2021年高考数学(文)一轮复习讲义第2章25指数与指数函数
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§2.5指数与指数函数
最新考纲
考情考向分析
1.了解指数函数模型的实际背景.
2.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.
3.理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图象通
过的特殊点,会画底数为2,3,10,12,1
3
的指数函数的图象. 4.体会指数函数是一类重要的函数模型. 直接考查指数函数的图象与性质;以指数函数为载体,考查函数与方程、不等式等交汇问题,题型一般为选择、填空题,假设
题型为解答题,那么题目中等偏
难.
1.分数指数幂
(1)m n
a =n
a m
(a >0,m ,n ∈N *,且n >1);m n
a
=
1m n
a
(a >0,m ,n ∈N *,且n >1);0的正分数
指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理数指数幂的运算性质:a r a s =a r +
s ,(a r )s =a rs ,(ab )r =a r b r ,其中a >0,b >0,r ,s ∈Q . 2.指数函数的图象与性质
y =a x
a >1
0<a <1
图象
定义域 (1)R 值域
(2)(0,+∞) 性质
(3)过定点(0,1)
(4)当x >0时,y >1;当x <0时,0<y <1
(5)当x >0时,0<y <1;当x <0时,y >1
(6)在(-∞,+∞)上是增函数 (7)在(-∞,+∞)上是减函数
概念方法微思考
1.如下列图是指数函数(1)y =a x ,(2)y =b x ,(3)y =c x ,(4)y =d x 的图象,那么a ,b ,c ,d 与1之间的大小关系为________. 提示c >d >1>a >b >0
2.结合指数函数y =a x (a >0,a ≠1)的图象和性质说明a x >1(a >0,a ≠1)的解集是否与a 的取值有关.
提示当a >1时,a x >1的解集为{x |x >0};当0<a <1时,a x >1的解集为{x |x <0}. 题组一思考辨析
1.判断以下结论是否正确(请在括号中打“√〞或“×〞) (1)n a n =(n
a )n =a (n ∈N *).(×)
(2)分数指数幂m n
a 可以理解为m
n 个a 相乘.(×)
(3)函数y =3·2x 与y =2x
+1
都不是指数函数.(√)
(4)假设a m <a n (a >0,且a ≠1),那么m <n .(×) 题组二教材改编
2.化简4
16x 8y 4(x <0,y <0)=________. 答案-2x 2y
3.假设函数f (x )=a x (a >0,且a ≠1)的图象经过点P ⎝⎛⎭⎫2,1
2,那么f (-1)=________. 答案2
解析由题意知12=a 2,所以a =2
2,
所以f (x )=⎝⎛
⎭⎫22x ,所以f (-1)=⎝⎛⎭
⎫2
2-1= 2. 4.a =13
35-
⎛⎫ ⎪
⎝⎭,b =14
35-⎛⎫ ⎪⎝⎭
,c =34
32-⎛⎫
⎪⎝⎭,那么a ,b ,c 的大小关系是________.
答案c <b <a
解析∵y =⎝⎛⎭⎫35x
是R 上的减函数, ∴13
35-⎛⎫ ⎪
⎝⎭>14
35-⎛⎫
⎪⎝⎭
>⎝⎛⎭⎫350,即a >b >1, 又c =3
4
32-
⎛⎫
⎪⎝⎭
<⎝⎛⎭⎫320
=1,∴c <b <a . 题组三易错自纠
5.计算:3
(1+2)3+4
(1-2)4=________. 答案22
6.实数a ,b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a =⎝⎛⎭⎫13b
,以下五个关系式
①0<b <a ;②a <b <0;③0<a <b ;④b <a <0;⑤a =b ,不可能成立的是________. 答案③④
解析在同一坐标系内,作出函数y =⎝⎛⎭⎫12x
和y =⎝⎛⎭⎫13x 的图象(如图). 当a >b >0时,⎝⎛⎭⎫12a =⎝⎛⎭⎫13b
可能成立. 当a <b <0时,⎝⎛⎭⎫12a =⎝⎛⎭⎫13b 可能成立. 当a =b =0时,⎝⎛⎭⎫12a =⎝⎛⎭⎫13b 显然成立. 当0<a <b 时,显然⎝⎛⎭⎫12a >⎝⎛⎭⎫13b . 当b <a <0时,显然⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫13b . 综上可知,③④不可能成立.
