安徽省皖江名校联盟2020届高三第一次联考(8月) 数学(理) 含解斩

姓名 座位号
(在此卷上答题无效)
安徽省皖江名校联盟2020届高三第一次联考（8月）
数 学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第2至第4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：
1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号。

2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可用铅笔在答题卡．．．规定位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A 3x 2},B {lnx 0}x x =-≤≤=≥{，则A
B =
A.3,2,1,0,1}---{
B.1,2}{
C.3x 1}x -≤≤{
D.1x 2}x ≤≤{ 2.已知复数1
34z i
=
+，则下列说法正确的是
A.复数z 的实部为3
B.复数z 的虚部为425
i C.复数z 的共轭复数为
34
2525
i + D.复数z 的模为1 3.椭圆
22
1916
x y +=的一个焦点坐标为 A.(5，0) B.(0，5) 7，0) D.(07) 4.已知m ＝1og 40.4，n ＝40.4，p ＝0.40.5，则
A.m<n<p
B.m<p<n
C.p<m<n
D.n<p<m 5.曲线3
2
()x
y x x e =+在x ＝1处的切线方程为
A.y ＝7ex －5e
B.y ＝7ex ＋9e
C.y ＝3ex ＋5e
D.y ＝3ex －5e 6.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝11，S 15＝15，则a 2＝ A.18 B.16 C.14 D.12
7.要得到函数y 2sin3x 的图象，只需将函数y ＝sin3x ＋cos3x 的图象
A.向右平移
34π个单位长度 B.向右平移2π
个单位长度 C.向左平移4π个单位长度 D.向左平移2
π
个单位长度
8.若5个人按原来站的位置重新站成一排，恰有两人站在自己原来的位置上的概率为 A.
12 B.14 C.16 D.18
9.定义在R 上的奇函数f(x)满足，当0x ≤时，()x
x
f x e e -=-，则不等式f(x 2－2x)－f(3)<0的解集为 A.(－1，3) B.(－3，1) C.(,1)
(3,)-∞-+∞ D. (,3)(1,)-∞-+∞
10.过原点O 作直线l ：(2m ＋n)x ＋(m －n)y －2m ＋2n ＝0的垂线，垂足为P ，则P 到直线x －y ＋3＝0的距离的最大值为
1 2
2 C.221 D.222 11.已知圆锥的母线长l 为4，侧面积为S ，体积为V ，则
V
S
取得最大值时圆锥的侧面积为
A. B. 32π C. 62π D. 82π
12.已知点A 是双曲线22
221x y a b
+=（a>0，b>0）的右顶点，若存在过点N(3a ，0)的直线与双曲线的渐
近线交于一点M ，使得△AMN 是以点M 为直角顶点的直角三角形，则双曲线的离心率 A.存在最大值
324 B.存在最大值223 C.存在最小值324 D.存在最小值23
第Ⅱ卷
注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。

若在试题卷上作答，答案无效。

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在横线上。

13.已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，m)，且a 与a ＋b 垂直，则m ＝
14.已知所有项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 4＝a 4＋21，则公比q ＝
15.二项式7(
x 的展开式中，x 4的系数为
16.已知角3(,
),(0,)22
ππ
απβ∈∈，且满足1sin tan cos βαβ+=
，则β＝ (用a 表示)。

三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内。

17.(本小题满分12分)
在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos 2C －cos 2B=sin 2A －sinAsinC 。

(Ⅰ)求角B 的值；
(Ⅱ)若△ABC 的面积为3313b =，求a ＋c 的值。

18.【本小题满分12分】
如图所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，ED//FB ，DE ＝1
2
BF ，AB ＝FB ，FB ⊥平面ABCD 。

(Ⅰ)设BD 与AC 的交点为0，求证：OE ⊥平面ACF ； (Ⅱ)求二面角E －AF －C 的正弦值。

19.(本小题满分12分)
抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点是F ，直线y ＝2与C 的交点到F 的距离等于2。

(Ⅰ)求抛物线C 的方程；
(Ⅱ)一直线l ：x ＝kx ＋b(b1，k0)交C 于A 、B 两点，其中点(b ，k)在曲线(x －3)2－4y 2＝8上，求证：FA 与FB 斜率之积为定值。

