第三章 中值定理、导数的应用模板

第三章中值定理、导数的应用模板
第三章微分中值定理与导数的应用
第一节微分中值定理
一、费马（Fermat）定理
设f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义，且在点x0可导．如
果?x0?U(x0)恒有f(x)?f(x0) (或f(x)?f(x0)成立，则f?(x0)?0．
注：Fermat定理的几何意义是：
如果f(x)在点x0的值不小于邻近的函数值（或不大于邻
1
近的函数值），只要在点(x0,f(x0))曲线有切线，其切线必为水平的．
二、罗尔(Rolle)定理
如果函数f(x)满足：（1）在[a,b]上连续；（2）在(a,b)内可导；
（3）f(a)?f(b).则在(a,b)内至少存在一点?，使f?(?)?0.
注：（１）Rolle定理的几何意义是：如果每一点都有切线
的连续曲线AB：y?f(x)，在A，B两点有相同的纵坐标，则A，B之间至少存在一点P，曲线在点P有水平切线．
2
（２）Rolle定理的条件是充分而非必要，即当定理的条件不满足时，结论也可能成立．
?4?(x?2)2,0?x?3f(x)??(0,3)内可导，f(0)?f(3),如在3,x?0?
尽管f(x)在[0,3]上不连续，但还是有f?(2)?0．
【例】设f(x)?x(x?1)(x?1)(x?2)，证明f?(x)?0有三个实根．提
示：?f(?2)?f(?1)?f(0)?f(1)?0,且f(x)在三个区间
[?2,?1],[?1,0]和[0,1]上都满足Rolle定理的条件．
3
?在(?2,?1),(?1,0),(0,1)内分别至少存在一点?1,?2,?3使
f?(?1)?0,f?(?2)?0,f?(?3)?0．即f?(x)?0至少有三个实根．
又f?(x)?0是三次方程，最多只有三个实根．
综上可得：f?(x)?0有三个实根．
【例】设f(x)在[a,b]上连续(0?a?b)，在(a,b)内可导且f?(x)?0(a?x?b)，af(b)?bf(a)?0．证明：在(a,b)内至少存在一点?使f(?)???f?(?)．分析：要证明f(?)???f?(?),只需证明??f?(?)?f(?)?0,只
4
需证明x?f?(x)?f(x)x???0,只需证明x?f?(x)?(x)?f(x)x???0,只
xf?(x)?(x)?f(x)?0x??2需证明即可．x
f(x)F(x)??f(x)在[a,b]上连续(0?a?b)，在提示：令，x
(a,b)内可导，?F(x)在[a,b]上连续且在(a,b)内可导．由af(b)?bf(a)?0可得F(a)?F(b).即F(x)在[a,b]上满足Rolle定理的条件，则在(a,b)内至少存在一点?使F?(?)?0.
??f?(?)?f(?)x?f?(x)?f(x)??F(?)??F?(x)?22，，?x
5
由F?(?)?0得f(?)???f?(?).
【例】设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导且f(a)?f(b)?0,证明：在(a,b)
内至少存在一点?使f?(?)??f(?).
提示：令F(x)?e?f(x)，可验证F(x)在[a,b]上满足Rolle
定理的条件，则在(a,b)内至少存在一点?使F?(?)?0. ?ef(x)?ef(x)即xx x??x?0?f?(?)??f(?).
思考题：设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，证明：在(a,b)
bf(b)?af(a)?f(?)??f?(?)．内至少存在一点?，使b?a
6
提示：令F(x)?x?f(x)．
三、拉格朗日（Lagrange）中值定理
如果函数f(x)满足：（1）在[a,b]上连续；（2）在(a,b)内
可导．则在(a,b)内至少存在一点?，使f(b)?f(a)?f?(?)(b?a).
注：（１）Lagrange定理的几何意义是：
如果连续曲线ＡＢ：y?f(x)每一点都有切线，则A，B之间
至少存在一点P，曲线在点P的切线平行A，B两点的连线．
（２）Lagrange定理的条件是充分而非必要．即当定理的7
?x,?0?x?1f(x)??1,(0,1)条件不满足时，结论也可能成立．如在x?1??2 1??[0,1](0,1)内可导，尽管在上不连续，但在内还是存在4满足2
定理的结论．
推论1：如果在(a,b)内f?(x)?0，则在(a,b)内f(x)为一常数．推论２：若在(a,b)内f?(x)?g?(x),则f(x)?g(x)?C.（常数）．
8
b?abb?a?ln?.0?a?b【例】若，证明baa
提示：设y?lnx,它在[a,b]上满足Lagrange定理的条件，则在(a,b)内至少存在一点?，使lnb?lna1b?a??lnb?lna?b?a????(1)
111b?ab?ab?a?????由于b?ab?a，由(1)可得
b?abb?a?ln?.baa
9
【例】若x?0,证明e?1?x. x
提示：令F(t)?e?(1?t),它在[0,x]或[x,0]上满足
Lagrange定理的条件．
当x?0时，则在(0,x)内至少存在一点?，使
F(x)?F(0)?F?(?). x?0t
?e?(1?x)?x?F?(?)?x?(e?1)?0?e?1?x.
