2020版高考数学浙江专用新精准大一轮精讲通用版刷好题练能力：第二章 第1讲 函数及其表示

2019年4月
[基础达标]
1．函数f (x )＝1
x －2
＋ln(3x －x 2)的定义域是( ) A ．(2，＋∞) B ．(3，＋∞)
C ．(2，3)
D ．(2，3)∪(3，＋∞)
详细分析：选C.由⎩
⎪⎨⎪⎧x －2＞0，
3x －x 2
＞0，解得2＜x ＜3，则该函数的定义域为(2，3)，故选C. 2．(2019·嘉兴一模)已知a 为实数，设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x －2a
，x <2，
log 2（x －2），x ≥2，则f (2a ＋2)的值
为( )
A ．2a
B ．a
C ．2
D ．a 或2
详细分析：选B.因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a
，x <2，
log 2（x －2），x ≥2，
所以f (2a ＋2)＝log 2(2a ＋2－2)＝a ，故选B. 3．下列哪个函数与y ＝x 相等( )
A ．y ＝x 2
x
B ．y ＝2log 2x
C ．y ＝x 2
D ．y ＝(3
x )3
详细分析：选D.y ＝x 的定义域为R ，而y ＝x 2
x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，y ＝2log 2x
的定义域为{x |x ∈R ，且x >0}，排除A 、B ；y ＝x 2＝|x |的定义域为x ∈R ，对应关系与y ＝x 的对应关系不同，排除C ；而y ＝(3
x )3＝x ，定义域和对应关系与y ＝x 均相同，故选D.
4．(2019·杭州七校联考)已知函数f (x )＝x 3＋cos ⎝⎛⎭⎫
π2－x ＋1，若f (a )＝2，则f (－a )的值为( )
A ．3
B ．0
C ．－1
D ．－2
详细分析：选B.因为函数f (x )＝x 3＋cos ⎝⎛⎭⎫
π2－x ＋1，
所以f (x )＝x 3＋sin x ＋1，
因为f (a )＝2，所以f (a )＝a 3＋sin a ＋1＝2，
所以a 3＋sin a ＝1，所以f (－a )＝(－a )3＋sin(－a )＋1＝－1＋1＝0.故选B.
5．已知a ，b 为两个不相等的实数，集合M ＝{a 2－4a ，－1}，N ＝{b 2－4b ＋1，－2}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
详细分析：选D.由已知可得M ＝N ，
故⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＝－2b 2－4b ＋1＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2
－4a ＋2＝0，b 2－4b ＋2＝0，
所以a ，b 是方程x 2－4x ＋2＝0的两根，故a ＋b ＝4.
6．存在函数f (x )满足：对于任意x ∈R 都有( ) A ．f (sin 2x )＝sin x B ．f (sin 2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1|
D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|
详细分析：选D.取特殊值法．
取x ＝0，π
2，可得f (0)＝0，1，这与函数的定义矛盾，
所以选项A 错误；
取x ＝0，π，可得f (0)＝0，π2＋π，这与函数的定义矛盾， 所以选项B 错误；
取x ＝1，－1，可得f (2)＝2，0，这与函数的定义矛盾， 所以选项C 错误； 取f (x )＝
x ＋1，则对任意x ∈R 都有f (x 2＋2x )＝x 2＋2x ＋1＝|x ＋1|，故选项D 正确． 7．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝
1－x 21＋x 2
，则f (x )的解+析式为( ) A ．f (x )＝x 1＋x 2 B ．f (x )＝－2x
1＋x 2
C ．f (x )＝2x 1＋x 2
D ．f (x )＝－x
1＋x 2
详细分析：选C.令1－x 1＋x ＝t ，则x ＝1－t 1＋t ，所以f (t )＝（1＋t ）2－（1－t ）2（1＋t ）2＋（1－t ）2＝2t 1＋t 2
，故函
数f (x )的解+析式为f (x )＝2x
1＋x
2，故选C. 8．设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧－1，x ＞0，
1，x ＜0，
则
（a ＋b ）＋（a －b ）·f （a －b ）
2
(a ≠b )的值为( )
A ．a
B ．b
C ．a ，b 中较小的数
D ．a ，b 中较大的数
详细分析：选C.若a －b ＞0，即a ＞b ，则f (a －b )＝－1，
则（a ＋b ）＋（a －b ）·f （a －b ）2＝12[(a ＋b )－(a －b )]＝b (a ＞b )；
若a －b ＜0，即a ＜b ，则f (a －b )＝1，
则（a ＋b ）＋（a －b ）·f （a －b ）2＝1
2
[(a ＋b )＋(a －b )]＝a (a ＜b )．综上，选C.
