1.1.3集合的基本运算ppt课件
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解：(1)A∩B＝{x|－3≤x≤1}
(2) B∪C＝x | -4 x < 5
(3) (A∪B)∩C＝ x | 0 < x 3
(4) (A∩C)∪B＝{x|－4≤x≤3}
注意：用数轴来处理比较简捷（数形结合思想）
19
例9 设集合A＝{－4，2m－1，m2}，
B＝{9，m－5，1－m}，又A∩B＝{9}，求A∪B?
x
-1 0 1 2 3
解得 CU A (,1] (2,)
求用区间表示的集合的补集时， 要特别注意区间端点的归属．
17
例6 设U={x|x是小于7的正整数},A={1，2，3}， B={3，4，5，6}, 求CUA, CUB. 解:根据题意可知,U={1,2,3,4,5,6}, 所以 CUA={4,5,6} CUB={1,2} .
8
知识要 点
2.交集
一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素 组成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B,(读作“A交 B”),即
A∩B={x|x∈A,且x∈B} 用Venn图表示：
A
A∩B
B
9
例3 设A={x|x>-1},B={x|x<1}，求A∩B. 解：A∩B={x|x>-1}∩{x|x<1}={x|-1<x<1}．
解：由A∩B=C知 4A ∴必然 x2－2x+1=4 得
x1=-1, x2=3 由x=－1 得 x+1=0C
∴x－1 ∴x=3 x+1=4C 此时2y=－1 ,∴y=－1/2
∴综上所述x=3 , y=－1/2.
31
7.设A = {-4, 2a -1,a2},B = {a - 5,1- a,9},已知A∩B = {9},求a的值,并求出A结
集合运算
并运算 交运算 补运算
A∪B = x x A或 x B A∩B = x x A且xB
ð UA = x x U且x A
进行以不等式描述的或以区间形式出现的集 合间的并、交、补运算时，一定要画数轴帮助 分析.
22
（1）运算顺序：括号、补、交并； （2）运算性质：
C={x ∣x是实数}； （3）A={x|1<x<6},B={ x|4<x<8},C={ x|1<x<8}；
2
1.1.3 集合的基本运算
A AB B
AUB
3
请观察A，B，C这些集合之间是什么关系？
x是有a,b理数 集合A
x是c无,d 理数
集合B
A
B
xa是,b实,c,d数 集合C
-2
2 4 6 8 10
解：(1) 若2m-1＝9，得m＝5，得 A＝{-4,9,25}，B＝{9,0,-4}，
得A∩B＝{-4,9}，不符合题. (2) 若m2＝9，得m＝3或m＝-3，m＝3时，
A＝{-4,5,9}，B＝{9,-2,-2} 违反互异性，舍去. 当m＝-3时，
A＝{-4,-7,9}，B＝{9,-8,4} 符合题意。此时A∪B＝{-4,-7,9,-8,4} 由(1)(2)可知：m＝-3，
34
教材习题答案
1.A B = {5, 8}, A B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}; 2.因为A = {-1，5}，B = {-1,1}, 所以 A B = {-1,1, 5}, A B = {-1}; 3.A B = {x x是等腰直角三角形}; A B = {x x是等腰三角形或直角三角形}; 4.因为CUA = {1, 3, 6, 7},CUB = {2, 4, 6}, 所以 A∩(CUB) = {2, 4},(CUA)∩(CUB) = {6}.
13
知识要 点
一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所 涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记 作U. 通常也把给定的集合作为全集.
对于一个集合A,由全集U中不属于A的所有元素 组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集 合A的补集.
14
记作： CU A x xU,且x A .
5.设 A = (x, y) x + y = 1 , B = (x, y) x - y = 6 ,
求A B.
x + y = 1 x = 3.5
解：解方程组
x
-
y
=
6
得 y = -2.5
所以A B = { (-2.5 , 3.5) }. 30
6. 设A={2,-1,x2-2x+1}, B={2y,-4,x+1}, C={-1,4} 且 A∩B=C,求x,y?
补集可用Venn图表示为: U A
CU A
15
对于任意的一个集合A都有
（1） A (CU A) U
（2） A (CU A)
（3） CU (CU A) A U
CU A
A
16
例 5 设全集为 R，A (1,2] ,求 CU A 。
解： 将集合 A = (-1 , 2 ]用数轴表示为
A
B
-2 -1 0 1 2 3 4
AUB = {x | - 2 < x „ 4}
29
4.设 A = ( - 1 , 2 ], B = ( 0 , 3 ]，求 A B. 解:将集合A、B在数轴上表示（如图），
A
B
-1 0 1 2 3
x
所以 A B = ( - 1 , 2 ] ( 0 , 3 ]= ( 0 , 2 ]
CU ( A B) CU A CU B CU ( A B) CU A CU B
CU A A , CU A A U ,
CU (CU A) A.