20.(本小题满分12分)
设函数()sin ,(0,)2
f x ax x x π
=-∈，a 为常数。

(Ⅰ)若函数f(x)在(0,
)2
π
上是单调函数，求a 的取值范围；
(Ⅱ)当1a ≤时，证明：3
1()6
f x x =。

21.(本小题满分12分)
某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G 有3个电子元件组成，各个电子元件能否正常工作的概率均为
1
2
，且每个电子元件能否正常工作相互独立。

若系统G 中有超过一半的电子元件正常工作，则G 可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需费用为500元。

(Ⅰ)求系统不需要维修的概率；
(Ⅱ)该电子产品共由3个系统G 组成，设ξ为电子产品需要维修的系统所需的费用，求ξ的分布列与期望；
(Ⅲ)为提高G 系统正常工作概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p ，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则G 可以正常工作，问：p 满足什么条件时，可以提高整个G 系统的正常工作概率？
请考生从第22、23题中任选一题做答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。

22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
已知平面直角坐标系中，曲线C 1的参效方程为2cos 1cos 2x y φ
φ=⎧⎨=+⎩
(φ为参数)，以原点为极点，x 轴的非
负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为()3
R π
θρ==。

(Ⅰ)求曲线C 2的直角坐标方程；
(Ⅱ)求曲线C 1与曲线C 2交点的直角坐标。

23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 己知函数()124f x x x =-++。

(Ⅰ)求不等式f(x)>6的解集；
(Ⅱ)若()10f x m --≥恒成立，求实数m 的取值范围。

数学参考答案（理科）
1.【解析】{|12}A B x x =<<，故选D.
3.【解析】因为3,4a b ==，故双曲线
22
+1916
x y =的右焦点的坐标是.
4.【解析】因为0.4
0.54log 0.40,4
1,00.41m n p =<=><=<，所以m p n <<.
5.【解析】2
3
2
(32)()x
x
y x x e x x e '=+++，所以1|7x y e ='=，又1x =时，2y e =，所以所求切线方程为27(1)y e e x -=-，即75y ex e =- 6.【解析】因为11515815()
15152
a a S a +=
==，所以81a =，又411a =，所以公差
1115
42
d -=
=-，所以24211516a a d =-=+=． 7.【解析】因为sin 3cos32)4y x x x π=+=+， 所以将其图象向左平移4
π
个单位长度，可得
)]2)22
y x x x ππ
=++=+π=-，故选C.
9.【解析】由题意可知，当x R ∈时，()x
x f x e e =-
，所以()0x
x
f x e e '=+>为R 上的单调递增
函数，故由2
(2)(3)0f x x f --<，得2
(2)(3)f x x f -<，即2
230x x --<，解得13x -<<，故
选A.
10.【解析】(2)()220m n x m n y m n ++--+=整理得(22)(2)0x y m x y n +-+--=，由题意得
22020x y x y +-
=⎧⎨--=⎩，解得0
2
x y =⎧⎨
=⎩，所以直线l 过定点(0,2)Q
.因为OP l ⊥，所以点P 的轨迹是以OQ 为11.【解析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则2
2
2
2
4=16r h l +==，
所以2
221111623121221223
r h V
rh r h S rl ππ+==≤⨯=⨯=，当且仅当22r h ==.此时侧面积为
1
2224822
⨯π⨯=π. ，则(AM m =-，(NM m =-
若存在过(3,0)N a 的直线与双曲线的渐近线交于一点M ，使得N AM ∆是以M 为直角顶点
的直角三角形，则0AM NM ⋅=，即
13. 11
3
-【解析】向量(2,3)a =，(1,)b m =-，∴(1,3)a b m +=+，
a 与a
b +垂直，∴23(3)0m ++=，解得11
3
m =-．
14.【答案】4 【解析】由题意得4421S a -=，所以321S =，又11,a =，所以3
31211q S q
-=
=-，解得4q =或5q =-（舍），所以4q =.
15.【答案】283 【解析】7
3x x ⎛ ⎝
展开式的通项公式为
13
77221772233r
r
r r r r
