山东淄博第一中学2025届数学高三第一学期期末综合测试试题含解析

山东淄博第一中学2025届数学高三第一学期期末综合测试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知曲线2
4x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆
22650x y y +-+=所得弦长为（ ）
A B ．2
C ．4
D ．2．已知双曲线22
221(0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A B 、两点，且直线l 的倾斜
角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ）
A B C D
3．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC 的面积为1)-，则b c +=（ ）
A ．5
B ．
C ．4
D ．16
4．关于函数11
()4sin 4cos 232
3f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有下述三个结论：
①函数()f x 的一个周期为
2
π； ②函数()f x 在423,ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦上单调递增；
③函数()f x 的值域为. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②
B ．②
C ．②③
D ．③
50y m -+=过双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点F ，且与双曲线C 在第二象限交于点A ，若
||||FA FO =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为
A ．2
B 1
C
D 1
6．设双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0，b ＞0）的一个焦点为F （c ,0）（c ＞0），且离心率等于5，若该双曲线的一条渐近
线被圆x 2+y 2﹣2cx ＝0截得的弦长为25，则该双曲线的标准方程为（ ）
A ．22
1205x y -=
B ．22
125100
x y -=
C ．22
1520
x y -=
D ．22
1525
x y -=
7．已知命题p ：若1a >，1b c >>，则log log b c a a <；命题q ：()00,x ∃+∞，使得0
302log x x <”，则以下命题为真
命题的是（ ） A ．p q ∧
B ．()p q ∧⌝
C ．()p q ⌝∧
D ．()()p q ⌝∧⌝
8．若0,0x y >>，则“222x y xy +=”的一个充分不必要条件是 A ．x y = B ．2x y = C ．2x =且1y =
D ．x y =或1y =
9．若直线2y x =-的倾斜角为α，则sin 2α的值为（ ） A ．
45
B ．45
-
C ．45
±
D ．
35
10．在5
6
7
8
(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-的展开式中，含3x 的项的系数是（ ） A ．74
B ．121
C ．74-
D ．121-
11．过双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>左焦点F 的直线l 交C 的左支于,A B 两点，直线AO （O 是坐标原点）交
C 的右支于点
D ，若DF AB ⊥，且
BF DF =，则C 的离心率是（ ） A ．
5
2
B ．2
C ．5
D ．
102
12．已知圆截直线
所得线段的长度是
，则圆与圆
的位置
关系是（ ） A ．内切
B ．相交
C ．外切
D ．相离
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若1c =，60C =，则b 的取值范围是_____．
14．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()0,5，点B 是直线l ：1
2
y x =上位于第一象限内的一点．已知以AB 为直径的圆被直线l 所截得的弦长为25，则点B 的坐标__________．
15．（5分）已知曲线C 的方程为3()=-+∈y ax x a R ，其图象经过点(1,0)P ，则曲线C 在点P 处的切线方程是____________．
16．满足约束条件||2||2x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是 . 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，AC ＝CB ＝C 1C ＝1，M ，N 分别是AB ，A 1C 的中点.
（1）求证：直线MN ⊥平面ACB 1； （2）求点C 1到平面B 1MC 的距离.
18．（12分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为
22cos 2sin x y θ
θ
=+⎧⎨
=⎩（θ为参数），直线l 经过点(1,33M --且倾斜角为α. （1）求曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程；
（2）已知直线l 与曲线C 交于,A B ，满足A 为MB 的中点，求tan α.
19．（12分）椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2
2
，它的四个顶点构成的四边形面积为22（1）求椭圆C 的方程；
（2）设P 是直线2x a =上任意一点，过点P 作圆2
2
2
x y a +=的两条切线，切点分别为M ，N ，求证：直线MN 恒过一个定点.