指数幂的运算
1.(2022·四川绵阳诊断)计算23×3
1.5×6
12=________. 答案6
解析原式=2×12
3×13
32⎛⎫
⎪⎝⎭
×1
612
=2×12
3×13
3×13
2-
×163×13
2 =2×111236
3
++×1133
2
-+=6.
2.(2022·沧州七校联考)113
2
1332
(4)14(0.1)()
ab a b ----⎛⎫
⎪⎝⎭
⋅⋅a >0,b >0)=________.
答案85
解析原式=
33322
2
332
2
2410a b a b
-
-
⋅=85
. 3.假设12x +12
x -=3,那么
332
2
23
2
x x x x -
-2+-+-=________.
答案13
解析由12
x +12
x
-
=3,两边平方,得x +x -1=7,
再平方得x 2+x -2=47. ∴x 2+x -2-2=45.
32
x +32x -
=(12x )3
+(12x -
)3=(12
x +12
x -
)(x -1+x -1)=3×(7-1)=18.
∴
332
2
232x x x x -
-2+-+-=1
3
.
思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法那么计算,还应注意:
①必须同底数幂相乘,指数才能相加. ②运算的先后顺序.
(2)当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.
指数函数的图象及应用
例1(1)函数y =x
|x |a x (0<a <1)的图象的大致形状是()
答案D
解析因为y =xa x |x |=⎩
⎪⎨⎪⎧
a x
,x >0,-a x
,x <0,
且0<a <1,所以根据指数函数的图象和性质,当x ∈(0,+
∞)时函数是减函数;当x ∈(-∞,0)时函数是增函数,所以函数在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增,应选D.
(2)假设曲线y =|2x -1|与直线y =b 有两个公共点,那么实数b 的取值范围为________. 答案(0,1)
解析曲线y =|2x -1|与直线y =b 的图象如下列图,由图象可得,如果曲线y =|2x -1|与直线y =b 有两个公共点,那么b 的取值范围是(0,1).
思维升华(1)函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断选项中的图象是否过这些点,假设不满足那么排除.
(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
跟踪训练1(1)函数y=a|x|(a>1)的图象是()
答案B
解析函数y=a|x|(a>1)是偶函数,当x≥0时,y=a x,又a>1,应选B.
(2)方程2x=2-x的解的个数是________.
答案1
解析方程的解可看作函数y=2x和y=2-x的图象交点的横坐标,分别作出这两个函数的图象(如图).
由图象得只有一个交点,因此该方程只有一个解.
指数函数的性质及应用
命题点1比较指数式的大小
例2(1)a=
2
3
1
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
,b=
4
3
2-,c=
1
3
1
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
,那么以下关系中正确的选项是()
A.c<a<b B.b<a<c C.a<c<b D.a<b<c 答案B
解析因为b=
4
3
1
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
,函数y=⎝⎛⎭⎫12x在R上为减函数,4
3>
2
3>
1
3
,所以
4
3
1
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
<
2
3
1
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
<
1
3
1
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
,
即b<a<c.
(2)设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,那么a,b,c的大小关系是() A.a<b<c B.a<c<b
C.b<a<c D.b<c<a
答案C
解析∵函数y=0.6x是减函数,0<0.6<1.5,
∴1>0.60.6>0.61.5,即b<a<1.
∵函数y=1.5x在(0,+∞)上是增函数,0.6>0,
∴1.50.6>1.50=1,即c>1.
综上,b<a<c.
命题点2解简单的指数方程或不等式
例3(1)实数a ≠1,函数f (x )=⎩
⎪⎨⎪⎧
4x ,x ≥0,
2a -x ,x <0,假设f (1-a )=f (a -1),那么a 的值为______.
答案1
2
解析当a <1时,41-a =21,解得a =1
2;
当a >1时,代入不成立.故a 的值为1
2
.
(2)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧
⎝⎛⎭⎫12x -7,x <0,
x ,x ≥0,假设f (a )<1,那么实数a 的取值范围是()
A .(-∞,-3)
B .(1,+∞)
C .(-3,1)
D .(-∞,-3)∪(1,+∞) 答案C
解析当a <0时,不等式f (a )<1可化为⎝⎛⎭⎫12a -7<1,即⎝⎛⎭⎫12a <8,即⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12-3, 因为0<1
2
<1,所以a >-3,此时-3<a <0;
当a ≥0时,不等式f (a )<1可化为a <1,即0≤a <1. 故a 的取值范围是(-3,1),应选C. 命题点3指数函数性质的综合应用 例4(1)函数f (x )=221
12x x ⎛⎫
⎪⎝⎭
-++的单调减区间为________.