当x?0时，则在(x,0)内至少存在一点?，使
F(0)?F(x)?F?(?)．0?x
10 x?x
?e?(1?x)?x?F?(?)?x?(e?1)?0?e?1?x．
综上可得：当x?0，有e?1?x.
四、柯西（Cauchy）中值定理
如果函数f(x)和F(x)满足:（1）在[a,b]上连续；（2）在(a,b)
内可导且F?(x)?0.则在(a,b)内至少存在一点?，使
f(b)?f(a)f?(?)?.F(b)?F(a)F?(?) xx?x
11
注：（１）在柯西（Cauchy）中值定理中令F(x)?x,就得
到拉格朗日（Lagrange）中值定理．
（２）柯西（Cauchy）中值定理的条件是充分而非必
要，即当定理的条件不满足时，结论也可能成立．f(x)??(x)?0.lim?1,f 【例】设x?0x证明：f(x)?x.
提示：?f??(x)?0,?f(x)在x?0处可导，?f(x)在x?0处
f(x)f(x)?limx?lim?limx??f(0)?limf(x)?0.连续，x?0x?0x?0x?0xx
12
f(x)f(x)f(x)?f(0)?lim?1?f?(0)?lim?lim?1. x?0x?0x?0xxx?0
由Lagrange定理得：在0与x之间至少存在一点?使得
f(x)?f(0)?f?(?)(x?0)?f(x)?f(0)?f?(?)x.?f(x)?f?(?)x.
由f??(x)?0得f?(x)单调增加．
当x?0时，0???x?f?(?)?f?(0)?1?f(x)?x.
当x?0时，x???0?f?(?)?f?(0)?1?f(x)?x.
当x?0时，f(0)?0.
综上可得：f(x)?x.
13
【例】已知f(x)在[0,??)上有连续导数，且f?(x)?k?0,f(0)?0.证明：f(x)在(0,??)内有且仅有一个零点．
提示：?f?(x)?0,?f(x)单调增加，又f(0)?0,从而f(x)在
[0,??)内最多有一个零点．
当x?0时，由已知得f(x)在[0,x]上满足Lagrange定理的
条件，在0与x之间至少存在一点?使得
f(x)?f(0)?f?(?)x?f(0)?kx???(x???).
由此，?a?0,f(a)?0.又f(0)?0,由零点定理可知，f(x)在
14
(0,a)?(0,??)内至少有一个零点．
综上可得：f(x)在(0,??)内有且仅有一个零点．
【例】假设f(x),g(x)在[a,b]上存在二阶导数，并且
g??(x)?0,f(a)?f(b)?g(a)?g(b)?0.
证明：（１）在(a,b)内g(x)?0;
f(?)f??(?)?.(a,b)?,（２）在内至少存在一点使得g(?)g??(?)
提示：（１）假设?c?(a,b)使g(c)?0,则由Rolle定理，
??1?(a,c),?2?(c,b)使g?(?1)?0,g?(?2)?0.再由Rolle定理，15
???(?1,?2)?(a,b)使g??(?)?0,与在(a,b)内g??(x)?0矛盾．
所以，在(a,b)内g(x)?0.
f(?)f??(?)?, （２）要证g(?)g??(?)只需证明f(x)g??(x)?f??(x)g(x)?0在(a,b)内存在零点?．
令F(x)?f(x)g?(x)?f?(x)g(x),则F(x)在[a,b]上满足
Rolle定理的条件，????(a,b)使得F?(?)?0
?f?(?)g?(?)?f(?)g??(?)?[f??(?)g(?)?f?(?)g?(?)]?0
f(?)f??(?)?f(?)g??(?)?f??(?)g(?)?0?g(?)?g??(?).
16
作业：习题３－１
６７８９
１０１１１２１４
第二节洛必达（L?Hospital）法则
17
若在x的某一个变化过程中，函数f(x)与g(x)同时趋于0
或同时趋于?，这时极限x?limf(x)a(?)g(x)可能存在，
?通常把这种极限称为00型或?型的不定式．
2
如:limx?1
x?1x?1?2.limx?1
x?1(x?1)2??.
x?1x3
lim?1
x??x2?1?0.limx??x?1??.
18 也可能不存在，
一、型不定式
定理：设函数f(x)与F(x)满足：（１）在点a的某去心邻
limf(x)?0,limF(x)?0;?U(a)F(x)?0;域内可导且（２）x?a（３）
x?a0f(x)f?(x)limlimx?aF?(x)存在（或?）．则x?aF(x)也存在（或?）且f(x)f?(x)lim?lim.x?aF(x)x?aF?(x) x?xcosx(1)lim【例】计算：x?0x?sinx
19
sinx?sinx?xcosx1?cosx?xsinx?lim?lim提示：原式x?0 x?0sinx1?cosx xcosx?2?limx?0sinx?3.
x?sinx(2)lim3 x?0x
1?cosxsinx?lim?lim2提示：原式x?03xx?06x
01?. 6注：(1)此法则对于x??时的型亦适用．
20
1?arctanx22x?limlim??limx???11x???12??1. 如：x????2cos1?xsinxxx
0(2)并不是任何的型不定式都能用洛必达（L?Hospital）法?0
则.当洛必达法则条件不满足时，就不能使用．
1xsin1lim?limxsin?0.如:x?0sinx x?0x2 21
111xsin2xsin?coslim?lim而用洛必达法则，那么x?0sinx不x?0cosx2 存在.