20．（12分）在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为6sin x y α
α
⎧=⎪⎨=⎪⎩（α是参数），以原点O 为极点，x 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
. （1）求直线l 与曲线C 的普通方程，并求出直线的倾斜角；
（2）记直线l 与y 轴的交点为,Q M 是曲线C 上的动点，求点,M Q 的最大距离. 21．（12分）已知函数3
222()3
f x x mx m x =
-+(m ∈R )的导函数为()f x '． （1）若函数()()()g x f x f x =-'存在极值，求m 的取值范围；
（2）设函数()(e )(ln )x
h x f f x ='+'（其中e 为自然对数的底数），对任意m ∈R ，若关于x 的不等式2
2
()h x m k ≥+在(0，+∞)上恒成立，求正整数k 的取值集合．
22．（10分）已知函数()2
cos 2cos 1f x x x x =-+.
（1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若满足()2f B =，8a =，5c =，求cos A .
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【解析】
设22
1212,,,,(,3)44x x A x B x P t ⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，根据导数的几何意义，求出切线斜率，进而得到切线方程，将P 点坐标代入切线
方程，抽象出直线AB 方程，且过定点为已知圆的圆心，即可求解. 【详解】
圆2
2
650x y y +-+=可化为22
(3)4x y +-=.
设22
1212,,,,(,3)44x x A x B x P t ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，
则12,l l 的斜率分别为1212,22
x x k k =
=， 所以12,l l 的方程为()2
1111:24
x x l y x x =-+，即112x y x y =-，
()2
22
22:24
x x l y x x =-+，即222x y x y =-，
由于12,l l 都过点(,3)P t -，所以1
12
232
32
x t y x t y ⎧-=-⎪⎪
⎨
⎪-=-⎪⎩
，
即()()1122,,,A x y B x y 都在直线32
x
t y -=
-上， 所以直线AB 的方程为32
x
t y -=-，恒过定点(0,3)， 即直线AB 过圆心(0,3)，
则直线AB 截圆22
650x y y +-+=所得弦长为4. 故选:C. 【点睛】
本题考查直线与圆位置关系、直线与抛物线位置关系，抛物线两切点所在直线求解是解题的关键，属于中档题. 2、B 【解析】
先求出直线l 的方程为y 22
2ab a b =
-（x ﹣c ），与y ＝±b
a
x 联立，可得A ，B 的纵坐标，利用2AF FB =，求出a ，b 的关系，即可求出该双曲线的离心率． 【详解】
双曲线22
22x y a b
-=1（a ＞b ＞0）的渐近线方程为y ＝±b a x ，
∵直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍， ∴k l 22
2ab
a b =
-，
∴直线l 的方程为y 22
2ab
a b =
-（x ﹣c ），
与y ＝±b a x 联立，可得y 2223abc a b =--或y 22
2abc
a b =+，
∵2AF FB =， ∴
222abc a b =+2•22
23abc
a b
-，
∴a =， ∴c ＝2b ，
∴e 3
c a =
=
． 故选B ． 【点睛】
本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题． 3、C 【解析】
根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4
A π
=,再根据面积公式可求得6(2bc =,再代入余弦定理求解即可.
【详解】
ABC 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,
又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,
∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈,
∴4
A π
=
.∵1sin 1)24
ABC
S
bc A ===,
∴bc =6(2-,∵2a =,∴由余弦定理可得22()22cos a b c bc bc A =+--,
∴2()4(2b c bc +=++4(26(216=++⨯-=,可得4b c +=.
故选：C 【点睛】
本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题. 4、C 【解析】
①用周期函数的定义验证.②当3,42x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
时，1717,231224x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1()212π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ，再利用单调性
判断.③根据平移变换，函数11
()4sin 4cos 232
3f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域等价于函数
11
()4sin 4cos 22g x x x =+的值域，而()()g x g x π+=，当[0,]x π∈时，1
()2
3π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭g x x 再求值域.
