浙江省湖州五中中考数学第一次质检试卷 解析版

浙江省湖州五中中考数学第一次质检试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．﹣2021的相反数是（）
A ．
B ．C．2021D．﹣2021
2．在下列运算中，计算正确的是（）
A．a3•a2＝a6B．a8÷a2＝a4C．（a2）3＝a6D．a2+a2＝a4
3．如图，桌面上有一个球和一个圆柱形茶叶罐靠在一起，则主视图正确的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．如图，已知A，B，C在⊙O 上，为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是（）
A．2∠C B．4∠B C．4∠A D．∠B+∠C
5．某一段时间，小芳测得连续五天的日最低气温后，整理得出下表（有两个数据被遮盖），被遮盖的两个数据依次是（）
日期一二三四五方差平均气温
1℃﹣1℃2℃0℃■■1℃最低气
温
A．3℃，2B．3℃，C．2℃，2D．2℃，
6．如图，某小区规划在一个长AD＝40m，宽AB＝26m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的通道（图中阴影部分），使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种植
花草，要使每一块种植花草的场地面积都是144m2．若设通道的宽度为x（m），则根据题意所列的方程是（）
A．（40﹣x）（26﹣2x）＝144×6B．（40﹣2x）（26﹣x）＝144×6
C．（40﹣2x）（26﹣x）＝144÷6D．（40﹣x）（26﹣2x）＝144÷6
7．已知a＜0＜b，那么下列不等式组中一定有解的是（）
A．B．C．D．
8．如图是一个3×2的长方形网格，组成网格的小长方形长为宽的2倍，△ABC的顶点都是网格中的格点，则sin∠BAC的值（）
A．B．C．D．
9．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的直径2，直线AB的函数解析式为y＝x﹣1，交坐标轴于点A和点B，将线段AB作平移变换，使所得的线段的两端都落在⊙O上，则平移后A点所对应的点的坐标是（）
A．（，）或（，）
B．（，）或（，）
C．（，）或（，）
D．（，）或（，）
10．如图，在反比例函数y＝（m为常数，且m＞0）第一象限内图象上取一点P1，连接OP1，过P1作P1A1⊥x轴，垂足为A1；在OA1的延长线上截取A1B1＝OA1，过B1作OP1的平行线交反比例函数的图象于P2，过P2作P2A2⊥x轴，垂足为A2；在OA2的延长线上截取A2B2＝B1A2，连接P1B1，P2B2，则的值是（）
A．B．m C．（﹣1）m D．﹣1
二、填空愿（本大题共6小题，共24分）
11．（4分）分解因式：x2﹣y2＝．
12．（4分）一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，如果取得红球或黑球的概率与取得白球的概率相同，那么m与n的关系是．
13．（4分）如图，已知圆锥的底面半径为3，母线长为4，则它的侧面积是．
14．（4分）如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连接BD 并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT的长为．
15．（4分）当﹣7≤x≤a时，二次函数y＝﹣（x+3）2+5恰好有最大值3，则a＝．16．（4分）如图，矩形OABC中，点A，点C分别在x轴，y轴上，D为边BC上的一动点，现把△OCD沿OD对折，C点落在点P处．已知点B的坐标为（2，2）．
（1）在点D沿BC从点C运动至点B的过程中，设点P经过的路径长度为l，则l的值；
（2）在点D沿BC从点C运动至点B的过程中，若点P落在同一条直线y＝kx+4上的次数为2次，请直接写出k的取值范围．
三、解答题（本大题8小题，共66分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）先化简，再求值，其中x为整数且满足不等式组．
19．（6分）如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE＝CF．
（1）请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线？说明你判断的理由．
（2）连接BF，CE，求证：四边形BECF是平行四边形．
