(新课标)天津市2019年高考数学二轮复习 专题能力训练11 等差数列与等比数列 理

专题能力训练11 等差数列与等比数列
一、能力突破训练
1。

在等差数列{a n｝中,a4+a10+a16=30，则a18-2a14的值为（）
A。

20 B.—20 C.10 D。

-10
2.在各项均为正数的等比数列｛a n}中,若log2（a2·a3·a5·a7·a8)=5,则a1·a9=（）A。

4 B.5 C.2 D.25
3.设｛a n｝是等比数列，S n是{a n}的前n项和.对任意正整数n,有a n+2a n+1+a n+2=0,又a1=2，则S
的值为（）
101
A。

2 B。

200 C。

-2 D.0
4.已知{a n}是等差数列，公差d不为零,前n项和是S n,若a3，a4,a8成等比数列,则（)
A.a1d>0，dS4>0
B.a1d〈0，dS4〈0
C。

a1d〉0，dS4〈0 D。

a1d〈0,dS4〉0
5.已知数列｛a n｝满足，且a2=2，则a4等于(）
A。

-B。

23 C。

12 D.11
6.已知各项均为正数的等差数列{a n}的前n项和为S n，S10=40，则a3·a8的最大值
为。

7.设等比数列｛a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5,则a1a2…a n的最大值为.
8。

设x,y，z是实数,若9x,12y，15z成等比数列,且成等差数列,则
= 。

9。

已知S n为数列{a n}的前n项和，且a2+S2=31,a n+1=3a n-2n(n∈N＊).
（1）求证:{a n—2n｝为等比数列；
(2）求数列{a n}的前n项和S n.
10。

(2018全国Ⅱ，理17）记S n为等差数列{a n｝的前n项和,已知a1=—7，S3=-15。

(1）求｛a n}的通项公式;
（2)求S n,并求S n的最小值.
11。

已知数列｛a n}是等比数列.设a2=2，a5=16。

（1)若a1+a2+…+a2n=t（+…+），n∈N＊,求实数t的值;
(2)若在之间插入k个数b1，b2,…，b k，使得，b1,b2,…，b k,成等差数列，求k 的值。

二、思维提升训练
12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码"的活动。

这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1，1,2，1，2,4，1，2,4,8,1，2，4，8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21,22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂。

那么该款软件的激活码是(）
A.440
B.330 C。

220 D。

110
13.若数列{a n}为等比数列，且a1=1，q=2，则T n=+…+等于()
A。

1- B.
C.1—
D.
14.已知等比数列{a n}的首项为，公比为-，其前n项和为S n,若A≤S n-≤B对n∈N＊恒成立，则B-A的最小值为.
15。

无穷数列｛a n｝由k个不同的数组成，S n为｛a n｝的前n项和,若对任意n∈N*，S n∈｛2,3}，则k的最大值为.
16。

等比数列{a n}的各项均为正数,且2a1+3a2=1，=9a2a6。

（1)求数列｛a n}的通项公式；
(2）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n,求数列的前n项和.
17.若数列｛a n}是公差为正数的等差数列，且对任意n∈N＊有a n·S n=2n3—n2。

(1）求数列{a n}的通项公式。

（2）是否存在数列｛b n｝,使得数列｛a n b n}的前n项和为A n=5+(2n-3)2n-1（n∈N＊）?若存在，求出数列{b n}的通项公式及其前n项和T n；若不存在,请说明理由。

专题能力训练11 等差数列与等比数列
一、能力突破训练
1。

D 解析 因为a 4+a 10+a 16=30，所以3a 10=30,即a 10=10，所以a 18-2a 14=-a 10=—10。

故选D 。

2。

A 解析 由题意得log 2(a 2·a 3·a 5·a 7·a 8)=log 2=5log 2a 5=5,所以a 5=2。

所以
a 1·a 9==4。

故选A .
3。

A 解析 设公比为q ,∵a n +2a n+1+a n+2=0，
∴a 1+2a 2+a 3=0,∴a 1+2a 1q+a 1q 2=0, ∴q 2+2q+1=0,∴q=—1.
又a 1=2,∴S 101==2.
4.B 解析 设{a n ｝的首项为a 1,公差为d ，则a 3=a 1+2d ,a 4=a 1+3d ，a 8=a 1+7d.
∵a 3,a 4，a 8成等比数列，∴(a 1+3d ）2=（a 1+2d ）(a 1+7d ）,即3a 1d+5d 2=0. ∵d ≠0,
∴a 1d=—d 2〈0，且a 1=— d.
∵dS 4==2d (2a 1+3d ）=-d 2〈0,故选B 。