9．(2019·绍兴高三教学质量调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋n ，x ＜1log 2x ，x ≥1，若f (f (3
4))＝2，则实数n
为( )
A ．－5
4
B ．－13
C ．14
D ．52
详细分析：选D.因为f (34)＝2×34＋n ＝32＋n ，当32＋n ＜1，即n ＜－12时，f (f (34))＝2(3
2
＋n )
＋n ＝2，解得n ＝－13，不符合题意；当32＋n ≥1，即n ≥－12时，f (f (34))＝log 2(32＋n )＝2，即
3
2
＋n ＝4，解得n ＝5
2
，故选D.
10．设f (x )，g (x )都是定义在实数集上的函数，定义函数(f ·g )(x )：对任意的x ∈R ，(f ·g )(x )
＝f (g (x ))．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ＞0，x 2，x ≤0，g (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧e x
，x ≤0，ln x ，x ＞0，则( ) A ．(f ·f )(x )＝f (x ) B ．(f ·g )(x )＝f (x ) C ．(g ·f )(x )＝g (x ) D ．(g ·g )(x )＝g (x )
详细分析：选A.对于A ，(f ·f )(x )＝f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）＞0，f 2（x ），f （x ）≤0，
当x ＞0时，f (x )＝x ＞0，
(f ·f )(x )＝f (x )＝x ；当x ＜0时，f (x )＝x 2＞0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x 2；当x ＝0时，(f ·f )(x )＝f 2(x )＝0＝02，因此对任意的x ∈R ，有(f ·f )(x )＝f (x )，故A 正确，选A.
11. 若函数f (x )在闭区间[－1，2]上的图象如图所示，则此函数的解+析式为________．
详细分析：由题图可知，当－1≤x <0时，f (x )＝x ＋1；当0≤x ≤2时，f (x )＝－1
2
x ，所以
f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－12x ，0≤x ≤2.
答案：f(x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋1，－1≤x <0，－12
x ，0≤x ≤2
12．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝________．
详细分析：令x ＝1，得2f (1)－f (－1)＝4， ① 令x ＝－1，得2f (－1)－f (1)＝－2，
②
联立①②得f (1)＝2. 答案：2
13．函数f (x )，g (x )分别由下表给出．
则f (g (1))的值为________；满足f (g (x ))＞g (f (x ))的x 的值为________． 详细分析：因为g (1)＝3，f (3)＝1，所以f (g (1))＝1. 当x ＝1时，f (g (1))＝f (3)＝1，g (f (1))＝g (1)＝3，不合题意． 当x ＝2时，f (g (2))＝f (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝1，符合题意．
当x ＝3时，f (g (3))＝f (1)＝1，g (f (3))＝g (1)＝3，不合题意． 答案：1 2
14．设函数f (x )＝⎩⎨⎧（x ＋1）2
，x ＜1，
4－x －1，x ≥1，
则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围是________．
详细分析：f (x )≥1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，
（x ＋1）2
≥1或⎩
⎨⎧x ≥1，4－x －1≥1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，（x ＋1）2
≥1，得x ≤－2或0≤x ＜1.
由⎩⎨⎧x ≥1，4－x －1≥1，
得1≤x ≤10. 综上所述，x 的取值范围是x ≤－2或0≤x ≤10. 答案：(－∞，－2]∪[0，10]
15．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，
－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．
详细分析：当a >0时，1－a <1，1＋a >1，此时f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ，f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a .
由f (1－a )＝f (1＋a )得2－a ＝－1－3a ，解得a ＝－3
2.
不合题意，舍去．
当a <0时，1－a >1，1＋a <1， 此时f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ， f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a ，
由f (1－a )＝f (1＋a )得－1－a ＝2＋3a ，解得a ＝－3
4
.
综上可知，a 的值为－3
4
.
答案：－3
4
16．(2019·杭州市富阳二中高三(上)开学考试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧x 2
，x ≤1x ＋6x －6，x >1，则f (f (－
2))＝________，f (x )的最小值是________．
详细分析：由题意可得f (－2)＝(－2)2＝4，
所以f (f (－2))＝f (4)＝4＋64－6＝－1
2；
因为当x ≤1时，f (x )＝x 2，
由二次函数可知当x ＝0时，函数取最小值0； 当x >1时，f (x )＝x ＋6
x
－6，
由基本不等式可得f (x )＝x ＋6x －6≥2x ·6
x
－6
＝26－6，
当且仅当x ＝6
x
即x ＝6时取到等号，即此时函数取最小值26－6；
因为26－6<0，所以f (x )的最小值为26－6.