20．（8分）为了解学生对篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳等5项体育活动的喜欢程
度，某校随机抽查部分学生，对他们最喜欢的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，并将统计数据绘制成如下两幅不完整的统计图：
请解答下列问题：
（1）m＝%，这次共抽取了名学生进行调查；请补全条形统计图；
（2）若全校有800名学生，则该校约有多少名学生喜爱打篮球？
（3）学校准备从喜欢跳绳活动的4人（二男二女）中随机选取2人进行体能测试，求抽到一男一女学生的概率是多少？
21．（8分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，⊙B与AB、BC 交于E、F，点P是弧上的一个动点，连接PC，线段PC绕P点逆时针旋转90°到PD，连接CD，AD．
（1）求证：△BPC∽△ADC；
（2）当四边形ABCD满足AD∥CB且是面积为12时，求⊙B的半径．
22．（10分）某手机专卖店销售A，B两种型号的手机，如表是近两周的销售情况：销售时段销售数量销售利润
A型B型
第一周3台5台1800元
第二周4台10台3000元（1）求每台A型手机和B型手机的销售利润；
（2）该手机专卖店计划一次购进两种型号的手机共100台，其中A型号手机的进货量不超过B型号手机进货量的2倍．设购进A型号手机x台，这100台手机的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数表达式；
②该商店购进A型号和B型号手机各多少台，才能使销售总利润最大？
（3）实际进货时，厂家对A型号手机的出厂价提高a（0＜a＜100）元，对B型号手机的出厂价下降a（0＜a＜100）元，且限定该手机专卖店至少购进A型号手机20台．若该手机专卖店保持两种手机的售价不变，请根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台手机销售总利润最大的进货方案．
23．（10分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y 轴交于点C（0，﹣3），对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点E为y轴上一动点．
①若CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限，当线
段PQ＝AB时，求∠CED的正切值；
②若点G是直线x＝1上一点，当△CEG与△AOC相似时，请直接写出点E的坐标．
24．（12分）AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，F为弧BC上一点，且∠FBC＝∠ABC，连接DF，分别交BC、AB于E、G．
（1）如图1，求证：DF⊥BC；
（2）如图2，连接EH，过点E作EM⊥EH，EM交⊙O于点M，交AB于点N．
①求证：EN＝GN；
②连接OC，求证：△CHO≌△HEN．
2021年浙江省湖州五中中考数学第一次质检试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．﹣2021的相反数是（）
A．B．C．2021D．﹣2021
【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：﹣2021的相反数是2021，
故选：C．
2．在下列运算中，计算正确的是（）
A．a3•a2＝a6B．a8÷a2＝a4C．（a2）3＝a6D．a2+a2＝a4
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；
幂的乘方，底数不变指数相乘；合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、应为a3•a2＝a3+2＝a5，故本选项错误；
B、应为a8÷a2＝a8﹣2＝a6，故本选项错误；
C、（a2）3＝a2×3＝a6，正确；
D、应为a2+a2＝2a2，故本选项错误．
故选：C．
3．如图，桌面上有一个球和一个圆柱形茶叶罐靠在一起，则主视图正确的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据主视图的定义即可作出判断．
【解答】解：这是一个组合体，一个球体和一个圆柱，
它的主视图是一个圆和一个长方形，
圆在左边，长方形在右边，
故选：A．
4．如图，已知A，B，C在⊙O 上，为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是（）