23
高考链接
1.（2008 江西) 定义集合运算：
A*B = {z | z = xy, x A, y B}. 设 A={1，2}
(6) A A B,B A B, A B A B.
12
想一想
方程 (x - 1)(x2 - 3) = 0 的解集，在有理数范围内有几 个解？分别是什么？ 1个 ，{1} 在实数范围内有几个解？分别是什么？
3个解，解集是{1，3，- 3} 在不同的范围内研究问题，结果是不同的，为 此，需要确定研究对象的范围.
解：∵A∩B = {9},∴ 9 A 所以a2 = 9或2a -1 = 9, 解得a = 3或a = 5 当a = 3时，A = {9, 5, -4}, B = {-2, -2, 9}, B中元素违 背了互异性，舍去.
32
当a = -3时，A = {9,-7,-4},B = {-8,4,9}, A∩B = {9} 满足题意，故A∪B = {-7,-4,-8,4,9}. 当a = 5时，A = {25,9,-4},B = {0,-4,9},此时A∩B = {-4,9},与A∩B = {9}矛盾，故舍去. 综上所述，a = 3且A∪B = {-7,-4,-8,4,9}.
L1∩L2 = {点P};
(2)直线l1
,
l
平行可表示为
2
L1∩L2 = ;
(3)直线l1
,
l
重合可表示为
2
L1∩L2 = L1 = L2 .
11
注 意
(1) A A = A (2)A =
A∩B=A
(3)A B = B A (4)A B A, A B B
AB
(5)A B 则 A B = A
3. (2009全国) 设集合A={4，5，7，9}， B={3， 7，4，8，9}，全集U=A∪B,则集合
ð（A∩B）中的元素共有 ( A )
25
A. 3个 B.4个 C. 5个 D.6个 解析：本题目主要考察集合的运算. A∩B={4， 7，9} U= A∪B={3,4，5，7，8，9}，（A∩B）
例7 设全集U=R, M={x|x≥1}，N={x|0≤x＜1}， 则CUM，CUN. 解：根据题意可知CUM={x|x<1}，
CUN={x|x<0且x≥1}.
18
例8 设A＝{x|－3≤x≤3}，B＝{x|－4≤x≤1}，C
＝x | 0 < x < 5，求(1)A∩B；(2) B∪C；
(3)(A∪B)∩C；(4) (A∩C)∪B.
={a,b,c,d,f} 例2 设集合A={x|-4<x<2},集合B={x|1<x<4}, 求A∪B.
解: A∪B={x|-4<x<2} ∪ {x|1<x<4}
={x|-4<x<4} 在数轴上表示并集
A
B
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
A∪B
6
注 意
(1) A A = A (2) A = A (3) A B = B A (4) A B则A B = B
33
8.设集合A = {x | -3 < x < -1}∪{x | x > 0},B = {x | a ≤x ≤b} 若A∪B = {x | x > -3}, A∩B = {x | 0 < x ≤ 2},求a,b的值. 解：由A∪B = {x x > -3}可以知道 - 3 < a -1, 由A∩B = {x 0 < x 2}可以知道b = 2,a = -1.
A∪B＝{-4,-7,9,-8,4} 20
例10 已知U＝R，A＝{x|x－3＞0}， B＝{x|(x＋2)(x－4)≤0}， 求： (1) C∪(A∪B) (2) C∪(A∩B)
解：（1） C∪(A∪B)= x | x < - 2或x＞4
（2） C∪(A∩B)={x|x≤3或x＞4}
(1)运算顺序：括号、补、交并； (2)注意端点值是否可以取到； (3)运算性质： C∪(A∪B)＝ C∪A∩C∪B, C∪(A∩B)＝ C∪A∪C∪B， C∪A∩A＝Φ， C∪A∪A＝U，C∪(C∪A)＝A.
={3,5,8}ð,所以 （ A∩B）中的元素ð共3个.
26
4. (2009 广东) 已知全集U=R ，则正确表
示集合M={-1，0，1}和N={x| +x=x02}关
系的韦恩（Venn）图是 ( B )
UN M A
U NM B
U
M
N
U MN
C
D
27
课堂练习
1.判断正误.
（1）若U={四边形}，A={梯形}，则
A∩B
-1 0
1
例4 设A={x|x是等腰三角形},B={x|x是直角三
角
形},求A∩B. 解：A∩B={x|x是等腰三角形}∩{x|x是直角三角形}
={x|x是等腰直角三角形}．
10
例
设平面内直线l1上的点的集合为L1
,
直线l
上点
2
的集合为L2 , 试用集合的运算表示l1, l2的位置关系.