答案：－1
2
26－6
17．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，
－3x ，x <0.若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围为
________．
详细分析：易知a ≠0.由题意得，当a >0时，则－a <0，故a [f (a )－f (－a )]＝a (a 2＋a －3a )>0，化简可得a 2－2a >0，解得a >2或a <0.又因为a >0，所以a >2.当a <0时，则－a >0，故a [f (a )－f (－a )]＝a [－3a －(a 2－a )]>0，化简可得a 2＋2a >0，解得a >0或a <－2，又因为a <0，所以a <－2.综上可得，实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)． 答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)
[能力提升] 1．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪
⎧1，x >0，
0，x ＝0，－1，x <0，
则( )
A ．|x |＝x |sgn x |
B ．|x |＝x sgn|x |
C ．|x |＝|x |sgn x
D ．|x |＝x sgn x
详细分析：选D.当x <0时，|x |＝－x ，x |sgn x |＝x ，x ·sgn|x |＝x ，|x |sgn x ＝(－x )·(－1)＝x ，排除A ，B ，C ，故选D.
2．(2019·宁波市九校期末联考)已知下列各式：①f (|x |＋1)＝x 2＋1；②f (1x 2＋1
)＝x ；③f (x 2
－2x )＝|x |；④f (|x |)＝3x ＋3－
x .其中存在函数f (x )对任意的x ∈R 都成立的序号为________．
详细分析：①f (|x |＋1)＝x 2＋1，由t ＝|x |＋1(t ≥1)，可得|x |＝t －1，则f (t )＝(t －1)2＋1，即有f (x )＝(x －1)2＋1对x ∈R 均成立；②f (1x 2＋1)＝x ，令t ＝1
x 2＋1
(0＜t ≤1)，x ＝±
1
t
－1，对0＜t ≤1，y ＝f (t )不能构成函数，故不成立；③f (x 2－2x )＝|x |，令t ＝x 2－2x ，若t ＜－1时，x ∈∅；t ≥－1，可得x ＝1±1＋t (t ≥－1)，y ＝f (t )不能构成函数；④f (|x |)＝3x ＋3－x ，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋3－x ；当x ＜0时，f (－x )＝3x ＋3－x ；将x 换为－x 可得f (x )＝3x ＋3－x ；故恒成立．综上可得①④符合条件．
答案：①④
3．设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <0，
2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．
(1)求f (x )的解+析式； (2)画出f (x )的图象．
解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，
－a ＋b ＝2，
解得a ＝－1，b ＝1，
所以f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋1，x <0，
2x ，x ≥0.
(2)f (x )的图象如图：
4．已知f (x )＝x 2
－1，g (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，2－x ，x <0.
(1)求f (g (2))与g (f (2))；
(2)求f (g (x ))与g (f (x ))的表达式．
解：(1)g (2)＝1，f (g (2))＝f (1)＝0；f (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝2. (2)当x >0时，f (g (x ))＝f (x －1)＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x <0时，f (g (x ))＝f (2－x )＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3.
所以f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x >0，
x 2－4x ＋3，x <0.
同理可得g (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x <－1或x >1，
3－x 2
，－1<x <1.
5．设计一个水渠，其横截面为等腰梯形(如图)，要求满足条件AB ＋BC ＋CD ＝a (常数)，
∠ABC ＝120°，写出横截面的面积 y 关于腰长x 的函数，并求它的定义域和值域．
解：如图，
因为AB ＋BC ＋CD ＝a ，所以BC ＝EF ＝a －2x >0，
即0<x <a
2
，因为∠ABC ＝120°，所以∠A ＝60°，
所以AE ＝DF ＝x 2，BE ＝3
2
x ，
y ＝12(BC ＋AD )·BE ＝3x 4⎣
⎡
⎦⎤2（a －2x ）＋x 2＋x 2 ＝34(2a －3x )x ＝－3
4(3x 2－2ax ) ＝－
334⎝⎛⎭⎫x －a 32＋3
12
a 2， 故当x ＝a 3时，y 有最大值312a 2，它的定义域为⎝⎛⎭⎫0，a 2，值域为⎝⎛⎦
⎤0，312a 2. 6．已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝－2f (x ＋1)，且f (x )在区间[0，1]上有表达式f (x )＝x 2.
(1)求f (－1)，f (1.5)；
(2)写出f (x )在区间[－2，2]上的表达式．
解：(1)由题意知f (－1)＝－2f (－1＋1)＝－2f (0)＝0，
f (1.5)＝f (1＋0.5)＝－12f (0.5)＝－12×14＝－1
8.
(2)当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 2；
当x ∈(1，2]时，x －1∈(0，1]，f (x )＝－12f (x －1)＝－1
2(x －1)2；
当x ∈[－1，0)时，x ＋1∈[0，1)， f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2(x ＋1)2； 当x ∈[－2，－1)时，x ＋1∈[－1，0)，
f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2]＝4(x ＋2)2.
所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1
2
（x －1）2，x ∈（1，2]x 2
，x ∈[0，1]
－2（x ＋1）2，x ∈[－1，0）4（x ＋2）2
，x ∈[－2，－1）
.。