A．2∠C B．4∠B C．4∠A D．∠B+∠C
【分析】根据圆周角定理，可得∠AOB＝2∠C．
【解答】解：如图，由圆周角定理可得：∠AOB＝2∠C．
故选：A．
5．某一段时间，小芳测得连续五天的日最低气温后，整理得出下表（有两个数据被遮盖），被遮盖的两个数据依次是（）
日期一二三四五方差平均气温
1℃﹣1℃2℃0℃■■1℃最低气
温
A．3℃，2B．3℃，C．2℃，2D．2℃，
【分析】先由平均气温可计算出日期五的气温，然后可以计算出方差．
【解答】解：设第五天的温度为X，则有：（1﹣1+2+0+X）÷5＝1，解得，X＝3℃，方差S2＝[（1﹣1）2+（﹣1﹣1）2+（2﹣1）2+（﹣1）2+（3﹣1）2]÷5＝2，
故选：A．
6．如图，某小区规划在一个长AD＝40m，宽AB＝26m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的通道（图中阴影部分），使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种植花草，要使每一块种植花草的场地面积都是144m2．若设通道的宽度为x（m），则根据题意所列的方程是（）
A．（40﹣x）（26﹣2x）＝144×6B．（40﹣2x）（26﹣x）＝144×6
C．（40﹣2x）（26﹣x）＝144÷6D．（40﹣x）（26﹣2x）＝144÷6
【分析】设通道的宽度为x（m），于是六块草坪的面积为（40﹣2x）（26﹣x），根据面积之间的关系可列方程（40﹣2x）（26﹣x）＝144×6．
【解答】解：设通道的宽度为x（m），
根据题意得（40﹣2x）（26﹣x）＝144×6，
故选：B．
7．已知a＜0＜b，那么下列不等式组中一定有解的是（）
A．B．C．D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则判断即可．．
【解答】解：由a＜0＜b，得
﹣b＜0＜﹣a，
的解集是﹣b＜x＜﹣a，
故选：B．
8．如图是一个3×2的长方形网格，组成网格的小长方形长为宽的2倍，△ABC的顶点都是网格中的格点，则sin∠BAC的值（）
A．B．C．D．
【分析】过C作CD⊥AB于D，首先根据勾股定理求出AC和AB的长，再根据三角形的面积为定值即可求出CD的长，进而求出sin∠BAC的值．
【解答】解：如图，
由图形知：AB＝＝5，AC＝＝，
过C作CD⊥AB于D，
∵S△ABC＝×AB•CD＝BC•AE，
CD＝
∴sin∠BAC＝＝＝，
故选：A．
9．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的直径2，直线AB的函数解析式为y＝x﹣1，交坐标轴于点A和点B，将线段AB作平移变换，使所得的线段的两端都落在⊙O上，则平移后A点所对应的点的坐标是（）
A．（，）或（，）
B．（，）或（，）
C．（，）或（，）
D．（，）或（，）
【分析】根据条件先计算图1中的直角△AOB的三边长，得∠BOA＝30°；根据两直线平行的性质，同位角相等，可以得不管直线AB向上或向下平移与x轴夹角都是30°，
分两种情况进行讨论：①当直线AB向下平移时，如图2，作辅助线，构建直角三角形及平移后的点A′与两坐标轴的垂线，由30°角的性质和三角函数求
出A′Q和OQ的长，写出点A′的坐标即可；②同理在图3中求出A′的坐标．
【解答】解：如图﹣﹣1，在函数，令x＝0，得到y＝﹣1，
所以B（0，﹣1）．同理可以得到，
于是在Rt△AOB中，．
根据勾股定理得到：AB＝2，∠OAB＝30°．
即直线与x轴的夹角总是30°（锐角）．
【实际一次函数中的，这个特殊值，也可以得到30°夹角的结论】．
因为直线AB在平移过程中，不会改变k值，
所以平移后的直线与x轴的夹角仍然是30°．
以下分两种情况：
当直线向下平移到如图﹣﹣2位置．
则有∠OCA1＝30°，A1B1＝2．
过O点作OD⊥A1B1于点D，过点A1作A1E⊥OC，连接OA1．
再等腰三角形OA1B1中，根据“三线合一”，得到，
又半径，在Rt△ODA1中，根据勾股定理可以求得．
在Rt△OCD中，∠OCA1＝30°，．
根据“特殊的30角的三边关系”得到：，．
所以．
在Rt△ECA1中，同样可以求得：，
．
所以．
因为点A1在第四象限，所以点；
当直线向上平移到如图﹣﹣3位置．
同理可以得到点．
故选：A．
10．如图，在反比例函数y＝（m为常数，且m＞0）第一象限内图象上取一点P1，连接OP1，过P1作P1A1⊥x轴，垂足为A1；在OA1的延长线上截取A1B1＝OA1，过B1作OP1的平行线交反比例函数的图象于P2，过P2作P2A2⊥x轴，垂足为A2；在OA2的延长线上截取A2B2＝B1A2，连接P1B1，P2B2，则的值是（）
