创新设计(江苏专用)2017届高考数学二轮复习 上篇 专题整合突破 专题二 三角函数与平面向量

专题二 三角函数与平面向量 第2讲 三角恒等变换与解三角形练习
理
一、填空题
1.已知α∈R ，sin α＋2cos α＝
10
2
，则tan 2α＝________. 解析 ∵sin α＋2cos α＝
102
， ∴sin 2 α＋4sin α·cos α＋4cos 2
α＝52.用降幂公式化简得4sin 2α＝
－3cos 2α，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－3
4.
答案 －3
4
2.(2016·泰州调研)已知锐角△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，23cos 2
A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝________. 解析 化简23cos 2
A ＋cos 2A ＝0，
得23cos 2
A ＋2cos 2A －1＝0，又角A 为锐角， 解得cos A ＝15，由a 2＝b 2＋c 2
－2bc cos A ，得b ＝5.
答案 5
3.(2016·全国Ⅲ卷改编)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于1
3BC ，则cos A ＝________.
解析 设BC 边上的高AD 交BC 于点D ，由题意B ＝π4，BD ＝13BC ，DC ＝2
3BC ，tan ∠BAD ＝1，
tan ∠CAD ＝2，tan A ＝1＋21－1×2＝－3，所以cos A ＝－10
10.
答案 －
10
10
4.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2
＋6，C ＝π3，则△ABC
的面积是________.
解析 c 2
＝(a －b )2
＋6，即c 2
＝a 2
＋b 2
－2ab ＋6①. ∵C ＝π3
，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2
－ab ②，由①和②得
ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×
32＝332
.
答案
33
2
5.(2012·江苏卷)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________. 解析 ∵α为锐角且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，
∴α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4
＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4
＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1 ＝2×35×45－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤
2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1 ＝12225－7250＝17250.
答案
172
50
6.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－1
4
，则a 的值为________.
解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π，∴sin A ＝15
4
，
S △ABC ＝1
2bc sin A ＝12bc ×
15
4
＝315，∴bc ＝24， 又b －c ＝2，∴b 2
－2bc ＋c 2
＝4，b 2
＋c 2
＝52，由余弦定理得，
a 2＝
b 2＋
c 2－2bc cos A ＝52－2×24×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－14
＝64，∴a ＝8.
答案 8
7.(2010·江苏卷)在锐角三角形ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，b a ＋a b
＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan C tan B
＝________. 解析 b a ＋a b ＝6cos C ⇒6ab cos C ＝a 2＋b 2
，6ab ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2，a 2＋b 2＝3c 22
.
tan C tan A ＋tan C tan B ＝sin C cos C ·cos B sin A ＋sin B cos A
sin A sin B ＝sin C cos C ·sin （A ＋B ）sin A sin B ＝1cos C ·sin 2
C sin A sin B ， 由正弦定理得：上式＝1cos C ·c
2
ab ＝4.
答案 4
8.(2014·江苏卷)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________.
解析 ∵sin A ＋2sin B ＝2sin C . 由正弦定理可得a ＋2b ＝2c ，即c ＝
a ＋2b
2
，
cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
＝
a 2
＋b 2
－⎝ ⎛⎭
⎪
⎫a ＋2b 22
2ab
＝3a 2
＋2b 2
－22ab 8ab ≥26ab －22ab 8ab ＝6－24，
当且仅当3a 2
＝2b 2
即a
b
＝
23
时等号成立.
∴cos C 的最小值为6－2
4
. 答案
6－2
4
二、解答题
9.(2016·北京卷)在△ABC 中，a 2
＋c 2
＝b 2
＋2ac . (1)求角B 的大小；
(2)求2cos A ＋cos C 的最大值.
解 (1)由a 2
＋c 2
＝b 2
＋2ac 得a 2
＋c 2
－b 2
＝2ac .
由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝2
2
.
又0＜B ＜π，所以B ＝π
4
.
(2)A ＋C ＝π－B ＝π－π4＝3π
4
，所以
C ＝
3π4－A ，0＜A ＜3π
4
.
所以2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝
⎛⎭
⎪
⎫3π4－A
＝2cos A ＋cos 3π4cos A ＋sin 3π
4sin A
＝2cos A －22cos A ＋2
2
sin A ＝
22sin A ＋22cos A ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π4，
∵0＜A ＜3π4，∴π4＜A ＋π4＜π，故当A ＋π4＝π
2，
即A ＝π
4
时，2cos A ＋cos C 取得最大值为1.
10.在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c .已知cos 2A － 3cos(B ＋C )＝1. (1)求角A 的大小；
(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值.
解 (1)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1，得2cos 2
A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1) (cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)，因为0＜A ＜π，所以A ＝π
3.
(2)由S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝3
4
bc ＝53，
得bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4，由余弦定理得a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝21.
又由正弦定理得sin B sin C ＝b
a sin A ·c a
sin A ＝
bc a 2sin 2A ＝2021×34＝57
. 11.(2013·江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从
A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到
B ，然后从B 沿直线步行到
C .现有甲、
乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从
A 乘缆车到
B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到
C .假设缆车匀速直线运行的速
度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.
(1)求索道AB 的长；
(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
解 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝4
5.从而sin B
＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝
513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理AB sin C ＝AC
sin B ，得 AB ＝
AC
sin B ·sin C ＝1 2606365
×4
5
＝1 040(m). 所以索道AB 的长为1 040 m.
(2)设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ， 所以由余弦定理得
d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213
＝200(37t 2
－70t ＋50)，因0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，
故当t ＝35
37(min)时，甲、乙两游客距离最短.
(3)由正弦定理BC sin A ＝AC
sin B
，
得BC ＝AC sin B ·sin A ＝1 2606365
×5
13
＝500(m).
乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C . 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤625
14，所以为
使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 25043，62514(单
位：m/min)范围内.。