(3)由于数列没有导数,所以,数列的极限不能用洛必达
（L?Hospital）法则.
lnn1(lnn)?lim?lim?0?lim如:n??n这种求法是错误的.我n??(n)?n??n
们可以使用洛必达（L?Hospital）法则求相应的函数的极限22
(lnx)?1lnx?lim?lim?0,limx?0(x)?可以推之数列极限x??xx??x
lnnlim?0. n??n
sinxlim?1?LHospital(4)不能用法则证明极限x?0x. sinxcosxlim?lim?1因为在x?0x这个过程中运用了导数公式x?01
sinx?1,从(sinx)??cosx,而(sinx)??cosx的推导又用到了limx?0x
而在逻辑上产生了恶性循环. 所以,不能用L?Hospital法则证明23
极限limsinx
x?0x?1.
(4)只要满足L?Hospital法则的条件,
多次使用L?Hospital法则.
二、型不定式
定理：设函数f(x)与F(x)满足：
24 在同一个题中可以
（１）在U(a)内可导且F?(x)?0;
limf(x)??,limF(x)??;（２）x?ax?a0
f?(x)lim（３）x?aF?(x)存在（或?）．f?(x)f(x)f(x)?lim.limlim则x?aF(x)也存在（或?）且x?ag(x)x?aF?(x)
?
注:(1)此法则对于x??时的?型亦适用．25
?
(2)并不是任何的?型不定式都能用洛必达（L?Hospital）
法则.当洛必达法则条件不满足时，就不能使用．
(3)只要满足L?Hospital法则的条件, 在同一个题中可以
多次使用L?Hospital法则.
例如:求极限如sinxx?sinx)?1lim.?lim(1?x??x??xx,如果用L?Hospital法则来求,那么
26
x?sinx(x?sinx)?lim?lim?lim(1?cosx)不存在,这就错了. x??x??x??(x)?x
tanxlnx(2)lim.(1)lim5.?【例】计算：x???x x?tan3x 2
1
1?lim?0. 5提示：（１）原式x???5x4?xlim???5x
1?cos6x
sec2xcos23x?lim?lim?lim2 （2）原式x??3sec3xx??3cos2xx??
23?1?cos2x
222
27
6cos6x?6sin6x11?cos6x1?lim?lim?lim3x??1?cos2x3x????2sin2xx??2cos2x?3. 222
三、其他型不定式：
?01．0??型：化为0型或?求解.
limx?lnx?【例】x?01lnx?lim??lim?x?011??lim?x?0. x?0x?0?2xx
?02．???型:通分化为0型或?求解.
28
e?1e?x?111?lim?limlim(?)xx【例】x?0xe?1x?0xe?xx?0ex?xex?1
ex11?limx?lim?xxx?0e?(e?xe)x?02?x2 xx
3．000型:属于幂指函数,通过取对数,化为0
lnxx?型或?求解. ?limelimx?【例】?x?0xx?0?ex?0?limxlnx?elnxlimx?0?x, 由前面的例题可得原式＝１．
4．1?0?型: 属于幂指函数,通过取对数,化为0型或?求
29
解. 【例】lim(x?2x?2)x?121x?11?limex?1
4ln(x2?2x?2)x?1 ?e
解. ln(x2?2x?2)limx?1x?1?e2x?2lim2x?1x?2x?2?e. 5．?0?0型: 属于幂指函数,通过取对数,化为0型或?求30
limx【例】x???1x?limex???lnxx
?e
lnxlimx???x?e1limx???x?1. 注：洛必达法则与其他方法结合使用，可以减少运算量.
作业：习题３―２
31
第１题的偶数题；
２３
第三节泰勒（Taylor）公式
一、Taylor定理
若函数f(x)在含有点x0的某开区间(a,b)内有直到n?1阶
的导数，则当x在(a,b)内时，有32
f??(x0)2f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)?? 2!
?f(n)(x0)n(x?x0)?Rn(x). n!
(n?1)f(?)n?1Rn(x)?(x?x0)x?x0之间）其中（在与称为拉格朗日(n?1)!
余项．
Rn(x)??[(x?x0)]称为皮亚诺余项．
注：（1）在不需要余项的精确表达时，Rn(x)可以用
33 n
?[(x?x0)]表示．
（2）当n?0时，Taylor公式变为拉格朗日中值定理．
【例】将f(x)?x?3x?2x?4展开为x?1的多项式．提示：取x0??1,可求出32n
f(?1)?4,f?(?1)??1,f??(?1)?0,f???(?1)?6
代入公式可得f(x)?4?(x?1)?(x?1).
【例】将f(x)?ln(1?x)展开为x的多项式，并利用展开
式的前五项计算ln1.2的值．3
34
提示：f(n)(x)?(?1)
n?1n?1(n?1)!(n?1,2,?)n (1?x)
2n?f(n)(0)?(?1)(n?1)! xn?1x?ln(1?x)?x????(?1)?R(x)n?f(0)?0, 2n
n?11nxRn(x)?(?1)?n?1其中．n?1(1??)（?在0与x之间）
xxxxln(1?x)?x?????R5,从而23452345
35
x1R5??(0???x).6其中6(1??)
