天津天津第一中学2019年高三第三次抽考理科数学试题

天津天津第一中学2019年高三第三次抽考理科数学试题
本卷须知
1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2、选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3、请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4、保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

【一】选择题：
1、i 是虚数单位，复数32i
23i +-等于〔 〕
A 、i
B 、i -
C 、1213i -
D 、1213i + 2、以下说法错误的选项是〔 〕
C 、假设“q p 且”为假命题，那么,p q 至少有一个为假命题
D 、假设0,a a b a c ≠⋅=⋅则“”是“c b =”的充要条件
3、把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3π
个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2倍〔纵坐标不变〕，得到的图象所表示的函数
是〔〕
A 、sin 23y x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ，
B 、sin 26x y x π⎛⎫
=+∈ ⎪⎝⎭R
， C 、sin 23y x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，D 、sin 23y x x 2π⎛
⎫=+∈ ⎪⎝⎭R
，
4、直线l 与圆22240,(3)x y x y a a ++-+=<相交于,A B 两点，假设弦AB 的中点
为(2,3)-，那么直线l 的方程为〔〕
A 、30x y +-=
B 、10x y +-=
C 、50x y -+=
D 、50x y --=
5、抛物线
24
y x
=的准线与双曲线
2
2
2
1,(0)
x
y a
a
-=>
交于
,A B两点，点F为抛物
线的焦点，假设△FAB为直角三角形，那么双曲线的离心率是
A
、2D、3
6、正项等比数列{}
n
a
满足：765
2
a a a
=+
，假设存在两项
,
m n
a a
，使得
1
4a
=
，那么
14
m n
+
的最小值为〔〕
A、
3
2B、
5
3C、
25
6D、不存在
7、在锐角ABC
∆中2,
A B
∠=∠B
∠、C
∠的对边长分别是b、c，那么+
b
b c的取值范围是〔〕
A、
11
(,)
43B、
11
(,)
32C、
12
(,)
23D、
23
(,)
34
8、函数
()
f x是定义在R上不恒为0的函数，且对于任意的实数,a b满足(2)2
f=，()()()
f ab af b bf a
=+，
(2)(2)
,(),,()
2
n n
n n
n
f f
a n N
b n N
n
**
=∈=∈
，考察以下结论：
①
(0)(1)
f f
=②()
f x为奇函数③数列{}n a为等差数列④数列{}n b为等比数列，其中正确的个数为〔〕
A、1
B、2
C、3
D、4
【二】填空题：
9、实数
,x y满足不等式组
2,
y x
x y
y
≤
⎧
⎪
+≤
⎨
⎪≥
⎩那么目标函数3
z x y
=+的最大值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
10、为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图〔如图〕，图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组的频数为12，那么抽取的学生人数是、
11、如图是一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么这个几何体的体积为.
12、如图，将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面CBD ，E 是CD 的中点，那么异面直线AE 、BC 所成的角的正切值为。

13、△ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3450OA OB OC ++=，那么
OC AB ⋅=＿＿＿＿＿＿＿＿
14、如果关于实数x 的方程
21
3ax x x +
=的所有解中，仅有一个正数解，那么实数a
的取值范围为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
【三】解答题：
15、函数()2cos (sin cos )1
f x x x x x =-+∈R ， 〔1〕求函数()f x 的最小正周期；
〔2〕求函数()f x 在区间ππ82⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，上的单调区间及最值
16、四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，
1,120,3,90AD CD BAD PA ACB ==∠==∠=
〔1〕求证：BC ⊥平面PAC ；
〔2〕求二面角D PC A --的平面角的余弦值；
〔3〕求点B 到平面PCD 的距离。

