河北省唐山市2018-2019学年高三上学期期末考试A卷数学(理)试题(图片版)

唐山市 2018— 2019 学年度高三年级期末考试
理科数学参照答案
一． ：
A 卷： CABBA DADCC BD
B 卷： CACBA
DADBC
BD
二．填空 ：
（ 13）2
（14） (－ 1， e －1)
（15）
31
（ 16） 3－ 1
16
三．解答 ：
（ 17）解：
（ 1）由 AB ∥CD ，∠ A ＝ 60 可得，∠ D ＝ 120 ，
又△ MCD 等腰三角形，所以∠ DMC ＝∠ DCM ＝ 30 ， ⋯ 2 分
进而 MC ＝ 3MD ＝
3，∠ AMB ＝ 90 ，
所以 MB ＝ 2 3． ⋯ 3 分
在△ MBC 中，由余弦定理得，
BC 2＝ BM 2＋ MC 2－ 2BM · MC · cos ∠ BMC ＝ 9， 即 BC ＝ 3．
⋯ 6 分
（ 2）因 ∠ DCM ＝ θ，所以∠ ABM ＝60 － θ， 0 ＜ θ＜ 60 ． ⋯ 7 分
在△ MCD 中，由正弦定理得，
MC ＝ 3 ；
⋯8 分
2sin θ
3
在△ MAB 中，由正弦定理得， MB ＝
sin (60 － θ)
，
⋯9 分 由 MB ＝4MC ，得
3 ＝
4 3 ，
⋯10 分
sin (60 － θ) 2sin θ
3
解得 tan θ＝ 2 ．
⋯ 12 分
（ 18）解：
（ 1）∵ C 1O ⊥底面 ABC ， AC 平面 ABC ， ∴ C 1 O ⊥ AC ，又 AC ⊥ BC ， BC ∩ C 1O ＝ O ， ∴ AC ⊥平面 BCC 1B 1，
⋯ 2 分
而 BB 1 平面 BCC 1B 1，∴ AC ⊥ BB 1，又 AC ∥ A 1 C 1， 有 A 1C 1⊥ BB 1 ，又
C 1M ⊥BB 1， A 1C 1∩ C 1M ＝ C 1，
∴ BB 1⊥平面 A 1C 1M ，而 A 1M 平面 A 1C 1 M ，
∴ BB 1⊥ A 1M ，
z C 1 A 1
C
O
B
A
x
⋯3 分
⋯ 5 分
B 1
M
y
（ 2） 接 C 1B ，如 所示，成立空 直角坐 系，
因 MB ＝ MB 1，且 C 1M ⊥ BB 1 ，所以 C 1B 1＝ C 1B ，又 C 1O ⊥底面 ABC ，有 C 1O ⊥ BC ，所以 C 1C ＝ C 1B ， AC ＝ 2， C(0，0， 0)， A(2，0， 0)， B(0 ， 2， 0)， C 1(0， 1，
3) ，
由（ 1）可知平面
→
3)，
⋯ 7 分
A 1MC 1 的法向量 CC 1＝ (0， 1，
→ → →
＝(2 ，1， 3)， CA 1 ＝ CA ＋ CC 1
→ → → → 1 →
5
3
CM ＝ CB ＋ BM ＝ CB ＋ 2 CC 1＝ (
0， 2 ， 2 )
， ⋯ 8 分
平面 CA 1M 的法向量 n ＝ (x ， y ， z)，
→ 2x ＋ y ＋ 3z ＝ → 5 y ＋ 3
CA 1 · n ＝ 0， CM · n ＝ 2 2 z ＝ 0，
可取 n ＝ (2 3， 3，－ 5)，
⋯ 10 分
→
→
－ 4 3
30
＝
CC 1·n
⋯11 分
cos CC 1， n → ＝ ＝－ ，
2 40 10
| CC 1|| n |
而二面角 C A 1M C 1 二面角，
所以二面角 C A 1M
C 1 的余弦
30． ⋯12 分
（19）解：
10
（ 1） r ＝
129.6
≈ 0.981，
⋯ 3 分
132.1
R 2＝ r 2≈ 0.962．
因 R 2 越大， 合成效越好，所以丙的 合成效最好．
⋯ 4 分
? 129.6