【详解】 因为171711
4sin 4cos 4cos 4sin ()2212212212212f x x x x x f x πππππ⎛
⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+
=+++=+++≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，故①错误；
当3,42x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦时，1717,231224x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以111()4sin 4cos 23232
12f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，111,212324πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦x 所以()f x 在423,ππ⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦上单调递增，故②正确； 函数11
()4sin 4cos 232
3f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域等价于函数11()4sin 4cos 22g x x x =+的值域，易知
()()g x g x π+=，故当[0,]x π∈时，1
()2
3g x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，故③正确.
故选：C. 【点睛】
本题考查三角函数的性质，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于中档题. 5、B 【解析】
0y m -+=的倾斜角为
π
3
，易得||||FA FO c ==．设双曲线C 的右焦点为E ，可得AFE △中，90FAE ∠=，则
||AE ，所以双曲线C 的离心率为1
e =
.故选B ．
6、C 【解析】
由题得c
a =
b ==222+=a b
c ，联立解方程组即可得25a =，220b =，进而得出双曲线方程. 【详解】
由题得c
e a
=
= ①
又该双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，且被圆x 2+y 2﹣2cx ＝0截得的弦长为
所以
222
5bc b c a b ==-+ ②
又222+=a b c ③ 由①②③可得：25a =，220b =，
所以双曲线的标准方程为22
1520
x y -=.
故选：C 【点睛】
本题主要考查了双曲线的简单几何性质，圆的方程的有关计算，考查了学生的计算能力. 7、B 【解析】
先判断命题,p q 的真假,进而根据复合命题真假的真值表,即可得答案. 【详解】
1
log log b a a b =
，1log log c
a a c =，因为1a >，1
b
c >>，所以0log log a a c b <<，所以11log log a a c b
>，即命题p 为真命题；画出函数2x
y =和3log y x =图象，知命题q 为假命题,所以()p q ∧⌝为真.
故选:B.
【点睛】
本题考查真假命题的概念,以及真值表的应用,解题的关键是判断出命题,p q 的真假,难度较易. 8、C 【解析】
0,0x y >>，
∴222x y xy +≥，当且仅当2x y = 时取等号.
故“2,x =且1y = ”是“222x y xy +=”的充分不必要条件.选C ．
9、B 【解析】
根据题意可得：tan 2α，
所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tan 2α代入计算即可求出值．
【详解】
由于直线2y x =-的倾斜角为α，所以tan 2α，
则22222sin cos 2tan 224
sin 22sin cos sin cos tan 1(2)15
ααααααααα-⨯=====-++-+
故答案选B 【点睛】
本题考查二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及直线倾斜角与斜率之间的关系，熟练掌握公式是解本题的关键． 10、D 【解析】
根据5
6
7
8
(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-，利用通项公式得到含3x 的项为：()+
++-3
3
3335678()C C C C x ，进而得到
其系数， 【详解】
因为在5678
(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-，
所以含3x 的项为：()+
++-3
3
3335678()C C C C x ，
所以含3x 的项的系数是的系数是33335678()C C C C -+++，
()10203556121=-+++=-，
故选：D 【点睛】
本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题， 11、D 【解析】
如图，设双曲线的右焦点为2F ，连接2DF 并延长交右支于C ，连接FC ，设2DF x =，利用双曲线的几何性质可以得到2DF x a =+，4FC x a =+，结合Rt FDC ∆、2Rt FDF ∆可求离心率.
【详解】
如图，设双曲线的右焦点为2F ，连接FC ，连接2DF 并延长交右支于C . 因为2,==FO OF AO OD ，故四边形2FAF D 为平行四边形，故2FD DF ⊥. 又双曲线为中心对称图形，故2F C BF =.
设2DF x =，则2DF x a =+，故22F C x a =+，故4FC x a =+.
因为FDC ∆为直角三角形，故()()()2
2
2
4222x a x a x a +=+++，解得x a =. 在2Rt FDF ∆中，有22249c a a =+，所以510
22
c e a ===
. 故选：D. 【点睛】
本题考查双曲线离心率，注意利用双曲线的对称性（中心对称、轴对称）以及双曲线的定义来构造关于,,a b c 的方程，本题属于难题. 12、B 【解析】 化简圆到直线的距离
，
又
两圆相交. 选B
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、23⎛ ⎝⎦
【解析】
计算出角B 的取值范围，结合正弦定理可求得b 的取值范围.
