巩固练习_常用逻辑用语 全章复习与巩固 (2)最新修正版

【巩固练习】 一、选择题
1．下列命题中，是真命题的是( ) A ．{x ∈R|x 2
＋1＝0}不是空集 B ．{x ∈N||x －1|<3}是无限集 C ．空集是任何集合的真子集 D ．x 2
－5x ＝0的根是自然数
2. （2016 河西区二模）已知命题p ：“存在x 0∈[1，+∞），使得0
2(log 3)1x ≥”，则下列说法正确
的是（ ）
A ．p 是假命题；p ⌝“任意x ∈[1，+∞），都有(log 23)x ＜1”
B ．p 是真命题；p ⌝“不存在x 0∈[1，+∞），使得0
2(log 3)
1x ≥”
C ．p 是真命题；p ⌝“任意x ∈[1，+∞），都有(log 23)x ＜1”
D ．p 是假命题；p ⌝“任意x ∈（－∞，1），都有(log 23)x ＜1”
3.（2016 佛山模拟）已知命题P ：,x R ∃∈ 使1
sin 2
x x <成立，则P ⌝为（ ） A. ,x R ∃∈ 1sin 2x x =
B. ,x R ∀∈ 1sin 2x x <
C. ,x R ∃∈ 1sin 2x x ≥
D. ,x R ∀∈ 1
sin 2
x x ≥
4．（2016 南昌三模）已知命题p ⌝：存在x ∈（1，2）使得e x －a ＞0，若p 是真命题，则实数a 的
取值范围为（ ） A ．（e 2，+∞） B ．[e 2，+∞） C ．（－∞，e ） D ．（－∞，e]
5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sinA ≤sinB ”的( ) A ．充分必要条件 B ． 充分非必要条件 C ．必要非充分条件 D ． 非充分非必要条件
6．(2015 湖北)设a 1，a 2，…，a n ∈R ，n ≥3.若p ：a 1，a 2，…，a n 成等比数列；
22
222
2
21212312231:()()()n n n n q a a a a a a a a a a a a --++
+++
+=++
+，则（ ）
A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件
B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件
C ．p 是q 的充分必要条件
D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 二、填空题
7.原命题“若3x <，则4x <”的逆否命题是 8．给出下列命题 ①若ac ＝bc ，则a ＝b ；
②方程x 2
－x ＋1＝0有两个实根； ③对于实数x ，若x －2＝0，则x －2≤0；
④若p >0，则p 2
>p ； ⑤正方形不是菱形．
其中真命题是________，假命题是________．
9．命题“若x ＝3，y ＝5，则x ＋y ＝8”的逆命题是____________________；否命题是__________________，逆否命题是____________________．
10．（2016春 新余期末）已知函数f （x ）=x 2+m x +1，若命题“000,()0x f x ∃><”为真，则m 的取值范围是__ __ ．
三、解答题
11.把下列命题写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假． (1)当ac >bc 时，a >b ；
(2)已知x 、y 为正整数，当y ＝x ＋1时，y ＝3，x ＝2；
(3)当14
m >
时，mx 2
－x ＋1＝0无实根； (4)当abc ＝0时，a ＝0或b ＝0或c ＝0；
(5)当x 2
－2x －3＝0时，x ＝3或x ＝－1. 12.写出下列命题的否定和否命题． (1)正n (n ≥3)边形的n 个内角全相等； (2)0的平方等于0.
13.设原命题为“已知a 、b 是实数，若a ＋b 是无理数，则a 、b 都是无理数”．写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别说明他们的真假．
14．（2015春 海南校级期末）（1）命题“2
000,390x R x ax ∃∈-+<”为假命题，求实数a 的取值范
围；（2）若“x 2+2x －8＜0”是“x －m ＞0”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围。

15．已知方程x 2
＋(2k －1)x ＋k 2
＝0，求使方程有两个大于1的根的充要条件．
【答案与解析】 1. 【答案】 D
【解析】 对选项A ，集合是空集，对选项B 中的集合为{－1,0,1,2,3}，是有限集，对于C ，空集不是它本身的真子集，对于D ，x 2
－5x ＝0的根为0和5，它们都是自然数，故选D.
2. 【答案】C ；
【解析】命题p ：“存在x 0∈[1，+∞），，使得0
2(log 3)1x ≥”，因为log 23＞1，所以02(log 3)1
x ≥成立，故命题p 为真命题，
则p ⌝“任意x ∈[1，+∞），都有(log 23)x ＜1”
故选C 。