17、双曲线22
2
21,(0,0)x y a b a b -=>>
的一条渐近线方程是y =，坐标原点到直
线AB 的距离为23
，其中).,0(),0,(b B a A -
〔1〕求双曲线的方程； 〔2〕假设
1B 是双曲线虚轴在y 轴正半轴上的端点，过点B 作直线交双曲线于点
,M N ，求B B 11⊥时，直线MN 的方程.
18、设函数1
()()ln f x a x x
x =--
〔1〕当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； 〔2〕假设函数()f x 在其定义域内为增函数，求实数a 的取值范围；
〔3〕设函数()e
g x x =
，假设在[]1,e 上至少存在一点0x 使00()()f x g x ≥成立，求
实数a 的取值范围。

19、19、如图，在直角坐标系xOy 中有一直角梯形ABCD ，
AB 的中点为O ，AD AB ⊥，AD BC ∥，4AB =，3BC =，1AD =，以,A B 为焦点的椭圆经过点C .
〔1〕求椭圆的标准方程； 〔2〕假设点
()
0,1E ，问是否存在直线l 与椭圆交于,M N 两点且
ME NE
=，假设存
在，求出直线l 的斜率的取值范围；假设不存在，请说明理由.
20、数列{}n a 的相邻两项1,n n a a +是关于x 的方程
220,()n n x x b n N *
-+=∈的两根，且
11a =
〔1〕求证：数列123n n a ⎧
⎫-⨯⎨⎬
⎩
⎭是等比数列； 〔2〕求数列{}n a 的前n 项和n S ；
〔3〕假设
0n n b mS ->对任意的n N *∈都成立，求m 的取值范围。