【详解】
60C =，则0120B <<，所以，0sin 1B <≤
，
由正弦定理sin sin 3b c B C ===
，b B ⎛∴=∈ ⎝⎦. 因此，b
的取值范围是⎛ ⎝⎦
.
故答案为：⎛ ⎝⎦
. 【点睛】
本题主要考查了正弦定理，正弦函数图象和性质，考查了转化思想，属于基础题．
14、()6,3
【解析】
依题意画图,设0001,,02B x x x ⎛
⎫> ⎪⎝⎭
,根据圆的直径AB 所对的圆周角为直角,
可得AC =
通过勾股定理得AB 再利用两点间的距离公式即可求出06x =,进而得出B 点坐标. 【详解】
解:依题意画图,设0001,,02B x x x ⎛
⎫> ⎪⎝⎭
以AB 为直径的圆被直线l 所截得的弦长为BC ,
且BC =又因为AB 为圆的直径,则AB 所对的圆周角90ACB ∠=,
则AC CB ⊥, 则AC 为点()0,5A
到直线l ：12y x =的距离. 所以
AC ==
则
AB ===又因为点B 在直线l ：12
y x =上,
设001,2B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则22001(0)52102AB x x ⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭
. 解得06x =,则()6,3B .
故答案为: ()6,3
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系,考查了两点间的距离公式,点到直线的距离公式,是基础题.
15、220x y +-=
【解析】
依题意，将点(1,0)P 的坐标代入曲线C 的方程中，解得1a =.由3=-+y x x ，得231'=-+y x ，则曲线C 在点P 处切线的斜率1|2='==-x k y ，所以在点P 处的切线方程是2(1)y x =--，即220x y +-=．
16、-2
【解析】
可行域||2||2x y +≤是如图的菱形ABCD ，
代入计算，
知022A z =-=-为最小.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）证明见解析.（2）
33
【解析】
（1）连接AC 1，BC 1，结合中位线定理可证MN ∥BC 1，再结合线面垂直的判定定理和线面垂直的性质分别求证AC ⊥BC 1，
BC 1⊥B 1C ，即可求证直线MN ⊥平面ACB 1；
（2）作MP BC ⊥交于点P ，通过等体积法，设C 1到平面B 1CM 的距离为h ，则有
1111133
B M
C B C C S h S MP ⋅=⋅，结合几何关系即可求解
【详解】
（1）证明：连接AC 1，BC 1，则N ∈AC 1且N 为AC 1的中点；
∵M 是AB 的中点.
所以：MN ∥BC 1；
∵A 1A ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，
∴A 1A ⊥AC ，
在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1∥CC ，
∴AC ⊥CC 1，
∵∠ACB ＝90°，BC ∩CC 1＝C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ，CC 1⊂平面BB 1C 1C ，
∴AC ⊥平面BB 1C 1C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ，
∴AC ⊥BC 1；又MN ∥BC 1
∴AC ⊥MN ，
∵CB ＝C 1C ＝1，
∴四边形BB 1C 1C 正方形，
∴BC 1⊥B 1C ，∴MN ⊥B 1C ，
而AC ∩B 1C ＝C ，且AC ⊂平面ACB 1，CB 1⊂平面ACB 1，
∴MN ⊥平面ACB 1，
（2）作MP BC ⊥交于点P ，设C 1到平面B 1CM 的距离为h ， 因为MP 111122
B C
C S ==，， 所以111113M B CC B CC V S -=⋅•MP 112=，
因为CM 2
=，B 1C =
B 1M =，所以
所以：112B CM S =CM •B 1M =.