r T C x x C x ---+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，令3742r -=，解得2r =，故所求系数为
2
27228
33C ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭
. 16.【答案】 5
22
απ-
【解析】法一：由1sin tan cos βαβ+=
得sin 1sin cos cos αβαβ+=， 所以sin cos cos (1sin )αβαβ=+，即sin()cos αβα-=. 结合诱导公式得sin()sin()2
π
αβα-=-.
因为3(,
),(0,)22ππαπβ∈∈，所以3(,),(,)222
πππ
αβπαπ-∈-∈--. 由诱导公式可得sin()sin[2(
)]2π
αβπα-=+-，易知3
2()(,)22
ππαππ+-∈， 因为sin y x =在3(,)22ππ上单调递减，所以2()2παβπα-=+-，即5
22
βαπ=-.
法二：由1sin tan cos β
αβ
+=得sin cos tan
1
2
22
tan tan(
)24
cos
sin
1tan
2
2
2
β
ββ
β
π
αβ
β
β
++=
=
=+--， 所以tan tan()24
β
π
α=+. 因为3(,
),(0,)22ππαπβ∈∈，所以(,)2442
βπππ+∈. 由诱导公式可得tan()tan απα-=，即tan()tan()24
β
π
απ-=+
因为tan y x =在(0,
)2
π
上单调递增，所以2
4
β
π
απ-=
+
，即522
βαπ=-.
17．【解析】(1) 由2
2
2
cos cos sin sin sin C B A A C -=-，
得2
2
2
sin sin sin sin sin B C A A C -=-．
由正弦定理，得2
2
2
b c a ac -=-，即2
2
2
a c
b a
c +-=，…………………………3分
所以2221
cos 222
a c
b a
c B ac ac +-=
==．………………………………………………5分 因为0C π<<，所以3
B π
=．……………………………………………………6分
（2）由（1）知3
π
=B ，∴222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-．①…………8分 又1
sin 332
S ac B =
=9分 ∴12ac =，②…………………………………………………………………………10分 又13b =Q 7a c +=．…………………………………………12分 18.【解析】（1）证明：由题意可知：ED ⊥面ABCD ， 从而Rt EDA Rt EDC ∆≅∆，EA EC ∴=，又O 为AC 中点，
DE AC ∴⊥，在EOF ∆中，3,6,3OE OF EF ===，
222OE OF EF ∴+=，OE OF ∴⊥又AC
OF O =，
OE ∴⊥面ACF ．……………………………………………………………………5分
（2）ED ⊥面ABCD ，且DA DC ⊥，
如图以D 为原点，DA ，DC ，DE 方向建立空间直角坐标系，
从而(0E ，0，1)，(2A ，0，0)，(0C ，2，0)，(2F ，2，2)，(1O ，1，0)
由（1）可知(1EO =，1，1)-是面AFC 的一个法向量，…………………………7分 设(n x =，y ，)z 为面AEF 的一个法向量，
由22020
AF n y z AE n x z ⎧=+=⎪⎨=-+=⎪⎩，令1x =得(1n =，2-，2)，………………………………9分 设θ为二面角E AF C --的平面角， 则||3
|cos ||cos ,|3||||
EO n EO n EO n θ=<>=
=
，6sin 3θ∴=． ∴二面E AF C --6
12分
19.【解析】（1）由||2PF =知P 到准线的距离也是2，
P ∴点横坐标是22
p
-
， 将(2,2)2
p
P -
代入22y px =，得2p =， ∴抛物线C 的方程为24y x =.………………………………………………………………5分
（2）证明：联立24y x x ky b ⎧=⎨=+⎩得2
440y ky b --=，
设2
11(,)4
y A y ，222(,)4y B y ，则124y y k +=，124y y b =-.………………………………7分
因为点(,)b k 在曲线22
(3)49x y --=上，所以代入整理可得22461b k b -=-.………8分
则121222
22221212121241()()421(1)(1)1441642
FA FB y y y y b
k k y y y y y y y y b k b -====-+--+---++. …………………………………………………………………………………………………12分
20.【解析】（1）由()sin f x ax x =-得导函数()cos f x a x '=-，其中0cos 1x <<. 当1a ≥时，()0f x '>恒成立，