试卷参考答案
【一】选择题
1、A
2、D
3、C
4、C
5、B
6、A
7、B
8、D
9、4
10、48 11、1
3 12、2
13、51-
14、{}2]0,(⋃-∞
【三】解答题〔共6题，80分〕 15、解：
2max
min
()2cos (sin cos )1sin 22cos 1sin 2cos 2)
4
3()(,)(,)8882
()()0
f x x x x x x x x
x T f x f x f x π
π
ππ
ππ=-+=-+=-=-∴-3↑↓
==在上 在上
16、解：
〔1〕PA ⊥面ABCD ∴PA ⊥BC ∵BC ⊥AC ∴BC ⊥面PAC
〔2〕建立如图空间直角坐标系
131(0,0,0),0),0)222231
(0,0,3)(,,0)
22
31
(
,,22
(,,)
A P C D AP AC PD PAC n x y z ∴-∴==∴=-=　设面法向量
)
0,3,3(03021
2300-=∴⎪⎩
⎪
⎨⎧==+∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴z y x
),,(z y x PDC =法向量设面 ⎪
⎩⎪⎨⎧=++-=∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴0321230
0z y x y DP m
)1,0,2(=∴ 555
3232,cos =
⋅>=
<∴
55cos =
∴θ
〔3〕
51553==
=d
17、设直线：1=-b y
a x
解：〔1〕
1
93332332
222=-∴⎩⎨⎧==∴⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=
+=y x ：b a b
a a
b a b
双曲线
〔2〕
3
3
9
333
3
)
,()0,3()0,3(20202020210000
002121=--=-=∴-=
+=
∴-∴x x x y k k x y k x y k y x P A A PA PA 设
〔3〕B 〔0，－3〕B1〔0，3〕M 〔X1，Y1〕N 〔X2，Y2〕 ∴设直线L ：Y ＝KX －3
⎩⎨⎧=--=∴9332
2
y x kx y
∴3X2－〔KX －3〕2＝9 〔3－K2〕X2＋6KX －18＝0
3186)(3
622121221-=
-+=+-=+∴k x x k y y k k x x
9
)(3)(3
182121221221++-=-=
x x k x x k y y k x x
)3,()3,(221111-=-=y x N B y x B
093
54
931809)(30
2221212111=+--+-=++-+∴=⋅k k y y y y x x B B
K2＝5
5±=∴k 代入〔1〕有解
35:-±=∴x y l MN
18、解：〔1〕
1
:0)1(1)1(1
11)(ln 1
)(1/2/-=∴===∴-
+=∴--==x y f f k x x
x f x x x x f a 切线
〔2〕
↑+∞+-=
-+=上在),0()(1)(/2
22/
x f x a
x ax x x a a x f
上恒成立在),0(0)(/∞≥∴x f
∴AX2－X ＋A ≥0
x x a x x
a 1112
+
≥
+≥
2121112)1(≥
∴≤
+
∴≥+a x
x x
x
〔3〕
在【1，E 】上至少存在一点X0使F 〔X0〕≥G 〔X0〕
a
x ax x h e x g e x g x g e x
e
x g e x x g x f +-=∈∴==∴↓=
∈≥2max
min
min
max
)(],1[)()(1)(],1[)(]
,1[)()(令上在则
↑
≥上在时
当]1[)(2
1，e x f a
1
)1
()()(max --==∴e e a e f x f
121
1)1
(1
)(0
)1()(2
min
min
-≥∴≥--∴=∴==∴e e
a e e a x g f x f
时
当21
0<<a
max 111
()()ln ()ln 21
()21111[()ln ][(1)]122()1f x a x x x x
x x a f x x x e x e f x =--≤--=↑
∴--=--<∴<时）不合题意舍
当A 《0时
],1[)(2e x a x ax x h ∈+-=
1
0)1()(ln )(0],1[)(0)(012)1(max
/<==↓
-==↓∴<∴<-=∴f x f x x f a e x f x f a h 时
上在
∴不合题意〔舍〕
),12[
2
+∞-∈∴e e
：a 综上
19、解：
∵AB ＝4，BC ＝3，∴AC ＝5 ∴CA ＋CB ＝8
∴A ＝4∵C ＝2∴B2＝12
1
12162
2=+∴y x ：椭圆
〔2〕设直线L ：Y ＝KX ＋M 设M 〔X1，Y1〕N 〔X2，Y2〕
⎩⎨⎧=-++=∴048432
2
y x m
kx y
2
2222222212160)484)(43(46404848)43(m k m k m k m kmx x k >+∴>-+-=∆=-+++∴
222122143484438k m x x k km x x +-=
+-=+∴
设MN 中点F 〔X0，Y0〕
2002
2104334342k m
m kx y k km
x x x +=
+=+-=+=
∴
∵｜ME ｜＝｜NE ｜∴EF ⊥MN ∴KEF ·K ＝－1
1
4341
43322
-=⋅+--+k k km k m
∴M ＝－〔4K2＋3〕代入① ∴16K2＋12》〔4K2＋3〕2 ∴16K4＋8K2－3《0
2121<<-
k
当K ＝0时符合条件，K 不存在〔舍〕
)
21,21(-∈∴k
20、解：
〔1〕∵AN ＋AN ＋1＝2N
)
231
(23111n n n n a a ⋅--=⋅-∴++
12
31231
1
1-=⋅-⋅-++n
n n n a a
GP
a n n 是⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⋅-∴231 ]
)1(2[31
1,31
321n n n a q a --=∴-==-
∴ 〔2〕SN ＝A1＋A2＋……＋AN
22111
1
[(222)((1)(1)(1))]
3
12(12)(1)(1(1))[]3121111(1)[22]3222
33
213
3n n n n n n n n n n +++=+++--+-++-----=--+-+-=--⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩偶奇
〔3〕BN ＝AN ·AN ＋1
0]1)2(2[9
1
]
)1(2][)1(2[91
1211>----=----=+++n n n n n n n n n s m b b
21111(1)1[2(2)1][22]0932n n n
n m ++--∴----⋅-->
∴当N 为奇数时
奇数都成立
对∈∀+<∴>---+++n n n n n m m )12(31
0)12(3
]122[91112
∴M 《1
当N 为偶数时
23)12(6
10)12(3
2]122[910)22(3
]122[91112112<∴∈∀+<>---->----++++m m m m n n n n n n n n 偶数都成立对 综上所述，M 的取值范围为M 《1。