3. 【答案】D ； 【解析】
命题P ：,x R ∃∈1
sin ,2
x x <
∴ 命题P ⌝为：1
,sin 2
x R x x ∀∈≥
，故选D 。

4. 【答案】B
【解析】命题p ⌝：存在x ∈（1，2），使得e x －a ＞0，
则p ：(1,2)x ∀∈，都有e x －a ≤0， 即a ≥e x ，而(e x )max =e 2，
若p 是真命题，a ≥e 2，故选：B 。

5.【答案】A
【解析】由正弦定理可知
B
sin A sin b
a =
，∵△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a ，b ，c ， ∴a ，b ，sinA ，sinB 都是正数，∴“a ≤b ”⇔“sinA ≤sinB ”． ∴“a ≤b ”是“sinA ≤sinB ”的充分必要条件． 故选：A ． 6.【答案】A
【解析】 对命题p ：a 1，a 2，…，a n 成等比数列，则公比)3(1
≥=
-n a a q n n
且a n ≠0； 对命题q ，①当a n =0时，22
222
2
21212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=++
+成立；
②当a n ≠0时，根据柯西不等式，等式22
222
2
21212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=++
+成立，
则
n
n a a a a a a 132
21-=⋅⋅⋅==，所以a 1，a 2，…，a n 成等比数列，所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件. 故选A 。

7.【答案】“若4x ≥，则3x ≥” 【解析】逆否命题即否条件又否结论
8. 【答案】 ③ ①②④⑤ 【解析】 对假命题，举反例即可． 对于③，x ≤3即x ＝3或x <3，故正确．
9. 【答案】 逆命题：若x ＋y ＝8，则x ＝3，y ＝5； 否命题：若x ≠3或y ≠5，则x ＋y ≠8； 逆否命题：x ＋y ≠8，则x ≠3或y ≠5.
10．【答案】 （―∞，－2）
【解析】因为函数f （x ）=x 2
+mx+1的图象过点（0，1）， 若命题“000,()0x f x ∃><”为真，
则函数f （x ）=x 2+mx+1的图象的对称轴必在y 轴的右侧，且与x 轴有两个交点， ∴Δ=m 2－4＞0，且02
m
-
>， 即m ＜―2，则m 的取值范围是：（―∞，―2）． 故答案为：（―∞，－2）． 11. 【解析】
(1)若ac >bc ，则a >b ，假命题．
(2)已知x 、y 为正整数，若y ＝x ＋1，则y ＝3且x ＝2，假命题．
(3)若14
m >
，则mx 2
－x ＋1＝0无实根，真命题． (4)若abc ＝0，则a ＝0或b ＝0或c ＝0，真命题．
(5)若x 2
－2x －3＝0，则x ＝3或x ＝－1，真命题．
12．【解析】 (1)命题的否定：正n (n ≥3)边形的n 个内角不全相等； 否命题：不是正n (n ≥3)边形的n 个内角不全相等． (2)命题的否定：0的平方不等于0 否命题：不等于0的数的平方不等于0.
13. 【解析】 逆命题：已知a 、b 为实数，若a 、b 都是无理数，则a ＋b 是无理数．
如a =
b =a ＋b ＝0为有理数，故为假命题．
否命题：已知a 、b 是实数，若a ＋b 不是无理数，则a 、b 不都是无理数． 由逆命题为假知，否命题为假．
逆否命题：已知a 、b 是实数，若a 、b 不都是无理数，则a ＋b 不是无理数． 如a ＝2
，b
，则2a b +=是无理，故逆否命题为假． 14. 【解析】
（1）2000,390x R x ax ∃∈-+<为假命题，等价于2
,390x R x ax ∀∈-+≥为真命题，
∴Δ=9a 2－4×9≤0→－2≤a ≤2， ∴实数a 的取值范围是－2≤a ≤2； （2）由x 2+2x －8＜0→－4＜x ＜2， 另由x －m ＞0，即x ＞m ，
∵“x 2+2x －8＜0”是“x －m ＞0”的充分不必要条件， ∴m ≤－4。

故m 的取值范围是m ≤－4。

．
15. 【解析】 设方程的两根为x 1、x 2，使x 1、x 2都大于1的充要条件是
22121
2(21)40,(1)(1)0,(1)(1)0,
k k x x x x ⎧--≥⎪
-+->⎨⎪-->⎩
由韦达定理，得2
1,4(21)20,(21)10,k k k k ⎧≤⎪⎪
--->⎨⎪+-+>⎪⎩
解得k <－2.
所以所求的充要条件为k <－2.。