A．B．m C．（﹣1）m D．﹣1
【分析】设P1点的坐标为（a，），P2点的坐标为（b，），由△OP1B1，△B1P2B2均为等腰三角形，可得OA1＝a，OB1＝2a，B1A2＝b﹣2a，B1B2＝2（b﹣2a），由OP1∥B1P2，易证得Rt△P1OA1∽Rt△P2B1A2，然后由相似三角形的对应边成比例，求得a＝（﹣1）b，继而求得答案．
【解答】解：设P1点的坐标为（a，），P2点的坐标为（b，），
∵△OP1B1，△B1P2B2均为等腰三角形，
∴A1B1＝OA1，A2B2＝B1A2，
∴OA1＝a，OB1＝2a，B1A2＝b﹣2a，B1B2＝2（b﹣2a），
∵OP1∥B1P2，
∴∠P1OA1＝∠A2B1P2，
∴Rt△P1OA1∽Rt△P2B1A2，
∴OA1：B1A2＝P1A1：P2A2，
即a：（b﹣2a）＝：，
整理得a2+2ab﹣b2＝0，
解得：a＝（﹣1）b或a＝（﹣﹣1）b（舍去），
∴B1B2＝2（b﹣2a）＝（6﹣4）b，
∴＝＝﹣1．
故选：D．
二、填空愿（本大题共6小题，共24分）
11．（4分）分解因式：x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）．
【分析】因为是两个数的平方差，所以利用平方差公式分解即可．
【解答】解：x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）．
故答案是：（x+y）（x﹣y）．
12．（4分）一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，如果取得红球或黑球的概率与取得白球的概率相同，那么m与n的关系是m+n＝8．
【分析】根据概率公式依据取得红球或黑球的概率与取得白球的概率相同可得＝，据此可得答案．
【解答】解：根据题意可知，
＝，
即m+n＝8，
故答案为：m+n＝8．
13．（4分）如图，已知圆锥的底面半径为3，母线长为4，则它的侧面积是12π．
【分析】根据圆锥的底面侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得圆锥的侧面展开扇形的弧长，利用弧长与扇形的半径乘积的一半等于扇形的面积求得扇形的面积即可．【解答】解：∵圆锥的底面半径是3，
∴圆锥的底面周长为：2πr＝2π×3＝6π，
∵圆锥的底面周长等于侧面展开扇形的弧长，
∴侧面展开扇形的弧长为6π，
∵母线长为4，
∴圆锥的侧面积为：lr＝×6π×4＝12π．
故答案为：12π．
14．（4分）如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连接BD 并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT的长为2．
【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB＝∠CGE＝45°，再求出∠GDT ＝45°，从而得到△DGT是等腰直角三角形，根据正方形的边长求出DG，再根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍求解即可．
【解答】解：∵BD、GE分别是正方形ABCD，正方形CEFG的对角线，
∴∠ADB＝∠CGE＝45°，
∴∠GDT＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∴∠DTG＝180°﹣∠GDT﹣∠CGE＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴△DGT是等腰直角三角形，
∵两正方形的边长分别为4，8，
∴DG＝8﹣4＝4，
∴GT＝×4＝2．
故答案为：2．
15．（4分）当﹣7≤x≤a时，二次函数y＝﹣（x+3）2+5恰好有最大值3，则a＝﹣5．【分析】根据抛物线解析式得到顶点坐标（﹣3，5）；然后由抛物线的增减性进行解答．【解答】解：∵y＝﹣（x+3）2+5，
∴该抛物线的开口方向向下，且顶点坐标是（﹣3，5）．
∴当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，
∴当x＝a时，二次函数y＝﹣（x+3）2+5恰好有最大值3，
把y＝3代入函数解析式得到3＝﹣（x+3）2+5，
解得x1＝﹣5，x2＝﹣1．
∴a＝﹣5．
故答案是：﹣5．
16．（4分）如图，矩形OABC中，点A，点C分别在x轴，y轴上，D为边BC上的一动点，
现把△OCD沿OD对折，C点落在点P处．已知点B的坐标为（2，2）．
（1）在点D沿BC从点C运动至点B的过程中，设点P经过的路径长度为l，则l的值；