（ 2） b ＝
82.5 ≈1.571，
⋯6 分
?
⋯ 8 分
a?＝ 20.6－ b × 5.5≈11.96．
?
所以 y 对于 x 的 性回 方程
⋯9 分
y ＝ 1.57x ＋ 11.96．
（ 3）从 2008 年开始 数，
2018 年是第
11 年，其工 增添 y 的
?
× 11＋ 11.96＝29.23＜30．
⋯10 分
y ＝ 1.57
2019 年是第 12 年，其工 增添 y 的
? × 12＋ 11.96＝ 30.80＞ 30．
⋯11 分
y ＝ 1.57
故能够 到
2019 年的工 增添 能打破 30 万 元大关．
⋯ 12 分
（20）解：
3 c 3 b 1 （ 1）由 e ＝ 2 可得 a ＝ 2 ，所以 a ＝ 2 ，
2
即 a 2＝ 4b 2 ，进而 C ： x ＋ y 2＝ b 2
．
⋯2 分
4
当 l ⊥ x ， l ： x ＝ 1，由 | AB| ＝
3，不如取 A (
1， 2
3
)， B (1，－
23
)，
代入 C ： x 2 2 2 2
4 ＋y ＝b ，得 b ＝ 1，
x 2
2
故 C ： 4 ＋ y ＝ 1．
⋯ 4 分 （ 2）假 存在 N(0， n) 足 ．
当 l 的斜率存在 ， y ＝ k(x － 1)－ 1，A(x 1， y 1)，B(x 2， y 2 )，
将 y ＝ k(x － 1)－1 代入 C 的方程，得 (1＋ 4k 2)x 2－ 8k(k ＋ 1)x ＋ 4k 2＋ 8k ＝0，
当 ＞ 0 ， x 1＋ x 2＝ 8k(k ＋1) ， x 1·x 2＝
4k 2＋ 8k
⋯6 分 2 2 ． 1＋4k 1＋ 4k
k NA ＋ k NB ＝ y 1 －n y 2－ n
＋ ，
x 1 x 2
因 y 1＝ kx 1－ k －1， y 2＝ kx 2－ k － 1，
所以 k NA ＋ k NB ＝ 2k － (k ＋ 1＋ n)( x 1＋ x 2)
⋯8 分 x 1· x 2
＝
2k － 2(k ＋ 1＋ n)(k ＋ 1) k
＋ 2
＝
2k － 2(k ＋ 2＋ n －1)(k ＋1) k
＋ 2
＝－ 2－ 2(n － 1)(k ＋ 1)．
⋯10 分
k ＋ 2
所以当 n ＝ 1 ， k NA ＋ k NB ＝－ 2．
⋯11 分
由（ 1）得，当 l 的斜率不存在 ， A
1，
3
3
(
2 )
， B (
1，－
2
)
，
所以 k
NA ＋ k ＝ 3
－ 1－ 3
－1＝－ 2．
NB 2 2
上，存在定点
N(0， 1)，使得 k NA ＋k NB ＝－ 2． ⋯12 分 （21）解：
（ 1） f (x)＝ x － 4a ＋ a
＝
x 2－ 4ax ＋ a
， a ＞ 0．
⋯2 分
1
x
x
， f (x)≥ 0，f (x)在 (0，＋∞ )上 增；
⋯ 3 分
(ⅰ )当 0＜ a ≤ 4
(ⅱ )当 a ＞ 1
， f (x)＝ 0 的根 x 1＝ 2a － 4a 2－ a ， x 2＝ 2a ＋
4a 2 －a ，
4 4a 2－ a)， (2a ＋
4a 2
－ a ，＋∞ )上 增；
所以 f (x)在 (0， 2a － 在 (2a － 4a 2－ a ， 2a ＋ 4a 2
－ a)上 减．
⋯5 分
1 2
2
（ 2）由（ 1）得 a ＞ 4 ， x 1＝ 2a － 4a － a ， x 2＝ 2a ＋ 4a － a ，
所以 x 1＋ x 2＝ 4a ， x 1x 2＝ a ，
⋯ 6 分
1 2 2 2
进而 f (x 1)＋ f (x 2)＝ 2 (x 1＋ x 2)－ 4a(x 1＋ x 2) ＋aln x 1 x 2＋ 6a ＋4a