解 : (1)直线l1, l2相交于一点P可表示为
想一想
集合之间的基本关系是类比实数之间的关系 得到的，同样类比实数的运算，能否得到集合之 间的运算呢？
实数有加法运算，那么 集合是否也有“加法”呢？
1
观察
下列各个集合，你能说出集合C与集合A，B 之间的关系吗？ （1）A={a，b}，B={c，d },C={a，b，c，d}; （2）A={x∣x是有理数}，B={x ∣x是无理数}，
AB A∪B=B
7
观察
下列各个集合,你能说出集合A,B与集合C之间 的关系吗? (1)A={2,4,6,8,10},B={2,3,5,8,9,12},C={2,8}; (2) A={x|1<x<6},B={ x|4<x<8},C={ x|4<x<6}；
集合C是由那些既属于集合A且又属于集合B的所 有元素组成.
B={0，2}，则集合A*B的所有元素之和为（ D） A. 0 B. 2 C. 3 D.6 解：由条件可知A*B={0，2，4}，所以之和为6.
24
2.（2009 上海）已知集合A={x|x≤1},B={x|x≥a}, 且A∪B=R,则实数a的取值范围是 a≤1
解：∵A∪B=(-∞,1] ∪[a,+∞)=R, ∴a≤1
边形} ×
ðUA={平行四
（2）若U是全集，且AB，则 ðUACUB ×
（3）若U={1，2}，A=U，则 ðUA= √
28
2. A = -1, 0, 2, B = 0, 2, 4, 6，求 AUB？
AUB = {- 1 , 0 , 2 , 4 , 6 }
3．A = x -2 < x 剟2, B = x 0 x ? 4，求 AUB?
C 集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成.
4
知识要 点
1.并集
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素 所组成的集合,称为集合A与B的并集,记作A∪B(读
作“A并B”),即 A∪B={x | x∈ A, 或x∈ B}
用Venn图表示：
A
B
A∪B 5
注意：求两个集合的并集时，
例1 设A={a,b,c}, B={a它,c们,d,的f},公求共A∪元B素. 在并集中只 解: A∪B={a,b,c} ∪ {a能,c,d出,f现} 一次.如：a,c.
(2) B∪C＝x | -4 x < 5
(3) (A∪B)∩C＝ x | 0 < x 3
(4) (A∩C)∪B＝{x|－4≤x≤3}
注意：用数轴来处理比较简捷（数形结合思想）
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例9 设集合A＝{－4，2m－1，m2}，
B＝{9，m－5，1－m}，又A∩B＝{9}，求A∪B?
x
-1 0 1 2 3
解得 CU A (,1] (2,)
求用区间表示的集合的补集时， 要特别注意区间端点的归属．
17
例6 设U={x|x是小于7的正整数},A={1，2，3}， B={3，4，5，6}, 求CUA, CUB. 解:根据题意可知,U={1,2,3,4,5,6}, 所以 CUA={4,5,6} CUB={1,2} .
8
知识要 点
2.交集
一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素 组成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B,(读作“A交 B”),即
A∩B={x|x∈A,且x∈B} 用Venn图表示：
A
A∩B
B
9
例3 设A={x|x>-1},B={x|x<1}，求A∩B. 解：A∩B={x|x>-1}∩{x|x<1}={x|-1<x<1}．
解：由A∩B=C知 4A ∴必然 x2－2x+1=4 得
x1=-1, x2=3 由x=－1 得 x+1=0C
∴x－1 ∴x=3 x+1=4C 此时2y=－1 ,∴y=－1/2
∴综上所述x=3 , y=－1/2.
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7.设A = {-4, 2a -1,a2},B = {a - 5,1- a,9},已知A∩B = {9},求a的值,并求出A结
集合运算
并运算 交运算 补运算
A∪B = x x A或 x B A∩B = x x A且xB
ð UA = x x U且x A
进行以不等式描述的或以区间形式出现的集 合间的并、交、补运算时，一定要画数轴帮助 分析.