故()sin f x ax x =-在(0,)2
π
上是单调递增函数，符合题意； ……………………2分 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，
故()sin f x ax x =-在(0,)2
π上是单调递减函数，符合题意；……………………3分 当01a <<时，由()cos 0f x a x '=-=得cos x a =， 则存在0(0,)2
x π∈，使得0cos x a =. 当00x x <<时，0()0f x '<，当02
x x π
<<
时， 0()0f x '>，所以()f x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,)2
x π
上单调递增，
故()f x 在(0,)2
π
上是不是单调函数，不符合题意.
综上，a 的取值范围是]
[(,01,)-∞+∞. ……………………………………………6分
（2）由（1）知当1a =时，()sin (0)0f x x x f =->=，
即sin x x <，故2
2sin
()22x x
<.…………………………………………………………9分 令3311()()sin ,(0,)662
g x f x x ax x x x π
=-=--∈，
则22222111()cos 12sin 12()122222
x x g x a x x a x a x a '=--=-+-<-+-=-， 当1a ≤时，()10g x a '=-≤，所以()g x 在(0,)2
π
上是单调递减函数，
从而()(0)0g x g <=，即3
1()6
f x x ≤.………………………………………………12分
21.【解析】（1）系统不需要维修的概率为223
3331111()()2222C C ⋅⋅+⋅=.…………2分
（2）设X 为维修维修的系统的个数，则1
(3,)2
X B ，且500X ξ=，
所以3311(500)()()(),0,1,2,322
k
k k P k P X k C k ξ-====⋅⋅=.
所以ξ的分布列为
ξ 0 500 1000 1500
P
1
8 38 38 18
所以ξ的期望为()50037502
E ξ=⨯⨯
=.…………………………………………6分 （3）当系统G 有5个电子元件时，
原来3个电子元件中至少有1个元件正常工作，G 系统的才正常工作. 若前3个电子元件中有1个正常工作，同时新增的两个必须都正常工作， 则概率为1
222
3113()228
C p p ⋅
⋅⋅=； 若前3个电子元件中有两个正常工作，同时新增的两个至少有1个正常工作，
则概率为22122223231
1113()(1)()(2)22228
C C p p C p p p ⋅⋅⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅=-； 若前3个电子元件中3个都正常工作，则不管新增两个元件能否正常工作， 系统G 均能正常工作，则概率为3331
1()28
C ⋅=. 所以新增两个元件后系统G 能正常工作的概率为
2233131(2)88848
p p p p +-+=+， 于是由3113(21)4828
p p +-=-知，当210p ->时，即112p <<时， 可以提高整个G 系统的正常工作概率.………………………………………………12分 22.【解析】（I ）依题意，曲线2C 的直角坐标方程为3y x =.…………………………3分 （II ）因为曲线1C 的参数方程为2cos ,1cos 2,x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩
（ϕ为参数）， 所以曲线1C 的直角坐标方程为[]()212,22y x x =
∈-，……………………………………7分 联立23,1,2
y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩解方程组得0,0,x y =⎧⎨=⎩或23,6,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 根据x 的范围应舍去23,6,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩
故交点的直角坐标为(0,0).……………………………10分 23.【解析】（1）依题意，1246x x -++>，
当2x <-时，原式化为1246x x --->，解得3x <-，故3x <-；
当21x -≤≤时，原式化为1246x x -++>，解得1x >，故无解；
当1x >时，原式化为1246x x -++>，解得1x >，故1x >；
综上所述，不等式()6f x >的解集为()(),31,-∞-+∞；………………………………5分
（2）因为()124122123f x x x x x x x x =-++=-++++≥-++≥，
当且仅当2x =-时，等号成立. 故()10f x m --≥恒成立等价于13m -≤；即313m -≤-≤，解得24m -≤≤
故实数m 的取值范围为[2,4]-.……………………………………………………………10分。