取x?0.2代入得ln1.2?0.1823. 11R5??0.000064??0.000011(0???0.2).6误差6(1??)6
二、麦克劳林（Maclaurin）公式
在Taylor定理中令x0?0,得麦克劳林（Maclaurin）公式：
f??(0)2f(0)nf(x)?f(0)?f?(0)?x??x????x?Rn(x), 2!n!(n)
36
f(?)n?1Rn(x)??x,?其中（在x与0之间）(n?1)!(n?1)
(?x)n?1Rn(x)??x(0???1).或(n?1)!f(n?1)
【例】写出f(x)?e的麦克劳林展开式．
提示：f(n)x(x)?e?f
2x(n)(0)?1. nn?1xxxx?xe?1?x????e(0???1). 2!3!n!(n?1)!x3
【例】写出f(x)?sinx的麦克劳林展开式．
37
提示：f(n)n?(x)?sin(x?),(n?1,2,?) 2
sinm??0,?n?2mn??(n)?f(0)?sin??(2m?1)?m?1?(?1),n?2m?1 2?sin2?
2m?12m?1x3x5xx?sinx?x?????(?1)m?1?(?1)mcos?x,(0???1)
3!5!(2m?1)!(2m?1)!
38
作业：习题３－３
１３６７９
第四节函数的单调性与曲线的凹凸性
一、函数单调性的判定
定理：设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，若?x?(a,b)
有f?(x)?0（或f?(x)?0），则f(x)在(a,b)内单调增加（或单调减少）．
39
注：（１）导数不存在的点也可能是增减区间的分界点．如y?x在x?0处的导数不存在，但x?0的左方函数单
调减少，右方函数单调增加．
（２）求函数y?f(x)单调区间的步骤：
第一步：求定义域D；
第二步：求f?(x)?0的根（驻点）和f?(x)不存
在的点；
第三步：用第二步中求出的点将D划分为几个
小区间；
40
第四步：判定f?(x)在每一个小区间内的符号；第五步：确定单调区间．
【例】求下列函数的单调区间
（1）f(x)?2x?9x?12x?3.
提示：（１）函数的定义域为(??,??). 32
f?(x)?6x?18x?12?6(x?1)(x?2).由f?(x)?0得驻
点x1?1,x2?2.这两个驻点将定义域分成三个区间2(??,1],[1,2],[2,??).
41
当x?(??,1]时f?(x)?0?f(x)单调增加；当x?(1,2)时f?(x)?0?f(x)单调减少；
当x?(2,??)时f?(x)?0?f(x)单调增加．
32(2)y?ln(x?)?2x
提示：函数的定义域为
42
(x?1)(x?3)y???0?2由x(x?)2x1??1,x2?3. 3x?(?,?1)x?(3,??)y??0,当和时函数单调增加； 2
当x?(?1,0)和x?(0,3)时y??0,函数单调减少．
12x?3?.【例】证明：当x?1时，x 1f(x)?2x?(3?),x?1证明：令）x（
43
(xx?1)?f?(x)?2?0. x
所以f(x)在(1,??)内单调增加，从而f(x)?f(1)?0
112x?3?.?2x?(3?)?0即：x x
【例】讨论方程lnx?ax(a?0)有几个实根？
提示：令f(x)?lnx?ax(a?0),则x?0.则方程根的个数为f(x)的图像与x轴交点的个数．
44
111?(x)??a?0,?x??f(x)(0,)?f 在a单调增加，在xa
1(,??)单调减少．a
(1)当11f()?0即0?a?时，ea
f(x)与x轴有两个交点?方程有两个实根；
45
11a?f()?0（2）当a即e时，
f(x)与x轴有一个交点?方程有一个实根；
（3）当f(1
a)?0即a?1
e时，
f(x)与x轴无交点?方程无实根．
46
二、曲线的凹凸性与拐点
1．定义：若曲线弧位于其每一点处的切线的上方，则
称此曲线弧是凹弧；若曲线弧位于其每一点处的切
线的下方，则称此曲线弧是凸弧．
47
a?bf(a)?f(b)f()?22
a?bf(a)?f(b)f()? 22 ，
2．判定：设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶
和二阶导数，那么
48
（1）在(a,b)内f??(x)?0?f(x)在[a,b]上是凹的；
（2）在(a,b)内f??(x)?0?f(x)在[a,b]上是凸的．
注：【1】连续曲线y?f(x)上凹凸弧的分界点（即f??(x)?0
的点）称为曲线的拐点．
【2】二阶导数不存在的点也可能是拐点．如：f(x)?x,f?(x)?1
3x2,f??(x)??f??(0)不尽管9xx22.
存在，但x?0的左右两边f??(x)的符号不同，所以x?0是f(x)的拐点．49
３．求曲线凹凸区间和拐点的基本步骤：
第一步：求函数f(x)的定义域和f??(x).
第二步:求f??(x)?0的实根和f??(x)不存在的点.
第三步:判断第二步中求出的每一个点左右两边二阶导数的符号.
第四步:确定拐点和凹凸区间.
【例】求下列曲线的凹凸区间和拐点.
(1)y?xe (2)y?ln(x?1)
50 ?x2
提示:(1)函数的定义域为(??,??).
y??(1?x)e,y???(x?2)e?0?x?2.