答案(-∞,1]
解析设u =-x 2+2x +1, ∵y =⎝⎛⎭⎫12u
在R 上为减函数, ∴函数f (x )=221
12x x ⎛⎫
⎪⎝⎭
-++的减区间即为函数u =-x 2+2x +1的增区间.
又u =-x 2+2x +1的增区间为(-∞,1], ∴f (x )的减区间为(-∞,1]. (2)函数f (x )=2|2x -m |
(m 为常数),假设f (x )在区间[2,+∞)上单调递增,那么m 的取值范围是
________. 答案(-∞,4]
解析令t =|2x -m |,那么t =|2x -m |在区间⎣⎡⎭⎫m 2,+∞上单调递增,在区间⎝⎛⎦⎤-∞,m
2上单调递减.而y =2t 在R 上单调递增,所以要使函数f (x )=2|2x -m |在[2,+∞)上单调递增,那么有
m
2≤2,即m ≤4,所以m 的取值范围是(-∞,4].
函数f (x )=4x -2x +1的值域是________.
答案[-1,+∞) 解析设t =2x (t >0),那么 y =t 2-2t =(t -1)2-1(t >0). 当t =1时,y min =-1,无最大值.
∴函数f (x )=4x -2x +1的值域为[-1,+∞).
假设函数f (x )=243
13ax x ⎛⎫
⎪
⎝⎭
-+有最大值3,那么a =________.
答案1
解析令h (x )=ax 2-4x +3,f (x )=⎝⎛⎭⎫13h (x )
,
由于f (x )有最大值3,所以h (x )应有最小值-1,
因此必有⎩⎨⎧
a >0,
12a -16
4a =-1,
解得a =1,
即当f (x )有最大值3时,a 的值为1.
思维升华(1)利用指数函数的函数性质比较大小或解方程、不等式,最重要的是“同底〞原那么,比较大小还可以借助中间量.
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题,要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减〞这一性质分析判断.
跟踪训练2(1)f (x )=2x -2-
x ,a =14
79-
⎛⎫
⎪⎝⎭
,b =15
97⎛⎫
⎪⎝⎭
,
那么f (a ),f (b )的大小关系是__________. 答案f (b )<f (a )
解析易知f (x )=2x -2-x 在R 上为增函数,
又a =14
79-
⎛⎫
⎪⎝⎭
=1497⎛⎫
⎪⎝⎭>15
97⎛⎫
⎪⎝⎭
=b , ∴f (a )>f (b ).
(2)假设函数f (x )=a |2x -
4|(a >0,a ≠1)满足f (1)=19,那么f (x )的单调递减区间是()
A .(-∞,2]
B .[2,+∞)
C .[-2,+∞)
D .(-∞,-2] 答案B
解析由f (1)=19,得a 2=1
9
,
所以a =13或a =-1
3
(舍去),即f (x )=⎝⎛⎭⎫13|2x -4|. 由于y =|2x -4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,y =⎝⎛⎭⎫13x 在(-∞,+∞)上单调递减,
所以f (x )在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减.应选B.
(3)假设不等式1+2x +4x ·a ≥0在x ∈(-∞,1]时恒成立,那么实数a 的取值范围是____________. 答案⎣⎡⎭
⎫-3
4,+∞ 解析从不等式中别离出实数a ,
得a ≥-⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫14x +⎝⎛⎭⎫12x . ∵函数y =⎝⎛⎭⎫14x +⎝⎛⎭⎫12x
在R 上是减函数,
∴当x ∈(-∞,1]时,⎝⎛⎭⎫14x +⎝⎛⎭⎫12x ≥14+12=34,从而得-⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14x +⎝⎛⎭⎫12x ≤-34. 故实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫-3
4,+∞. 1.假设实数a >0,那么以下等式成立的是() A .(-2)-2=4B .2a -
3=12a 3
C .(-2)0=-1
D .14
4()a -=1
a
答案D
解析对于A ,(-2)-2=14,故A 错误;对于B,2a -3=2
a 3,故B 错误;对于C ,(-2)0=1,故
C 错误;对于
D ,14
4()a -=1
a
,故D 正确.
