小学奥数讲义-整数裂项

整数裂项基本公式 (1) 122334...(1)n n ⨯+⨯+⨯++-⨯1(1)(1)3
n n n =-⨯⨯+ (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4
n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=--+
【例 1】 1223344950⨯+⨯+⨯++⨯=_________
【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 这是整数的裂项。

裂项思想是:瞻前顾后,相互抵消。

设S ＝1223344950⨯+⨯+⨯++⨯
1×2×3＝1×2×3
2×3×3＝2×3×（4－1）＝2×3×4－1×2×3
3×4×3＝3×4×（5－2）＝3×4×5－2×3×4……
49×50×3＝49×50×（51－48）=49×50×51－48×49×50
3S ＝1×2×3＋2×3×3＋3×4×3＋…＋49×50×3＝49×50×51
S ＝49×50×51÷3＝41650
【答案】41650
【巩固】 1223344556677889910⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=________
【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 本题项数较少,可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和,但是对于项数较多的情况显然不
能这样进行计算．对于项数较多的情况,可以进行如下变形:
()()()()()()()()()12111111211333
n n n n n n n n n n n n n n ++--++==++--+, 所以原式1111112323412391011891033333⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
1910113303
=⨯⨯⨯= 另解:由于()21n n n n +=+,所以
原式()()()222112299=++++++
()()222129129=++++++
+119101991062
=⨯⨯⨯+⨯⨯330= 采用此种方法也可以得到()()()112231123
n n n n n ⨯+⨯++⨯+=++这一结论． 【答案】330
【例 2】 14477104952⨯+⨯+⨯++⨯=_________
【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 设S ＝14477104952⨯+⨯+⨯++⨯ 例题精讲 知识点拨
整数裂项
1×4×9＝1×4×7＋1×4×2
4×7×9＝4×7×（10－1）＝4×7×10－1×4×7
7×10×9＝7×10×（13－4）＝7×10×13－4×7×10
………….
49×52×9＝49×52×（55－46）＝49×52×55－46×49×52
9S ＝49×52×55＋1×4×2
S =（49×52×55＋1×4×2）÷9＝15572
【答案】15572
【例 3】 12323434591011⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯=
【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 ()()()()()()()()111212311244
n n n n n n n n n n n ++=+++--++,所以, 原式11111123423451234910111289101144444⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
191011124
=⨯⨯⨯⨯2970= 从中还可以看出,()()()()()1123234345121234
n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯+⨯+=+++ 【答案】2970
【例 4】 计算:135357171921⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯= ．
【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 可以进行整数裂项．
357913573578⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=
, 5791135795798
⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=, 17192123151719211719218⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=, 所以原式35791357171921231517192113588⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯+
++1719212313571358⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯+171921231358
⨯⨯⨯+⨯⨯=19503= 也可适用公式．
原式()()()()()()323325255219219192=-⨯⨯++-⨯⨯+++-⨯⨯+
()()()22222232352519219=-⨯+-⨯+
+-⨯ ()()333351943519=+++-⨯+++
()()3333135194135193=++++-⨯+++++
而()()333333333333135191232024620++++=++++-+++
+ 22221120218101144
=⨯⨯-⨯⨯⨯19900=, 21351910100++++==,所以原式1990041003=-⨯+19503=．
【答案】19503
【巩固】 计算:101622162228707682768288⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯
【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 可进行整数裂项: 原式1016222841016221622283410162228=2424⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
707682886470768276828894707682882424⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1016222841016221622283410162228=24242424
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-+-++ 7076828864707682768288947076828824242424
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-+- 768288944101622=2424
⨯⨯⨯⨯⨯⨯- 768288944101622=24
⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ =2147376
【答案】2147376
【巩固】 计算:123434565678979899100⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯=
【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 一般的整数裂项各项之间都是连续的,本题中各项之间是断开的,为此可以将中间缺少的项补上,再进
行计算．
记原式为A ,再设23454567678996979899B =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯,
则123423453456979899100A B +=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯
197989910010119010098805
=⨯⨯⨯⨯⨯=, 现在知道A 与B 的和了,如果能再求出A 与B 的差,那么A 、B 的值就都可以求出来了．
12342345345645675678979899100A B -=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯
4(123345567...979899)=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯
222242(21)4(41)6(61)98(981)⎡⎤=⨯⨯-+⨯-+⨯-++⨯-⎣⎦
33334(24698)4(24698)=⨯++++-⨯++++ 221148495041004942
=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯48010200= 所以,()1901009880480102002974510040A =+÷=．
【答案】974510040
【例 5】 2004200320032002200220012001200021⨯-⨯+⨯-⨯++⨯
【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 原式20032200123212=⨯+⨯++⨯+⨯
()213520012003=⨯+++++
()21200310022=⨯+⨯÷
2008008=
其中也可以直接根据公式()2135721n n +++++-=得出
2135200120031002+++++=
【答案】2008008
【例 6】 11!22!33!20082008!⨯+⨯+⨯++⨯=
【考点】整数裂项 【难度】4星 【题型】计算
【解析】 观察发现22!221(31)213!2!⨯=⨯⨯=-⨯⨯=-,
33!3321(41)3214!3!⨯=⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯=-,……
20082008!20082008200721(20091)20082007212009!2008!
⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯⨯=-, 可见,原式1!(2!1!)(3!2!)(2009!2008!)=+-+-++- 2009!=
【答案】2009!
【例 7】 计算:1234569910023459899
⨯+⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯ 【考点】整数裂项 【难度】5星 【题型】计算
【解析】 设原式=B A
122334989999100A B +=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯
()()()11230122341239910010198991003
=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯++⨯⨯-⨯⨯⎡⎤⎣⎦
1991001013333003
=⨯⨯⨯= 1232992501005000B A -=⨯+⨯++⨯=⨯=
3333005000338333330050003283
B A +==- 【答案】33833283。