当x?2时,y???0;;当x?2时,y???0. ?x?x
所以,曲线的凹区间为[2,??);凸区间为(??,2].拐点为(2,2e). ?2
(2)函数的定义域为(??,??).
51
2(1?x)2xy???y??222?0?x??1. (1?x)x?1,
当?1?x?1时y???0;当x?1或x??1时y???0.
所以,曲线的凹区间为[?1,1];凸区间为(??,?1],[1,??).拐点为(?1,ln2),(1,ln2).
【例】利用函数图形的凹凸性证明不等式2
1nx?ynn(1)(x?y)?(),(x?0,y?0,x?y,n?1) 22
证明:令f(x)?x
nn?2???f(x)?n(n?1)x?0,则曲线52
y?f(x)是凹的,因此,?x,y?R,有
1nx?ynn(x?y)?(). 22?x?yf(x)?f(y)f()?.22即
e?e(2)?e,(x?y) 2
xx??f(x)?e?f(x)?e?0,则曲线y?f(x)是凹证明:令
的,
因此,?x,y?R,x?xyx?y2y,有x?yf(x)?f(y)f()?. 22 53
ex?eyx?y
2
即2?e. (3)xlnx?ylny?(x?y)lnx?y
2,(x?y,x?0,y?0)
证明:令f(x)?xlnx(x?0)?f??(x)?1
x?0(x?0),则
y?f(x)是凹的,
因此?x,y?R?,x?y有f(x?yf(x)?f(y)
2)?2, 即x?yx?y1ylny)?xlnx?ylny?(x?y)lnx?y 2ln(2)?2(xlnx?2
54 线曲
作业：习题３－４
３５７９
１２１３１４
第五节函数的极值与最大值最小值
一、函数的极值及其求法
1．极值的概念
55
设函数f(x)在x0的某邻域U(x0)内有定义，
（1）若?x?U(x0)有f(x)?f(x0)?f(x0)为极大值，x0
为极大值点．
（2）若?x?U(x0)有f(x)?f(x0)?f(x0)为极小值，x0
为极小值点．
注:极值是一个局部概念,其定义中的U(x0)究竟有多大
无关紧要.
56
2．极值判别法
（1）必要条件
定理：设f(x)在点x0有极值且f?(x0)存在，则f?(x0)?0.
注: 若f?(x0)?0,则称x0为驻点．驻点是可能极值点．如：x?0是y?x 和y?x的驻点，是y?x的极小值
点，但不是y?x的极值点.
（2）充分条件3232
57
定理(第一充分条件):设f(x)在x0处连续,在U(x0)内可
导．
（1）若f?(x)(x?x0)?0?f(x0)为极大值；
（2）若f?(x)(x?x0)?0?f(x0)为极小值.
注：（1）f?(x)不存在的点也可能为极值点. 如：y?x在x?0处不可导，但在x?0处有极小值.
（2）用第一充分条件求极值的步骤为：
第一步：求出f?(x0)?0的根和f?(x)不存在的点；
58 o
第二步：判断在这些点的两侧f?(x)符号变化情况，确定
极值点；
第三步：求出极值. 【例】求y?(x?1)x的极值. 2
5x?2y??x?(x?1)?提示:3x3x 2x???0；当xy当
时232?0时y?不存在.
59
yminy?y(0)?0;从而max
234?y()??.5525
定理(第二充分条件): 设f(x)在x0处具有二阶导数且
f?(x0)?0,f??(x0)?0,则
（１）当f??(x0)?0时，f(x0)为极大值；
60
（２）当f??(x0)?0时，f(x0)为极小值．
注:(1)若f??(x0)?0,则x?x0可能是极值点,也可能不是
极值点，用第二充分条件就无法判定，此时需要用极值的定义或第一充分条件判定．
(2)此定理可推广:
设f?(x0)?f??(x0)?f???(x0)???f
值；当f
极值.
61 (n?1)(x0)?0,f(n)(x0)?0,(n)x则:n为偶数时f(x)在0处取极值，当f(x0)?0时取极小(n)(x0)?0时取极大值. n为奇数时f(x)在x0处不取
【例】求f(x)?x(x?5)的极值．
2提示:f?(x)?5x(x?5)(x?3)?0?x?0,x?3,x?5.
2?? 又f(x)?10x(2x?12x?15). 32
由f??(3)??90?0?fmax?f(3)?108.
f??(5)?250?0?fmin?f(5)?0.
2?????由于f(0)?0,而f(x)?30(2x?8x?5)?f???(0)?0,所以
f(x)在x?0处无极值.
二、最大值最小值问题
62
1．定义:设y?f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,若存
在x0?[a,b],使得
(1)?x?[a,b]恒有f(x)?f(x0),则称f(x0)为y?f(x)在
[a,b]上的最小值；
(2)?x?[a,b]恒有f(x)?f(x0),则f(x0)为y?f(x)在
[a,b]上的最大值.
注：“最值”是整体概念，是在一个区间上来比较的；极值是一个局部概念，是在一个点的附近来比较的．
63
２．最值的求法
第一步:求出方程f?(x)?0的根和f?(x)不存在的点.
第二步:算出第一步中各点处的函数值和区间端点处的函
数值.