＝ 1
(x 1＋ x 2)2－ x 1x 2 －10a 2＋ 4a ＋ aln a 2
＝ aln a － 2a 2＋ 3a ．
⋯8 分
令 g (a)＝ aln a － 2a 2＋3a ， g (a) ＝ln a －4a ＋ 4， 令 h (a)＝ ln a － 4a ＋ 4， h
(a)＝ 1
－ 4，
⋯10 分
a (
)
4
4
h (1) ＝ 0，
因 a ＞ 1
，所以 h (a)＜ 0，所以 h (a)在
1
，＋∞ 上 减，又
进而 a ∈ ( 4 )
(a)＞ 0， g (a) 增；
1 ， 1 ， h (a)＞ 0， g a ∈ ( 1，＋∞ ) ， h (a)＜ 0， g (a)＜ 0，g (a) 减， 所以 a ＝ 1 ， g (a)获得最大 1．
故 f (x 1 )＋ f (x 2)的最大 1．
⋯12 分
（22）解：
（ 1）由 l ：ρsin θ＋
π
1 ρsin θ＋ 3
θ＝4；
( 3 )＝ 4 得， 2 2 ρcos
所以直 l 的直角坐 方程 ： 3x ＋ y － 8＝ 0；
⋯2 分
2
2
2
2
由 C ： ρ＝ 4sin θ得， ρ＝ 4ρsin θ，因 x ＝ ρcos α， y ＝ ρsin α， ρ＝ x ＋ y ，
所以 C 直角坐 方程 ：
x 2＋ (y － 2)2＝ 4
⋯3 分
由 x 2＋ (y － 2)2＝ 4 得， C 的参数方程
x ＝ 2cos α，
（ α 参数，且 0≤ α＜ 2π）， ⋯ 5 分
y ＝2＋ 2sin α
（ 2） 点 P 坐 (2cos α， 2＋ 2sin α)， d ＝＝
|2
3cos α＋ 2sin α－ 6|＝3－ sin α－
3cos α， d ＝ 2＋ 2sin α．
⋯ 7 分
1
2
2
3cos α＋ 5＝ 2sin (
α－
那么 d 1＋d 2＝sin α－ 3
π
)＋ 5，
5π
当 α＝ 6 ， d 1＋ d 2
获得最大 7．
⋯ 10 分
（ 23）解：
（ 1）不等式 | x ＋ 1| ＋ | x －1| － 1≤ x ＋ 1 等价于
x ＞ 1， － 1≤ x ≤ 1， x ＜－ 1，
2x － 1≤ x ＋ 1，或 1≤ x ＋ 1， 或
－ 2x － 1≤ x ＋ 1． 解得， 1＜x ≤ 2，或 0≤ x ≤ 1，或 x ∈ ．
所以，不等式 f ( x)≤ x ＋1 的解集是 { x| 0≤x ≤ 2} ．
⋯ 5 分
－ 2x － 1，x ≤－ 1，
（ 2）由（ 1）得， f (x)＝ 1，
－1＜ x ＜ 1， 2x －1，
x ≥1．
－6x － 3， x ≤－ 1， 所以 y ＝3f (x)＝
3， － 1＜x ＜ 1，
6x － 3，
x ≥ 1． － 4x －1， x ≤－ 1
，
2
1 1
y ＝ f (2x) ＝ 1，
－ 2 ＜ x ＜ 2 ，
1
4x － 1， x ≥ 2 ．
如 所示，画出函数
y ＝ 3f (x)和 y ＝ f (2x)的 象， 察 象，可得 3f (x)≥ f (2x) ．
⋯ 10 分
y
3
7、我们各样习惯中再没有一种象战胜骄傲那麽难的了。

虽全力隐匿它，战胜它，
消
1
灭它，但不论怎样，它在不知不觉之间，依旧显现。

——富兰克林
1 1
O
x
1 1
2
2
8、女人诚然是柔弱的，母亲倒是坚毅的。

——法国
9、慈母的胳膊是慈祥组成的，孩子睡在里面怎能不甜？——雨果
10 、母爱是多么激烈、自私、狂热地占有我们整个心灵的感情。

——邓肯
11、世界上全部其余都是假的，空的，惟有母亲才是真的，永久的，不灭的。

——印度。