2.(2022·北京大兴区期末)以下函数中值域为正实数集的是() A .y =-5x B .y =⎝⎛⎭⎫131-x
C .y =⎝⎛⎭
⎫12x -1D .y =3|x |
答案B
3.a =0.860.75,b =0.860.85,c =1.30.86,那么a ,b ,c 的大小关系是() A .a >b >c B .b >a >c C .c >b >a D .c >a >b 答案D
解析∵函数y =0.86x 在R 上是减函数, ∴0<0.860.85<0.860.75<1, 又1.30.86>1,∴c >a >b .
4.a ,b ∈(0,1)∪(1,+∞),当x >0时,1<b x <a x ,那么() A .0<b <a <1B .0<a <b <1 C .1<b <a D .1<a <b 答案C
解析∵当x >0时,1<b x ,∴b >1.
∵当x >0时,b x <a x ,∴当x >0时,⎝⎛⎭⎫a b x >1. ∴a
b
>1,∴a >b ,∴1<b <a ,应选C. 5.函数f (x )=a x -1
a (a >0,a ≠1)的图象可能是()
答案D
解析方法一当a >1时,将y =a x 的图象向下平移1a 个单位长度得f (x )=a x -1
a 的图象,A ,B 都
不符合;当0<a <1时,将y =a x 的图象向下平移1a 个单位长度得f (x )=a x -1a 的图象,而1
a 大于
1,应选D.
方法二函数f (x )的图象恒过点(-1,0),只有选项D 中的图象符合.
6.(2022·安徽省马鞍山第二中学模拟)假设函数y =a x -m
+n -3(a >0且a ≠1)的图象恒过定点
(3,2),那么m +n =________. 答案7
解析∵函数y =a x -m +n -3(a >0且a ≠1)的图象恒过定点, 令x -m =0,可得x =m ,y =n -2, 可得函数的图象经过定点(m ,n -2).
∴m =3,n -2=2,解得m =3,n =4,那么m +n =7.
7.假设函数f (x )=⎩
⎪⎨⎪⎧
a x ,x >1,
(2-3a )x +1,x ≤1是R 上的减函数,那么实数a 的取值范围是________.
答案⎝⎛⎦⎤
23,34
解析假设函数f (x )=⎩
⎪⎨
⎪⎧
a x
,x >1,(2-3a )x +1,x ≤1是R 上的减函数,那么⎩⎪⎨⎪
⎧
0<a <1,
2-3a <0,
a ≤2-3a +1,
解得
a ∈⎝⎛⎦⎤
23,34.
8.假设关于x 的方程|a x -1|=2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根,那么a 的取值范围是________. 答案⎝⎛⎭
⎫0,1
2 解析方程|a x -1|=2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根⇔函数y =|a x -1|与y =2a 的图象有两个交点.
①当0<a <1时,如图①, 所以0<2a <1,即0<a <12.
②当a >1时,如图②, 而y =2a >1不符合要求. 综上,0<a <1
2
.
9.函数f (x )=a x +b (a >0,a ≠1)的定义域和值域都是[-1,0],那么a +b =________. 答案 -3
2
解析①当0<a <1时,函数f (x )在[-1,0]上单调递减,
由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (-1)=0,f (0)=-1,即⎩⎪⎨⎪⎧ a -1+b =0,a 0+b =-1,解得⎩⎪⎨⎪⎧
a =12,
b =-2,此时a +b =-32. ②当a >1时,函数f (x )在[-1,0]上单调递增,由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (-1)=-1,f (0)=0,即⎩⎪⎨⎪⎧
a -1+
b =-1,a 0+b =0,显然无解.
所以a +b =-32
. 10.当x ∈(-∞,-1]时,不等式(m 2-m )·4x -2x <0恒成立,那么实数m 的取值范围是________. 答案(-1,2)
解析原不等式变形为m 2-m <⎝⎛⎭⎫12x ,
因为函数y =⎝⎛⎭⎫12x 在(-∞,-1]上是减函数,
所以⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫12-1=2,
当x ∈(-∞,-1]时,m 2-m <⎝⎛⎭⎫12x 恒成立等价于m 2-m <2,解得-1<m <2.
11.求函数f (x )=-4x -2x +
1+3的定义域、值域.
解∵-4x -2x +1+3≥0,
即(2x )2+2·2x -3≤0.
令t =2x >0,∴t 2+2t -3≤0,
∴(t -1)(t +3)≤0,∴0<t ≤1.
∴2x ≤1.∴x ≤0.∴函数f (x )的定义域为(-∞,0].
令y =-t 2-2t +3=-(t +1)2+4(0<t ≤1).
对称轴t =-1.∴函数y 在(0,1]上单调递减.