第三步:将第二步中所算出的值进行比较,其中最大的一
个值为量大值,最小的一个值为最小值.
【例】求下列函数在给定区间上的最大值.
32(1)f(x)?x?3x?9x?5,x?[?4,4].
64
提示：由f?(x)?3x?6x?9?0?x1??1,x2?3
又f(?1)?10,f(3)?12,f(?4)??71,f(4)??15.
所以，在[?4,4]上函数f(x)的最大值为12，最小值为-71.
12(2)f(x)?(x?2),x?[0,2] x?32
x?9f?(x)??02?x1?9?[0,2],导提示:由3x?1(x?3)
数不存在的点为x2?1,x3??3?[0,2]
65
41f(0)?.f(1)?,f(2)?0. 又34
4
所以，在[0,2]上函数f(x)的最大值为3，最小值为0. 【例】设f(x)?nx(1?x),(n?z),求:
limM(n)M(n)f(x)[0,1](1)在上的最大值; (2) n??. n?
提示: (1) 由f?(x)?n(1?x)?nx(1?x)
1n?1?n(1?x)[1?(n?1)x]?0?x?n?1.
66 n2n?1
1nn?1f()?().?f(0)?f(1)?0, n?1n?1
1nn?1?f(x)在[0,1]上的最大值M(n)?f(n?1)?(n?1). nn?1(2)limM(n)?lim() n??n??n?1
1?(n?1)?11?lim[(1?)]?.n??n?1e
注:在实际问题中,如果在(a,b)内f?(x)?0只有一个根x0,
而从实际含义分析知在(a,b)内有最大值或最小值存在,那67
么,f(x0)就是所要求的最大值或最小值，不必再算f(a),f(b)了.
【例】制造一个容积为50m的圆柱形锅炉,问锅炉的高h3
和底半径r取多大值时用料最省?
提示:用料最省就是要求锅炉的表面积最小．锅炉的表面积
S(r)?2?r?2?rh. 2
502?h?2代入上式得：由已知容积V?50??rh?r
68
100100S(r)?2?r?.S?(r)?4?r?2?0 r由r2
?r?25??h?2?25?
.因容器有最小面积,
r?25?和h?2?25?为所求. 69
作业：习题３－５
２
一、渐近线３第１题的偶数题４５第六节函数图形的描绘
70 ６７
limf(x)??,1．若则直线xx?c?c为y?f(x)的垂直渐近线. limf(x)?b,2．若x??则直线y?b为y?f(x)的水平渐近线.
f(x)lim?a,lim[f(x)?ax]?b,y?ax?b3．若x??x则直线为x??
y?f(x)的斜渐近线.
xy?【例】求1?x的渐近线.
limf(x)???x??1为垂直渐近线；提示：（1）由x??12
71
f(x)xlim?lim?1?a?1. （2）由x??xx??1?x
?xx?lim(?x)?lim??1?b??1.lim[f(x)?ax]由x?? x??1?xx??1?x2
从而y?x?1为斜渐近线．
二、函数作图举例
第一步：确定函数f(x)的定义域；
第二步：讨论函数的对称性和周期性；
第三步：求出函数的单调区间和凹凸区间；第四步：确定渐近线；
72
第五步：求出极值点、拐点及与坐标轴的交点；第六步：列表、描图．36xy?1?2的图形. 【例】作出函数(x?3)
提示:函数的定义域为(??,?3)?(?3,??).
36(3?x)72(x?6)y???0??y??034?x?3;?x?6. (x?3)(x?3)
73
36x
?lim[1?]?1,?y?12x??为水平渐近线. (x?3)36x?lim[1?]???,?x??32x??3为
铅直渐近线. (x?3)
函数的图像如图3-28（P169）．
74
75
一、曲率的定义：
二、曲线的计算公式作业：习题３－６１３５第七节曲率一条曲线y?f(x)的弯曲程度称为曲线
76 的曲率．
若曲线的方程为y?f(x),则曲率K?y??(1?y?)3
22.
??(t)???(t)????(t)???(t)?x??(t)K?3,?若曲线的方程为?y??(t)则曲率
222[??(t)???(t)]
例：求曲线xy?1在点(1,1)处的曲率．112?y??y???2,y???3提示：xxx
77
2?y?(1)??1,y??(1)?2.?K?. 2
例：抛物线y?ax?bx?c上哪一点处的曲率最大？
提示：y??2ax?b,y???2a?K?2a
[1?(2ax?b)]3
222.
bx??2ax?b?0当即也就是说抛物线在顶2a时，K最大，
点处的曲率最大．
注：直线的曲率为0；圆的曲率为圆的半径的倒数．
三、曲率圆与曲率半径
78
设曲线y?f(x)在点M(x,y)处的曲率为K(K?0),在点
1??,以M(x,y)处曲线的法线上凹的一侧取一点D,使DM?K
D为圆心，?为半径的圆称为曲线y?f(x)在点M处的曲率圆；1??y?f(x)D为曲线在点M处的曲率中心；K称为曲线在点M 处的曲率半径．
79
作业：习题３－７
４９
80 ２１０
习题课
1．求极限：(1)lim2
x??[x?xln(1?1x)]. 1
提示：令x?t,则原式?lim1ln(1?t)
t?0[t?t2]
?limt?ln(1?t)1?1
t?0t2?limt?02t?lim1
t?02(1?t)
81 ?12.