因为1111C B MC M B C C V V --=，所以1111133B MC B C C S h S MP ⋅=
⋅，解得3h 所以点1C ，到平面1B MC 的距离为
33
【点睛】 本题主要考查面面垂直的证明以及点到平面的距离，一般证明面面垂直都用线面垂直转化为面面垂直，而点到面的距离常用体积转化来求，属于中档题
18、（1）4cos ρθ=，1cos 33t sin x t y αα
=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩；（23. 【解析】
（1）由曲线C 的参数方程消去参数可得曲线C 的普通方程，由此可求曲线C 的极坐标方程；直接利用直线的倾斜角以及经过的点求出直线的参数方程即可；
（2）将直线的参数方程，代入曲线C 的普通方程224x y x +=，整理得()
263cos 320t t αα-++=，利用韦达定理，根据A 为MB 的中点，解出α即可.
【详解】
（1）由22cos 2sin x y θθ
=+⎧⎨=⎩（θ为参数）消去参数， 可得()2224x y -+=，即224x y x +=，
∴已知曲线C 的普通方程为224x y x +=，
cos x ρθ=，222x y ρ=+，
∴24cos ρρθ=，即4cos ρθ=，
∴曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，
直线l 经过点(1,33M --，且倾斜角为α，
∴直线l
的参数方程：1cos sin x t y t αα=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩
（t 为参数，0απ≤≤）. （2）设,A B 对应的参数分别为A t ，B t .
将直线l 的参数方程代入C 并整理，
得)
26cos 320t t αα-++=，
∴)
6cos A B t t αα+=+，32A B t t ⋅=. 又A 为MB 的中点，
∴2B A t t =，
∴)
2cos 4sin 6A t πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，8sin 6B t πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴232sin 326A B t t πα⎛⎫⋅=+= ⎪⎝
⎭，即2sin ()16πα+=，
0απ≤≤， ∴7666
π
π
πα≤+<， ∴62ππα+
=，即3πα=，
∴tan 3π
=【点睛】
本题考查了圆的参数方程与极坐标方程之间的互化以及直线参数方程的应用，考查了计算能力，属于中档题.
19、（1）2
212
x y +=；（2）证明见解析. 【解析】
（1）根据椭圆的基本性质列出方程组，即可得出椭圆方程；
（2）设点()02,P y ，()11,M x y ，()22,N x y ，由PM OM ⊥，PN ON ⊥，结合斜率公式化简得出110220x y y --=，220220x y y --=，即()11,M x y ，()22,N x y 满足0220x yy --=，由0y 的任意性，得出直线MN 恒过一个定点(1,0).
【详解】
（1）依题意得22212222222a b c a b c a ⎧⎪=+⎪⎪⋅⋅=⎨⎪⎪=⎪⎩
，解得22221a b c ⎧=⎨==⎩ 即椭圆C ：2
212
x y +=； （2）设点()02,P y ，()11,M x y ，()22,N x y
其中22112x y +=，22222x y +=
由PM OM ⊥，PN ON ⊥得1011112y y y x x -⋅=--，20222
12y y y x x -⋅=-- 即221111020x y x y y +--=，222222020x y x y y +--=
注意到22112x y +=，22222x y +=
于是110220x y y --=，220220x y y --=
因此()11,M x y ，()22,N x y 满足0220x yy --=
由0y 的任意性知，1x =，0y =，即直线MN 恒过一个定点(1,0).
【点睛】
本题主要考查了求椭圆的方程，直线过定点问题，属于中档题.