∴0≤y <3.
∴函数f (x )的值域为[0,3).
12.函数f (x )=b ·a x (其中a ,b 为常量,且a >0,a ≠1)的图象经过点A (1,6),B (3,24).
(1)求f (x )的表达式;
(2)假设不等式⎝⎛⎭⎫1a x +⎝⎛⎭⎫1b x -m ≥0在(-∞,1]上恒成立,求实数m 的取值范围.
解(1)因为f (x )的图象过A (1,6),B (3,24),
所以⎩
⎪⎨⎪⎧ b ·a =6,b ·a 3=24.所以a 2=4, 又a >0,所以a =2,b =3.所以f (x )=3·2x .
(2)由(1)知a =2,b =3,那么当x ∈(-∞,1]时,⎝⎛⎭⎫12x +⎝⎛⎭⎫13x -m ≥0恒成立,即m ≤⎝⎛⎭⎫12x +⎝⎛⎭
⎫13x 在(-∞,1]上恒成立.
又因为y =⎝⎛⎭⎫12x 与y =⎝⎛⎭⎫13x 在(-∞,1]上均为减函数,所以y =⎝⎛⎭⎫12x +⎝⎛⎭
⎫13x 在(-∞,1]上也是减函数,所以当x =1时,y =⎝⎛⎭⎫12x +⎝⎛⎭⎫13x 有最小值56,所以m ≤56
,即m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤-∞,56. 13.函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ -⎝⎛⎭⎫12x ,a ≤x <0,-x 2+2x ,0≤x ≤4
的值域是[-8,1],那么实数a 的取值范围是() A .(-∞,-3] B .[-3,0)
C .[-3,-1]
D .{-3}
答案B
解析当0≤x ≤4时,f (x )∈[-8,1],当a ≤x <0时,f (x )∈⎣⎡⎭⎫-12a ,-1,所以⎣⎡⎭
⎫-12a ,-1
[-8,1],即-8≤-12
a <-1,即-3≤a <0.所以实数a 的取值范围是[-3,0). 14.函数y =⎝⎛⎭⎫14x -⎝⎛⎭⎫12x +1在区间[-3,2]上的值域是________.
答案⎣⎡⎦⎤34,57
解析令t =⎝⎛⎭⎫12x ,那么y =t 2-t +1=⎝⎛⎭⎫t -122+34
, ∵x ∈[-3,2],∴t ∈⎣⎡⎦⎤14,8,∴当t =12时,y min =34
, 当t =8时,y max =57.∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤34,57.
15.设f (x )=|2x -1-1|,a <c 且f (a )>f (c ),那么2a +2c ______4.(选填“>〞“<〞“=〞) 答案<
解析f (x )在(-∞,1]上是减函数,在[1,+∞)上是增函数,故结合条件知必有a <1. 假设c ≤1,那么2a <2,2c ≤2,故2a +2c <4;
假设c >1,那么由f (a )>f (c ),得1-2a -1>2c -1-1, 即2c -1+2a -1<2,即2a +2c <4.
综上,总有2a +2c <4.
16.函数f (x )=14x -λ2
x -1+4(-1≤x ≤2). (1)假设λ=32
,求函数f (x )的值域; (2)假设方程f (x )=0有解,求实数λ的取值范围.
解(1)f (x )=14x -λ2x -1+4 =⎝⎛⎭⎫122x -2λ·⎝⎛⎭
⎫12x +4(-1≤x ≤2). 设t =⎝⎛⎭⎫12x ,得g (t )=t 2-2λt +4⎝⎛⎭
⎫14≤t ≤2. 当λ=32
时,g (t )=t 2-3t +4 =⎝⎛⎭⎫t -322+74⎝⎛⎭
⎫14≤t ≤2. 所以g (t )max =g ⎝⎛⎭⎫14=5316,g (t )min =g ⎝⎛⎭⎫32=74
. 所以f (x )max =5316,f (x )min =74
, 故函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤74,5316.
(2)方程f (x )=0有解可转化为
λ=2·2x +12·12x (-1≤x ≤2). 设φ(x )=2·2x +12·2x ⎝⎛⎭⎫12
≤2x ≤4, 当2x =12
,即x =-1时,φ(x )min =2; 当2x =4,即x =2时,φ(x )max =
658. 所以函数φ(x )的值域为⎣
⎡⎦⎤2,658. 故实数λ的取值范围是⎣⎡⎦⎤2,658.。