a12(2)lim[?(2?a)ln(1?ax)](a?0). x?0xx
分析：当x?0时，aln(1?ax)?0,此项应单独提出来．2
aln(1?ax)2?lim[??aln(1?ax)]2提示：原式x?0x x
aa?ax?ln(1?ax)?lim?lim2 x?0x?02xx
2axa?lim?.x?02x(1?ax)2 2
82
1n2(3)lim(ntan).n?? n
1x2lim(xtan),分析：首先考察x???这是一个幂指函数，可以考虑使x 用重要极限或罗必达法则求出值后，将x换成n可得
1n2lim(ntan).n?? n
1x2tant)lim(xtan)?lim?(提示：x???t?0tx
83 1t2tant?t?lim?[(1?)t?0tttant?ttant?t]t3
2tant?tsect?11tant1?lim?lim??lim2?.23其中t?0t?03t3t?0tt3
t2tant?ttant?ttant?tsect?1?lim?(1?)?e.?lim??lim?0, t?0t?0t?0t1t?2?
1n21x2lim(xtan)?e.?lim(ntan)?e.从而x??? n??nx
6?f(x)sin6x?xf(x).lim?0,lim23２．若x?0求x?0 xx
sin6x?xf(x)[sin6x?6x]?[6x?xf(x)]?lim?lim33提示：x?0 x?0xx
84 1313
6x?xf(x)[sin6x?6x]?lim?lim33?0. x?0x?0xx
sin6x?6x6cos6x?6?36sin6xlim?lim?lim32??36.又x?0 x?0x?06xx3x
6?f(x)6x?xf(x)sin6x?6xlim?lim??lim23?36.3从而x?0x x?0x?0xx
1111f(x)???,x?[,1),f(1)3．设试补充定义使得?xsin?x?(1?x)2
1f(x)在[,1]上连续．2
85
1[,1]lim?f(x)?f(1). f(x)分析：要使在2上连续，必须使得x?1
111?lim?[??]limf(x)提示：x?1?x?1?xsin?x?(1?x)
?y?sin?y?(1?x)?sin?x1?x?y1??lim??lim?y?0?ysin?y ?x?1?(1?x)sin?x1??
???cos?y?y?sin?y1??lim??lim222y?0y?0 ??2?y?y1??
?sin?y??lim2y?0?2?1?2?1?.
86
1f(1)?[,1]f(x)所以，只需定义在2上连续．?就可以使1
11?1??,1???xsin?x?(1?x)x?[,1)f(x)??.21?即,x?1???
４．设函数f(x)在[?1,1]上具有三阶连续导数，且
f(?1)?0,f(1)?1,f?(0)?0.
证明：在(?1,1)内至少存在一点?,使得f???(?)?3.
提示：由于f(x)在[?1,1]上具有三阶连续导数，则87
f??(0)2f???(?)3f(x)?f(0)?f?(0)x?x?x,其中?在x,0之间．2!3!
f??(0)f???(?1)?f(0)??1?f(1)(0??1?1). x??1当时，26
f??(0)f???(?2)0?f(?1)?f(0)?2?6(?1??2?0).
两式相减得f???(?1)?f???(?2)?6. 由于f???(x)的连续性，f???(x)在[?2,?1]上有最大值Ｍ和最小值
1m?[f???(?1)?f???(?2)]?M.m?3?M.m．则即2
88
再由介值定理，至少存在一点??(?2,?1)?(?1,1),使得f???(?)?3.
5．设x?0时，e
提示：x?0 tanxx?e与x是同阶无穷小，求正整数n.
nxlimetanx?enx?limex?0xetanx?x?1xntanx?x?limn x?0x
xtanxsecx?1?lim??(1)?lim?limn?1n?1n?1x?0nx x?0x?0nxnx222
要使etanx?e与x是同阶无穷小，只有（１）式等于一个非xn
89
零常数，从而n?3.
６．设x?0时，(1?cosx)ln(1?x)是比xsinx高阶的无
穷小，而xsinx是比en2nx2?1高阶的无穷小，求正整数n.
2提示：当x?0时，(1?cosx)ln(1?x)xx2~?x?.22 24
xsinxn~x?x?xnn?1.ex2?1~x. 2
14x211(1?cosx)ln(1?x)?lim?lim?0lim?0n?1n?3n由x?0 x?0x2x?0xxsinx
90
?n?3. xn?1limx?0?lim2?limx?0?n?1.又由x?0e?1 x?0xx?0xsinx2nn?1 综上可得：n?2.
７．设函数f(x)在U(0)内有一阶连续导数，且f(0)?f?(0)?0,如果
af(x)?bf(2x)?f(0)在x?0时是比x高阶的无穷小，试确定a,b的值．方法一（用罗必达法则）：
?lim[af(x)?bf(2x)?f(0)]?0?(a?b?1)f(0)?0. x?0
91
由f(0)?0得a?b?1?0??(1)
af?(x)?2bf?(2x)af(x)?bf(2x)?f(0)?0?lim?0?lim x?0x?01x
?limaf?(0)?2bf?(0)?0.f?(0)?0a?2b?0??(2)x?0由得由（１）（２）得a?2,b??1. 方法二（用导数的定义）
af(x)?bf(2x)?f(0)?lim?0 x?0x
92
?limf(x)?f(0)f(2x)?f(0)(a?b?1
x?0[ax?2b2x?)f(0)
x]
?(a?2b)f?(0)?lim(a?b?1)f(0)
x?0x?0.
