第四章 控制系统的频率特性分析

( ) (t ) t
为相位差，也是ω的非线性函数，规定φ(ω)逆时针为正 ，物理系统一般为滞后的，所以，φ(ω)一般为负值。
4-1
频率特性的基本概念
3.线性系统的频率特性：当系统输入各个不同频率的正弦 信号时，其稳态输出与输入的复数比称为系统的频率特性函 数，简称系统的频率特性，记为G(j) 。
4-1
频率特性的基本概念
横坐标采用对数分度，但标注只标频率值，如横坐标两点满足
2 10 1
的关系，则它们之间的长度为一个“十倍频程”，以dec表示。
4-1
频率特性的基本概念
3.对数幅相图(Nichols图) 将Bode图的两张图合二为一。 对数幅相图的横坐标表示对数相频特性的相角， 纵坐标表示对数幅频特性的幅值的分贝数。
4-2典型环节的频率特性极坐标图（Nyquist图）
积分环节
1 G s s

1 1 1 j2 频率特性： G j j e j
G j
1

G j 90 o
奈氏图： 积分环节的幅相特性曲线是一与虚轴负段相重合的直线。
j 0 ω 积分环节的幅相曲线
如=2, 则 (j2)=0.35
-45o
则系统稳态输出为：c(t)=0.35*2sin(2t-45o) =0.7sin(2t-45o)
4-1
频率特性的基本概念
三．频率特性的性质：
1) 幅频特性和相频特性是系统的固有特性，与外界因素无 关； 2) 一般系统的频率特性具有低通滤波的作用; 3) 频率特性随频率变化，是因为系统中含有储能元件，他 们在进行能量交换时，对不同的信号使系统有不同的特性。
第四章 控制系统的频率特性分析
4-0 引言 4-1 频率特性的基本概念 4-2 4-3 Nyquist 图的一般形状
典型环节的频率特性极坐标图（Nyquist图）
4-4
4-5
典型环节的对数频率特性:伯德图(Bode图)
系统开环对数频率特性(Bode图)的绘制
第四章 控制系统的频率特性分析
4-0 引言
设输入系统的正弦函数为
xi (t ) Xi sin(t )
用复数表示
x i ( t ) X ie
j t
对于稳定的线性系统，各频率下其输出的稳态值为：
xo(t ) Xo sin(t ( ))
用复数表示为：
xo( t ) Xo( )e
j[t ( )]
4-1
4-1
频率特性的基本概念
二．频率特性的求法 一般可有三种求法
① 根据已知系统的运动微分方程，把输入量以正弦函数 代入，求其稳态解，取输出量的稳态分量与输入正弦信号的 复数比，即得。（例题） ② 根据系统的传递函数求取。 ③ 通过实验测得。（说明） 对② ， 若描述线性系统的微分方程的形式为：
an xo bm xi
4-1
频率特性的基本概念
频率特性的求法
s
p
j
微分 方程


p
p d dt
传递 函数
系统
频率 特性
s j
4-1
频率特性的基本概念
【例】某单位反馈控制系统得开环传递函数为 G(s)H(s)=1/(s+1),试求输入信号r(t)=2sint时系统的稳态 输出 解 首先求出系统的闭环传递函数(s) ，令s=j得
奈氏图：由于
1 1 2 U V 2 2
2 2
所以幅相特性曲线为一圆心在（1/2，j0）半径为1/2的园。 V<0，为半圆。
j
p
jω+1/T θ -1/T (a) 0
j
ω=∞ 0
-45o
ω=1/T (b)
ω=0 K
惯性环节 极点—零点图(a) 幅相曲线(b)
G j U
1 T T V 2 1 T
2
1 1 T j 2 1 jT 1 T 2 1 T 1
频率特性
G j
1 1 T
2
G j arctanT
4-2典型环节的频率特性极坐标图（Nyquist图）
幅频特性 相频特性
4-1
显然，
频率特性的基本概念
Xo( ) A( ) Xi
( ) (t ( )) t
分别称为幅频特性和相频特性，
A( ), ( ) 的值分别称为幅值和相角。
可见系统的频率响应为：
xo( t ) Xi G( j ) sin[t G( j )]
4-2典型环节的频率特性极坐标图（Nyquist图）
微分环节 频率特性：
Gs s
G j j e
频率响应法是二十世纪三十年代发展起来的一种经典工 程实用方法,是一种利用频率特性进行控制系统分析的图解方
法,可方便地用于控制工程中的系统分析与设计。频率法用于
分析和设计系统有如下优点： （1）不必求解系统的特征根，采用较为简单的图解方法 就可研究系统的稳定性。由于频率响应法主要通过开环频率特 性的图形对系统进行分析，因而具有形象直观和计算量少的特 点。
4-2典型环节的频率特性极坐标图（Nyquist图）
G( j ) 是ω的复变函数,故可在 [G( j )] 的复平面上表示它.
G ( j ) u( ) jv( ) G ( j ) u 2 v 2 v ( ) G ( j ) arctg u( )
ω由0→∞时, G( j ) 的端点轨迹即为频率特性的极坐标图.
将xi(t)和xo(t)的各阶导数代入:
a ( j a ( j a ( j a X exp j(t ( )) b ( j b ( j b ( j b X exp( jt )
n ) n n1 ) n 1 1 ) 0 o m ) m m 1 ) m 1 1 ) 0 i
4-1
频率特性的基本概念
2.伯德图(Bode图) 如将系统频率特性G(j)的幅值和相角分别绘在半对数坐标 图上,分别得到对数幅频特性曲线（纵轴：对幅值取分贝数后 进行分度；横轴：对频率取以10为底的对数后进行分度:lgw） 和相频特性曲线（纵轴：对相角进行线性分度；横轴：对频率 取以10为底的对数后进行分度lgw），合称为伯德图(Bode图) 。 单位为分贝(dB) 对数幅频特性记为 对数相频特性记为 单位为弧度(rad)
(n)
( t ) an 1 xo
( n 1 )
( t ) a 1 xo( t ) a 0 xo( t ) ( t ) b 1 x i ( t ) b 0 x i ( t )

