …………………13分。