?a?b?1?0?a?2
由f(0)?f?(0)?0???a?2b?0???b??1.
８．设f(x)在(??,??)内可导，且?x1,x2,当x1?x2时，都
有f(x1)?f(x2),则（）．
（Ａ）?x,都有f?(x)?0.（Ｂ）?x,都有f?(?x)?0.
（Ｃ）函数f(?x)单调增加．（Ｄ）函数?f(?x)单调增加．93
提示：当x1?x2时，?x1??x2?f(?x1)?f(?x2)
??f(?x1)??f(?x2).从而，函数?f(?x)单调增加．
注：单调增加函数在增区间内一阶导数不一定恒大于
０．可能不存在，如y?x在Ｒ上是单调增加的，但在x?0处没有导数；也可能等于0，如y?x.
９．设f(x),g(x)是恒大于０的可导函数，且
f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0.则当a?x?b时，有（）．3（Ａ）f(x)g(b)?f(b)g(x).（Ｂ）f(x)g(a)?f(a)g(x).
94
（Ｃ）f(x)g(x)?f(b)g(b).（Ｄ）f(x)g(b)?f(a)g(a).
f?(x)g(x)?f(x)g?(x)??0??2f(x)g(x)?f(x)g(x)?0提示：[g(x)]
f(x)?(a,b)在内单调递减．g(x)
f(x)f(b)???f(x)g(b)?f(b)g(x).应选（Ａ）．g(x)g(b)
１０．若f(x)??f(?x),在(0,??)内f?(x)?0,f??(x)?0.则在
(??,0)内有（）．
（Ａ）f?(x)?0,f??(x)?0.（Ｂ）f?(x)?0,f??(x)?0.
95
（Ｃ）f?(x)?0,f??(x)?0.（Ｄ）f?(x)?0,f??(x)?0.
方法一：由f(x)??f(?x),在(0,??)内f?(x)?0,f??(x)?0可知，f(x)为奇函数且在(0,??)内单调增加且是凹
的．由奇函数的图像关于（０，０）点对称可
得，f(x)在(??,0)内单调增加且是凸的，从而
f?(x)?0,f??(x)?0.应选（Ｃ）．
方法二：对等式f(x)??f(?x)两边求导得f?(x)?f?(?x).
两边再求导得f??(x)??f??(?x).
因为在(0,??)内f?(x)?0,f
??(x)?0,
96
当x?(??,0)时，?x?(0,??).
?f?(x)?f?(?x)?0,f??(x)??f??(?x)?0. 即：在(??,0)内f?(x)?0,f??(x)?0.
应选（Ｃ）．f(x)?f(a)lim??1,2１１．x?a(x?a)则在x?a处（）．
（Ａ）f(x)的导数存在且f?(a)?0.（Ｂ）f(x)取得极大值．（Ｃ）f(x)取得极小值．（Ｄ）f(x)的导数不存在．97
f(x)?f(a)0lim??1?0,2提示：由x?a(x?a)根据极限的同号性，在U(a)内有f(x)?f(a)0?0,2在U(a)内f(x)?f(a).由极值定义，f(x)在a处取(x?a)
得极大值．应选（Ｂ）．
１２．设y?f(x)是方程y???2y??4y?0的一个解，且f(x0)?0,f?(x0)?0.则y?f(x)在点x0处（）．
（Ａ）取极大值．（Ｂ）取极小值．
98
（Ｃ）U(x0)内单调增加．（Ｃ）U(x0)内单调减少．
提示：由y?f(x)是方程y???2y??4y?0的一个解得：
f??(x0)?2f?(x0)?4f(x0)?0. 00
又f(x0)?0,f?(x0)?0?f??(x0)??4f(x0)?0?x0是极大值点．应选（Ａ）．
１３．已知f(x)在x?0的某去心邻域内连续，并且f(0)?0,
f(x)lim?2.则f(x)在xx?01?cosx?0处（）
（Ａ）不可导．（Ｂ）可导且f?(0)?0.
99
（Ｃ）取得极大值．（Ｄ）取得极小值．f(x)?lim?2?0提示：根据极限的同号性，由x?01?cosx
0f(x)??0,x?U(0).1?cosx?0f(x)?0?f(0)?f(x)由有1?cosx
在x?0处取极小值．应选（Ｄ）．
f??(x)?f(0)?0,lim?1,x?0１４．设f(x)具有二阶连续导数，且则x
（）．
（Ａ）f(0)是f(x)的极大值．（Ｂ）f(0)是f(x)的极小值．100
（Ｃ）x?0是曲线y?f(x)的拐点．（Ｄ）以上说法都不
对．f??(x)0lim?1?0?f??(x)?0,x?U(0)?f?(x)单调增提示：由x?0x 加．又f?(0)?0?f?(x)在x?0由负变正，?x?0是f(x)的极小值点，从而f(0)是f(x)的极小值．应选（Ｂ）．
101。