（2）在点D沿BC从点C运动至点B的过程中，若点P落在同一条直线y＝kx+4上的次数为2次，请直接写出k的取值范围．
【分析】（1）由OP的长度为定值，可知点P的运动轨迹为以2为半径的圆弧，结合点B 的坐标借助于特殊角的三角函数值得出∠COP＝120°，再套用弧长公式即可得出结论；（2）取点E（0，4），过点E作⊙O（弧CP段）的切线EP′，切点为P′，连接PP′，找出点P、P′的坐标，利用待定系数法求出k的值，再结合图形即可得出结论．
【解答】（1）如图1，
∵在运动过程中，OP＝OC始终成立，
∴OP＝2为定长，
∴点P在以点O为圆心，以2为半径的圆上，
∵点B的坐标为（2，2），
∴tan∠COB＝＝，
∴∠COB＝60°，∠COP＝120°，
∴l＝×2π×2＝π．
（2）在图1的基础上，取点E（0，4），过点E作⊙O（弧CP段）的切线EP′，切点为P′，连接PP′，如图2所示．
∵OE＝4，OP′＝2，
∴sin∠OEP′＝＝，
∴∠OEP′＝30°，
∴∠EOP′＝60°．
∵∠COP＝120°，
∴∠POP′＝60°．
∵OP＝OP′，
∴△OPP′为等边三角形，
∵OP＝2，
∴P（，﹣1），P′（，1）．
当点P在直线y＝kx+4上时，有﹣1＝k+4，
∴k＝﹣；
当点P′在直线y＝kx+4上时，有1＝k+4，
∴k＝﹣．
综上可知：若点P落在同一条直线y＝kx+4上的次数为2次，则k的取值范围为﹣≤k＜﹣．
三、解答题（本大题8小题，共66分）
17．（6分）计算：．
【分析】根据负整数指数幂和二次根式的化简得到原式＝3﹣2+2，然后合并即可．【解答】解：原式＝3﹣2+2
＝5﹣2．
18．（6分）先化简，再求值，其中x为整数且满足不等式组．【分析】先对分式进行混合运算，再根据不等式组的解和分式有意义的条件确定x的值，代入求值即可．
【解答】解：原式＝[﹣]•x（x﹣1）
＝•x（x﹣1）
＝﹣x﹣1；
解不等式组，
得﹣2＜x＜2，
由于x≠0、x≠1且x为整数，
∴x＝﹣1．
当x＝﹣1时，
原式＝1﹣1＝0．
19．（6分）如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE＝CF．
（1）请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线？说明你判断的理由．
（2）连接BF，CE，求证：四边形BECF是平行四边形．
【分析】（1）结论：AD是△ABC的中线．欲证明AD是△ABC的中线，只要证明△BDE ≌△CDF即可．
（2）连接BF、CE，由BD＝DC，DE＝DF即可证明．
【解答】解：（1）结论：AD是△ABC的中线．
理由如下：∵BE⊥AD，CF⊥AD
∴∠BED＝∠CFD＝90°，在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF，
∴BD＝CD
∴AD是△ABC的中线．
（2）连接BF、CE．
∵△BDE≌△CDF，
∴BD＝CD，ED＝FD，
∴四边形BECF是平行四边形．
20．（8分）为了解学生对篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳等5项体育活动的喜欢程度，某校随机抽查部分学生，对他们最喜欢的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，并将统计数据绘制成如下两幅不完整的统计图：
请解答下列问题：
（1）m＝20%，这次共抽取了50名学生进行调查；请补全条形统计图；
（2）若全校有800名学生，则该校约有多少名学生喜爱打篮球？
（3）学校准备从喜欢跳绳活动的4人（二男二女）中随机选取2人进行体能测试，求抽到一男一女学生的概率是多少？
【分析】（1）由扇形统计图的知识，可求得m的值，继而求得抽取了的学生数，则可补全条形统计图；
（2）利用样本估计总体的方法，即可求得答案；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到一男一女学生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）∵m%＝1﹣14%﹣8%﹣24%﹣34%＝20%，
∴m＝20，
∵喜欢跳绳的占8%，有4人，
∴4÷8%＝50（名），
∴共抽取了50名学生；
故答案为：20，50；
喜欢乒乓球的：50×20%＝10（名），
条形统计图如图所示；
（2）∵800×24%＝192，
∴该校约有192名学生喜爱打篮球；
（3）画树状图得：
∵可能的情况一共有12种，抽到“一男一女”学生的情况有8种，
∴抽到“一男一女”学生的概率是：＝．