5.D 解析 由已知得=2,则{a n +1｝是公比为2的等比数列,所以a 4+1=
（a 2+1)·22
=12。

所以a 4=11。

故选D 。

6.16 解析 因为S 10==40⇒a 1+a 10=a 3+a 8=8，a 3>0,a 8〉0,所以
a 3·a 8
=16,当且仅当a 3=a 8=4时取等号.
7。

64 解析 由已知a 1+a 3=10,a 2+a 4=a 1q+a 3q=5，
两式相除得
,
解得q=,a1=8，
所以a1a2…a n=8n，抛物线f（n）=—n2+n的对称轴为n=—
=3。

5,
又n∈N＊,所以当n=3或4时，a1a2…a n取最大值为=26=64。

8解析由题意知
解得xz=y2=y2,x+z=y,
从而—2=—2=
9。

（1)证明由a n+1=3a n—2n可得
—2n+1=3a n—2n-2n+1=3a n-3·2n=3（a n—2n).
a n+
1
又a2=3a1—2,则S2=a1+a2=4a1-2,
得a2+S2=7a1—4=31,得a1=5，则a1-21=3≠0.
故{a n—2n}为等比数列.
(2）解由(1)可知a n-2n=3n-1(a1-2）=3n,∴a n=2n+3n,
∴S n==2n+1+
10.解（1）设｛a n｝的公差为d,由题意得3a1+3d=—15.
由a1=—7得d=2.
所以{a n｝的通项公式为a n=2n—9。

（2)由(1)得S n=n2-8n=(n-4）2—16。

所以当n=4时,S n取得最小值，最小值为—16。

11.解设等比数列{a n}的公比为q,由a2=2，a5=16,得q=2,a1=1.
（1）∵a1+a2+…+a2n=t(+…+),
=t,即=t对n∈N*都成立,∴t=3.
（2)=1,,
且，b1,b2,…，b k,成等差数列，
∴公差d==-，且=(k+1）d,
即—1=（k+1）,解得k=13。

二、思维提升训练
12。

A解析设数列的首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第3组,以此类推,设第n组的项数为n,则前n组的项数和为第n组的和为=2n—1,前n组总共的和为—n=2n+1—2-n。

由题意,N>100，令〉100，得n≥14且n∈N＊,即N出现在第13组之后。

若要使
最小整数N满足：N〉100且前N项和为2的整数幂，则S N-应与-2-n互为相反数，即
2k—1=2+n(k∈N＊,n≥14),所以k=log2（n+3),解得n=29，k=5。

所以N=+5=440，故选A。

13。

B解析因为a n=1×2n—1=2n—1，所以a n a n+1=2n-1·2n=22n-1=2×4n-1，所以
所以是等比数列。

故T n=+…+
14解析易得S n=1-，
因为y=S n-上单调递增(y≠0）,
所以y［A,B］，因此B—A的最小值为
15.4解析要满足数列中的条件,涉及最多的项的数列可以为2,1,—1，0，0，0,…，所以最多由4个不同的数组成.
16.解（1）设数列{a n｝的公比为q。

由=9a2a6得=9,所以q2=
由条件可知q>0，故q=
由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1,所以a1=
故数列｛a n｝的通项公式为a n=
（2)b n=log3a1+log3a2+…+log3a n
=—(1+2+…+n)=—
故=—=—2，
+…+
=-2+…+=-
所以数列的前n项和为-
17。

解（1）设等差数列｛a n｝的公差为d，则d>0，
a n=dn+（a
1
-d)，S n=dn2+n.
对任意n∈N＊，恒有
a n·S n=2n3-n2，则[dn+(a
1
—d)］=2n3-n2,即[dn+(a1—d)］=2n2-n.
∵d〉0，a n=2n-1.
（2)∵数列{a n b n}的前n项和为A n=5+(2n-3）·2n—1（n∈N＊），
∴当n=1时,a
1b
1
=A
1
=4，∴b
1
=4,
当n≥2时,a n b n=A n-A n-1=5+(2n—3)2n-1—［5+(2n-5)2n—2］=（2n-1)2n-2。

∴b n=2n—2.假设存在数列{b n｝满足题设，且数列｛b n｝的通项公式b n=
∴T
1
=4,当n≥2时，T n=4+=2n-1+3，当n=1时也适合，
∴数列｛b n｝的前n项和为T n=2n—1+3.
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