(m)
( t ) bm 1 xi
( m 1 )
n>=m
4-1
2．正弦输入信号时，输出信号的变化规律：
xi (t ) Xi sin(t )
jt
ae
G ( jw) e
j ( )
Hale Waihona Puke e jt G ( jw) Xi sin(t ( ))
Xi j ( ) jt Xi G ( jw) e e 2j 2j
Xo( ) sin(t ( ))
4-1
频率特性的基本概念
Xo( ) exp j (t ( )) bm ( j ) m bm 1( j ) m 1 b1( j ) b0 Xi exp( jt ) an( j ) n an 1( j ) n1 a 1( j ) a 0
比例环节： 惯性环节：
积分环节：
一阶微分环节：(Ts+1) ， 1/s
微分环节：
振荡环节：
s
1/[(s/ωn)2+2ζs/ωn+1]; 式中 ωn>0，0<ζ<1
二阶微分环节：(s/ωn)2+2ζs/ωn+1;
式中 ωn>0，0<ζ<1
4-2典型环节的频率特性极坐标图（Nyquist图）
频率特性分析法的特点和缺点 说明
4-1
频率特性的基本概念
四、频率特性表示法
（一）解析表示 系统开环频率特性可用以下解析式表示 幅频-相频形式 ： 指数形式(极坐标)： 三角函数形式：
实频-虚频形式：
（二）频率特性常用的图解形式 1. 极坐标图—奈奎斯特图（Nyqusit）—幅相特性曲线 系统频率特性为幅频-相频形式 当在0～变化时,向量G(j)H(j)的幅值和相角随而变化,与此对 应的向量G(j)H(j)的端点在复平面G(j)H(j)上的运动轨迹就称为幅 相频率特性或 Nyqusit曲线。画有Nyqusit曲线的坐标图称为极坐标图或 Nyqusit图。
则稳态输出
频率特性的基本概念
输入信号： xi (t ) Xi exp( jt )
xo(t ) Xo( ) exp j(t ( )
k 1,2,3....m k 1,2,3....n
xi ( k ) ( t ) ( j ) k Xi exp( jt )
xo ( k ) ( t ) ( j ) k Xo exp j (t ( ))
Xo( ) exp j ( ) G( j ) Xi
右边是将G(S)中的S以jω取代后的结果，并记为G(jω)。
所以，
Xo( ) A( ) G ( j ) Xi G ( j ) ( )
G(jω)是系统的频率特性
频率响应
xo( t ) Xi G( j ) sin[t G( j )]
时间响应分析是根据系统的微分方程，以拉氏变换为数
学工具，直接解出系统的时间响应，然后根据响应的表达
式及其描述曲线来分析系统的性能。较为直观。 时域分析法的缺点： （1）高阶系统的分析难以进行； （2）当系统某些元件的传递函数难以列写时，整个系统的 分析工作将无法进行。 （3）物理意义欠缺。
4-0
引言
的系统。
4-1
频率特性的基本概念
一．频率响应和频率特性 1．定义：频率响应是指控制系统或元件对正弦输入信号的 稳态正弦响应。即系统稳定状态时输出量的振幅和相位随输 入正弦信号的频率变化的规律。 基本概念（物理意义）
4-1
数学本质 输入 输出
xo( t ) ae
jt
频率特性的基本概念
4-2典型环节的频率特性极坐标图（Nyquist图）
b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm G( S ) H ( s) a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n
K 1/(Ts+1) ，式中T>0 式中T>0
典型环节
式中：Xo(ω) 为输出正弦信号的幅值，Φ(ω)为输出正弦 信号的相位。
4-1
频率特性的基本概念
可见： 1) 输出的稳态信号是同频率的正弦信号； 2)输出稳态正弦信号的幅值和相对于输入信号的相位变化 是输入信号频率ω的函数； 当 1
Xo( ) Xi
为幅值比 , 定义为A(ω) ， 为ω的非线性函数。
4-0
引言
（2）系统的频率特性可用实验方法测出。频率特性具 有明确的物理意义，它可以用实验的方法来确定，这对于难 以列写微分方程式的元部件或系统来说，具有重要的实际意 义。
（3）可推广应用于某些非线性系统。频率响应法不仅适 用于线性定常系统，而且还适用于传递函数中含有延迟环节 的系统和部分非线性系统的分析。 （4）用频率法设计系统，可方便设计出能有效抑制噪声
由定义：
G( j )
频率特性的基本概念
Xo( )e j[t ( )] jt
对于线性系统可写为：
Xie
G ( j ) A( )e
j ( )
可见，系统的频率特性 G( j ) 是一个复数 ，是频率的函数。
A( ) G ( j ) ( ) G ( j )
比例环节
G s C s K Rs
j
频率特性
G j K
0 k
G j K
·
G j 0
o
比例环节K的幅相曲线
奈氏图：奈氏图上的幅相特性曲线是实轴上的一个点，
4-2典型环节的频率特性极坐标图（Nyquist图）
惯性环节
Gs 1 Ts 1