21．（8分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，⊙B与AB、BC 交于E、F，点P是弧上的一个动点，连接PC，线段PC绕P点逆时针旋转90°到PD，连接CD，AD．
（1）求证：△BPC∽△ADC；
（2）当四边形ABCD满足AD∥CB且是面积为12时，求⊙B的半径．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可知：BC：AC＝PC：DC，∠PCD＝∠ACB，从而可证明∠BCP＝∠ACD，最后依据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似进行证明即可；
（2）如图1所示：先求得△ABC的面积，然后可得到△ADC的面积，依据三角形的面积公式可得到AD的长，然后依据相似三角形对应边长比例可求得PB的长；
【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠ACB＝45°，BC：AC＝1：．
∵PD＝PC，∠DPC＝90°，
∴∠PCD＝45°，PC：DC＝1：，
∴BC：AC＝PC：DC，∠PCD＝∠ACB，
∴∠PCD﹣∠PCA＝∠ACB﹣∠PCA，
即∠BCP＝∠ACD，
∴△BPC∽△ADC．
（2）如图1所示：
∵AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，
∴S△ABC＝AB•BC＝×4×4＝8，
∵四边形ABCD的面积为12，
∴S△ADC＝4．
∵AD∥BC，
∴S△ADC＝AD•AB＝4，即×4×AD＝4．
∴AD＝2．
∵△BPC∽△ADC，
∴＝＝，即＝．
解得BP＝．
∴⊙B的半径为．
22．（10分）某手机专卖店销售A，B两种型号的手机，如表是近两周的销售情况：销售时段销售数量销售利润
A型B型
第一周3台5台1800元
第二周4台10台3000元（1）求每台A型手机和B型手机的销售利润；
（2）该手机专卖店计划一次购进两种型号的手机共100台，其中A型号手机的进货量不超过B型号手机进货量的2倍．设购进A型号手机x台，这100台手机的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数表达式；
②该商店购进A型号和B型号手机各多少台，才能使销售总利润最大？
（3）实际进货时，厂家对A型号手机的出厂价提高a（0＜a＜100）元，对B型号手机
的出厂价下降a（0＜a＜100）元，且限定该手机专卖店至少购进A型号手机20台．若该手机专卖店保持两种手机的售价不变，请根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台手机销售总利润最大的进货方案．
【分析】（1）设每台A型手机利润为a元，每台B型手机的销售利润为b元；根据题意列出方程组求解，
（2）①据题意得，y＝300x+180（100﹣x）；②利用不等式求出x的范围，又因为y＝120x+18000是增函数，即可得出答案；
（3）据题意得，y＝（300﹣a）x+（180+a）（100﹣x），即y＝（120﹣2a）x+18000+100a，分三种情况讨论，①当0＜a＜60时，120﹣2a＞0，y随x的增大而增大，②a＝60时，120﹣2a＝0，y＝24000，③当60＜a＜100时，120﹣2a＜0，y随x的增大而减小，分别进行求解．
【解答】解：（1）设每台A型手机销售利润为a元，每台B型手机的销售利润为b元；根据题意得：
，
解得：
，
答：每台A型手机销售利润为300元，每台B型手机的销售利润为180元．
（2）①据题意得，y＝300x+180（100﹣x）＝120x+18000；
②据题意得，x≤2（100﹣x），解得x≤66，
∵y＝120x+18000，120＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵x为正整数，
∴当x＝66时，y取最大值，则100﹣66＝34，
即商店购进66台A型手机和34台B型手机的销售利润最大．
（3）据题意得，y＝（300﹣a）x+（180+a）（100﹣x），即y＝（120﹣2a）x+18000+100a，20≤x≤66，
①当0＜a＜60时，120﹣2a＞0，y随x的增大而增大
∴当x＝66时，y取最大值，
②a＝60时，120﹣2a＝0，y＝18000+100a＝24000，
即商店购进A型手机数量满足x≤66，的整数时，均获得最大利润；
③当60＜a＜100时，120﹣2a＜0，y随x的增大而减小，
∴当x＝20时，y取得最大值．
即商店购进20台A型手机和80台B型手机的销售利润最大．