20、（1）2
216
x y +=，2y x =+，直线l 的倾斜角为4π （2）3305
【解析】
（1）由公式22sin cos 1αα+=消去参数得普通方程，由公式cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩可得直角坐标方程后可得倾斜角；
（2）求出直线l 与y 轴交点Q ，用参数表示M 点坐标，求出MQ ，利用三角函数的性质可得最大值．
【详解】
（1）由,sin ,
x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，消去α得C 的普通方程是： 2216x y +=
由sin 4πρθ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭
，得sin cos 2ρθρθ-=， 将cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩代入上式，化简得2y x =+ 直线l 的倾斜角为4
π
（2）在曲线C 上任取一点)
,sin M αα， 直线l 与y 轴的交点Q 的坐标为()0,2
则MQ ==
当且仅当2sin 5α=-时，MQ . 【点睛】 本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，属于基础题．求两点间距离的最值时，用参数方程设点的坐标可把问题转化为三角函数问题．
21、（1）(2,2)m ∈-（2）{1，2}．
【解析】
（1）求解导数，表示出()g x ，再利用()g x 的导数可求m 的取值范围；
（2）表示出()h x ，结合二次函数知识求出2222()2(ln )22(ln )x x F m m e x m e
x k =-+++-的最小值，再结合导数及基本不等式求出()ln x G x e x =-的最值，从而可求正整数k 的取值集合．
【详解】
（1）因为3222()3
f x x mx m x =-+，所以22()22f x x mx m '=-+， 所以32222()()()(2)(2)3
g x f x f x x m x m m x m '=-=
-+++-，
则22()22(2)2g x x m x m m '=-+++，
由题意可知224(2)8(2)0m m m ∆=+-+>，解得(2,2)m ∈-；
（2）由（1）可知，22()22f x x mx m '=-+，
所以222()222(ln )2ln 2x x h x e
me x m x m =-+-+ 因为22222()222(ln )2ln 2x x h x e
me x m x m m k =-+-+≥+ 整理得22222(ln )22(ln )0x x m e x m e x k -+++-≥，
设()ln x H x e x =+，则1()0x H x e x
'=+>，所以()H x 单调递增， 又因为11()1m m e
H e e m m --=+->， 所以存在()11,x m e m x e
e ---∈，使得()ln x H x e x m =+=， 设2222()2(ln )22(ln )x x F m m e x m e
x k =-+++-，是关于m 开口向上的二次函数， 则22min ()(ln )(ln )x x F m F e x e x k =+=+-，
设()ln x G x e x =-，则1()x G x e x
'=-，令1()x L x e x '=-，则21()0x L x e x '=+>， 所以()G x '
单调递增，因为1
()202
G '=<，(1)10G e '=-> 所以存在01(,1)2
x ∈，使得0()0G x '=，即001x e x =， 当0(0,)x x ∈时，()0G x '<，当0(,)x x ∈+∞时，()0G x '>，
所以()G x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增， 所以0min 0000
1()()ln x G x G x e x x x ==-=+， 因为01
(,1)2x ∈，所以00015()(2,)2
G x x x =+∈， 又由题意可知22(())0G x k -≥，所以2222min 0(())(())0G x k G x k -=-≥，
解得0()k G x ≤，所以正整数k 的取值集合为{1，2}．
【点睛】
本题主要考查导数的应用，利用导数研究极值问题一般转化为导数的零点问题，恒成立问题要逐步消去参数，转化为最值问题求解，适当构造函数是转化的关键，本题综合性较强，难度较大，侧重考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.
22、（1）,,63k k k Z ππππ⎡⎤-
++∈⎢⎥⎣⎦
；（2）17 【解析】 （1）化简得到()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭，取222,262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得答案. （2）()2si 2n 26f B B π⎛⎫-
= ⎪⎝⎭=，解得3B π=，根据余弦定理得到7b =，再用一次余弦定理解得答案. 【详解】
（1）()2cos 2cos 12cos 22sin 26f x x x x x x x π⎛
⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭
. 取222,262k x k k Z π
π
π
ππ-+≤-≤+∈，解得,,63x k k k Z ππππ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦
. （2）()2si 2n 26f B B π⎛⎫-= ⎪⎝
⎭=, 因为()110,,2,666B B ππππ⎛⎫∈∴-∈- ⎪⎝⎭
， 故262B ππ-=，3B π=. 根据余弦定理：2222cos 49b a c ac B =+-=，7b =.
2222225781cos 22577
b c a A bc +-+-===⨯⨯. 【点睛】
本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，余弦定理，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.。