22
（1）运算顺序：括号、补、交并； （2）运算性质：
C={x ∣x是实数}； （3）A={x|1<x<6},B={ x|4<x<8},C={ x|1<x<8}；
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1.1.3 集合的基本运算
A AB B
AUB
3
请观察A，B，C这些集合之间是什么关系？
x是有a,b理数 集合A
x是c无,d 理数
集合B
A
B
xa是,b实,c,d数 集合C
-2
2 4 6 8 10
解：(1) 若2m-1＝9，得m＝5，得 A＝{-4,9,25}，B＝{9,0,-4}，
得A∩B＝{-4,9}，不符合题. (2) 若m2＝9，得m＝3或m＝-3，m＝3时，
A＝{-4,5,9}，B＝{9,-2,-2} 违反互异性，舍去. 当m＝-3时，
A＝{-4,-7,9}，B＝{9,-8,4} 符合题意。此时A∪B＝{-4,-7,9,-8,4} 由(1)(2)可知：m＝-3，
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教材习题答案
1.A B = {5, 8}, A B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}; 2.因为A = {-1，5}，B = {-1,1}, 所以 A B = {-1,1, 5}, A B = {-1}; 3.A B = {x x是等腰直角三角形}; A B = {x x是等腰三角形或直角三角形}; 4.因为CUA = {1, 3, 6, 7},CUB = {2, 4, 6}, 所以 A∩(CUB) = {2, 4},(CUA)∩(CUB) = {6}.
13
知识要 点
一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所 涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记 作U. 通常也把给定的集合作为全集.
对于一个集合A,由全集U中不属于A的所有元素 组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集 合A的补集.
14
记作： CU A x xU,且x A .
5.设 A = (x, y) x + y = 1 , B = (x, y) x - y = 6 ,
求A B.
x + y = 1 x = 3.5
解：解方程组
x
-
y
=
6
得 y = -2.5
所以A B = { (-2.5 , 3.5) }. 30
6. 设A={2,-1,x2-2x+1}, B={2y,-4,x+1}, C={-1,4} 且 A∩B=C,求x,y?
补集可用Venn图表示为: U A
CU A
15
对于任意的一个集合A都有
（1） A (CU A) U
（2） A (CU A)
（3） CU (CU A) A U
CU A
A
16
例 5 设全集为 R，A (1,2] ,求 CU A 。
解： 将集合 A = (-1 , 2 ]用数轴表示为
A
B
-2 -1 0 1 2 3 4
AUB = {x | - 2 < x „ 4}
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4.设 A = ( - 1 , 2 ], B = ( 0 , 3 ]，求 A B. 解:将集合A、B在数轴上表示（如图），
A
B
-1 0 1 2 3
x
所以 A B = ( - 1 , 2 ] ( 0 , 3 ]= ( 0 , 2 ]
CU ( A B) CU A CU B CU ( A B) CU A CU B
CU A A , CU A A U ,
CU (CU A) A.
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1.（2008 江西) 定义集合运算：
A*B = {z | z = xy, x A, y B}. 设 A={1，2}
(6) A A B,B A B, A B A B.
12
想一想
方程 (x - 1)(x2 - 3) = 0 的解集，在有理数范围内有几 个解？分别是什么？ 1个 ，{1} 在实数范围内有几个解？分别是什么？
3个解，解集是{1，3，- 3} 在不同的范围内研究问题，结果是不同的，为 此，需要确定研究对象的范围.
解：∵A∩B = {9},∴ 9 A 所以a2 = 9或2a -1 = 9, 解得a = 3或a = 5 当a = 3时，A = {9, 5, -4}, B = {-2, -2, 9}, B中元素违 背了互异性，舍去.
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当a = -3时，A = {9,-7,-4},B = {-8,4,9}, A∩B = {9} 满足题意，故A∪B = {-7,-4,-8,4,9}. 当a = 5时，A = {25,9,-4},B = {0,-4,9},此时A∩B = {-4,9},与A∩B = {9}矛盾，故舍去. 综上所述，a = 3且A∪B = {-7,-4,-8,4,9}.
L1∩L2 = {点P};
(2)直线l1
,
l
平行可表示为
2
L1∩L2 = ;
(3)直线l1
,
l
重合可表示为
2
L1∩L2 = L1 = L2 .
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注 意
(1) A A = A (2)A =
A∩B=A
(3)A B = B A (4)A B A, A B B
AB
(5)A B 则 A B = A
3. (2009全国) 设集合A={4，5，7，9}， B={3， 7，4，8，9}，全集U=A∪B,则集合
ð（A∩B）中的元素共有 ( A )
25
A. 3个 B.4个 C. 5个 D.6个 解析：本题目主要考察集合的运算. A∩B={4， 7，9} U= A∪B={3,4，5，7，8，9}，（A∩B）
例7 设全集U=R, M={x|x≥1}，N={x|0≤x＜1}， 则CUM，CUN. 解：根据题意可知CUM={x|x<1}，
CUN={x|x<0且x≥1}.