23．（10分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y 轴交于点C（0，﹣3），对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点E为y轴上一动点．
①若CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限，当线
段PQ＝AB时，求∠CED的正切值；
②若点G是直线x＝1上一点，当△CEG与△AOC相似时，请直接写出点E的坐标．
【分析】（1）根据与y轴交于点C（0，﹣3），对称轴是直线x＝1列方程即可得到表达式；
（2）①构造Rt△DGE，分别求出DG、DE的长度即可得到结果；
②△AOC是直角三角形，△CEG与△AOC相似，分C、E、G为直角顶点，分别求出CE
的长度即可得E得坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣3），对称轴是直线x＝1，∴，解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）①过D作DG⊥y轴于G，如答图1：
在y＝x2﹣2x﹣3中令x＝0得y＝﹣3，令y＝0得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），且对称轴x＝1，
∴AB＝4，直线BC解析式为y＝x﹣3，
∵PQ＝AB，
∴PQ＝3，
∵PQ⊥y轴，由对称性可得PM＝，对称轴x＝1，
∴PF＝，即P横坐标为﹣，
∴P（﹣，﹣），F（0，﹣），
∴FC＝3﹣OF＝，
∵PQ垂直平分CE，
∴CE＝2FC＝，
∵D在BC上，
∴D（1，﹣2），
∴DG＝1，CG＝1，
∴GE＝CE﹣CG＝，
Rt△EGD中，tan∠CED＝＝．
②∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），∠AOC＝90°，
∴＝，
当△CEG与△AOC相似时，△CEG是直角三角形，且两直角边比为，分三种情况：C为直角顶点，如答图2：
∵CG＝1，
∴若E1C＝3CG时，则E1C＝3可得E1（0，0），同理E2（0，﹣6），
若CG＝E3C，则E3C＝，可得E3（0，﹣），同理E4（0，﹣），
E为直角顶点，如答图3：
E5G′＝E6G＝1，
若E5C＝3E5G′，则E5C＝3，E5（0，0），同理可得E7（0，﹣6），
若E6G＝3CE6，则CE6＝，E6（0，﹣），同理可得E8（0，﹣），
G为直角顶点，过C、E9作直线x＝1的垂线，垂足分别是M、N，如答图4：
∵∠E9GC＝90°，E9G＝3CG，
∴∠E9GN＝90°﹣∠CGM＝∠GCM，
∴△CGM∽△GE9N，
∴，且CM＝1＝E9N，
∴GN＝3，GM＝，
∴CE9＝MN＝，
∴E9（0，），[当G′为直角顶点同法可得E9仍为（0，）]，
同理可得E10（0，﹣），
综上所述，当△CEG与△AOC相似时，E的坐标为：（0，0）或E（0，﹣6）或E（0，﹣）或（0，﹣）或（0，）或（0，﹣）．
24．（12分）AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，F为弧BC上一点，且∠FBC＝∠ABC，连接DF，分别交BC、AB于E、G．
（1）如图1，求证：DF⊥BC；
（2）如图2，连接EH，过点E作EM⊥EH，EM交⊙O于点M，交AB于点N．
①求证：EN＝GN；
②连接OC，求证：△CHO≌△
HEN．
【分析】（1）由直角三角形的性质得出∠BEF＝90°，则可得出结论；
（2）①由垂径定理得出HE＝CD＝CH＝DH，由等腰三角形的性质得出∠D＝∠HED，证得∠DEN＝∠EGN，则可得出结论；
②连接OC，根据AAS可证得△COH≌△HNE．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠BHC＝90°，
∴∠C+∠ABC＝90°，
∵∠FBC＝∠ABC，∠F＝∠C，
∴∠F+∠FBC＝90°，
∴∠BEF＝90°，
∴DF⊥BC．
（2）①证明：由（1）得∠CED＝∠BEF＝90°，∴HE＝CD＝CH＝DH，
∴∠D＝∠HED，
∵EM⊥EH，
∴∠HED+∠DEN＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠D+∠DGH＝90°，
∴∠DEN＝∠DGH，
又∵∠DGH＝∠EGN，
∴∠DEN＝∠EGN，
∴EN＝GN；
②连接OC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
由①得∠DEN＝∠EGN，
∴∠BEN＝∠OBC，
∴∠OCB＝∠BEN，
∴∠COH＝∠HNE，
在△COH和△HNE中，
，
∴△COH≌△HNE（AAS）．。