18
例8 设A＝{x|－3≤x≤3}，B＝{x|－4≤x≤1}，C
＝x | 0 < x < 5，求(1)A∩B；(2) B∪C；
(3)(A∪B)∩C；(4) (A∩C)∪B.
={a,b,c,d,f} 例2 设集合A={x|-4<x<2},集合B={x|1<x<4}, 求A∪B.
解: A∪B={x|-4<x<2} ∪ {x|1<x<4}
={x|-4<x<4} 在数轴上表示并集
A
B
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
A∪B
6
注 意
(1) A A = A (2) A = A (3) A B = B A (4) A B则A B = B
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8.设集合A = {x | -3 < x < -1}∪{x | x > 0},B = {x | a ≤x ≤b} 若A∪B = {x | x > -3}, A∩B = {x | 0 < x ≤ 2},求a,b的值. 解：由A∪B = {x x > -3}可以知道 - 3 < a -1, 由A∩B = {x 0 < x 2}可以知道b = 2,a = -1.
A∪B＝{-4,-7,9,-8,4} 20
例10 已知U＝R，A＝{x|x－3＞0}， B＝{x|(x＋2)(x－4)≤0}， 求： (1) C∪(A∪B) (2) C∪(A∩B)
解：（1） C∪(A∪B)= x | x < - 2或x＞4
（2） C∪(A∩B)={x|x≤3或x＞4}
(1)运算顺序：括号、补、交并； (2)注意端点值是否可以取到； (3)运算性质： C∪(A∪B)＝ C∪A∩C∪B, C∪(A∩B)＝ C∪A∪C∪B， C∪A∩A＝Φ， C∪A∪A＝U，C∪(C∪A)＝A.
={3,5,8}ð,所以 （ A∩B）中的元素ð共3个.
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4. (2009 广东) 已知全集U=R ，则正确表
示集合M={-1，0，1}和N={x| +x=x02}关
系的韦恩（Venn）图是 ( B )
UN M A
U NM B
U
M
N
U MN
C
D
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课堂练习
1.判断正误.
（1）若U={四边形}，A={梯形}，则
A∩B
-1 0
1
例4 设A={x|x是等腰三角形},B={x|x是直角三
角
形},求A∩B. 解：A∩B={x|x是等腰三角形}∩{x|x是直角三角形}
={x|x是等腰直角三角形}．
10
例
设平面内直线l1上的点的集合为L1
,
直线l
上点
2
的集合为L2 , 试用集合的运算表示l1, l2的位置关系.
解 : (1)直线l1, l2相交于一点P可表示为
想一想
集合之间的基本关系是类比实数之间的关系 得到的，同样类比实数的运算，能否得到集合之 间的运算呢？
实数有加法运算，那么 集合是否也有“加法”呢？
1
观察
下列各个集合，你能说出集合C与集合A，B 之间的关系吗？ （1）A={a，b}，B={c，d },C={a，b，c，d}; （2）A={x∣x是有理数}，B={x ∣x是无理数}，
AB A∪B=B
7
观察
下列各个集合,你能说出集合A,B与集合C之间 的关系吗? (1)A={2,4,6,8,10},B={2,3,5,8,9,12},C={2,8}; (2) A={x|1<x<6},B={ x|4<x<8},C={ x|4<x<6}；
集合C是由那些既属于集合A且又属于集合B的所 有元素组成.
B={0，2}，则集合A*B的所有元素之和为（ D） A. 0 B. 2 C. 3 D.6 解：由条件可知A*B={0，2，4}，所以之和为6.
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2.（2009 上海）已知集合A={x|x≤1},B={x|x≥a}, 且A∪B=R,则实数a的取值范围是 a≤1
解：∵A∪B=(-∞,1] ∪[a,+∞)=R, ∴a≤1
边形} ×
ðUA={平行四
（2）若U是全集，且AB，则 ðUACUB ×
（3）若U={1，2}，A=U，则 ðUA= √
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2. A = -1, 0, 2, B = 0, 2, 4, 6，求 AUB？
AUB = {- 1 , 0 , 2 , 4 , 6 }
3．A = x -2 < x 剟2, B = x 0 x ? 4，求 AUB?
C 集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成.
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知识要 点
1.并集
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素 所组成的集合,称为集合A与B的并集,记作A∪B(读
作“A并B”),即 A∪B={x | x∈ A, 或x∈ B}
用Venn图表示：
A
B
A∪B 5
注意：求两个集合的并集时，
例1 设A={a,b,c}, B={a它,c们,d,的f},公求共A∪元B素. 在并集中只 解: A∪B={a,b,c} ∪ {a能,c,d出,f现} 一次.如：a,c.