人教版八年级数学上册 第十二章轴对称

八年级数学上册期末复习学案
第十二章 轴对称
一、知识要点
（一）轴对称与轴对称图形：
1、什么叫轴对称？什么叫轴对称图形？什么叫对称轴？什么叫对称点？
2、轴对称与轴对称图形有什么区别与联系？
3、轴对称的性质。

4、怎样找轴对称图形的对称轴？怎样作一个图形关于某条直线的轴对称图形？
5、线段垂直平分线的定义、定理及逆定理。

6、用坐标表示轴对称的口诀。

7、尺规作图
（1）作角的平分线;（2）作线段的垂直平分线；（3）直线l 外有两点A 和B ，由A 出发经直线l 到B 的最短线路；（4）到三角形三边距离相等的是___________________的交点；（5）到三角形三个顶点的距离相等的点是_____________________的交点。

（二）等腰三角形：
1、等腰三角形、等边三角形的定义。

2、等腰三角形、等边三角形的性质。

3、等腰三角形、等边三角形的判定。

4、在直角三角形中，30°锐角所对直角边等于____________________。

二、例题：
例1 试说明在直角三角形中，如果一个锐角等
于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，
如图14－102所示.
求证：BC=2
1AB. 例2 如图14－104所示，已知∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°.求证BD=
41AB. 例3 如图14－105所示，AB=AC ，BC=BD=ED=EA ，求∠A 的度数.
例4 如图14－106所示，在△ABC 中，D 在BC 上，若AD=BD ，AB=AC=CD ，求∠BAC 的度数.
例5 如图14－107所示，∠B=90°，AD=AB=BC ，DE ⊥AC.求证BE=DC.
例6 如图14－108所示，在△ABC 中，AB=AC ，在AB 上取一点E ，在AC 延长线上取一点F ，使BE=CF ，EF 交BC 于G.求证EG=FG.
M N A B M N A
B
例7 如图14-109所示，在△ABC 中，∠B=60°，AB=4，BC=2.求证△ABC 是直角三角形. 例8已知直线MN 和在MN 的同侧的两点A,B 在MN 上求作一点P ，使PA+PB 最短。

变式一：如下左图已知直线MN 和在MN 的异侧的两点A,B 在MN 上求作一点P ，使P A P B -最大。

变式二：如上右图所示，E 、F 分别是△ABC 的边AB 、AC 的两定点，在BC 上求一点M ，使
△MEF 的周长最短。

变式三：如左图所示，已知正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上一动点，当DN+MN 最小时，试确定N 的位置。

变式四：如右图所示，已知AOB ∠内一定点P ，试在OA ，OB 上各找一点M ，N ，使PMN 周长最短。

三、练习题
一、选择题
1．等腰三角形的对称轴有（ ）
A 、1条
B 、3条
C 、1条或3条
D 、无数条
2．下列图形中不是轴对称图形的是（ ）
A B C D
3．下列英文字母属于轴对称图形的是（ ）
A 、N
B 、S
C 、L
D 、E
4．右图是屋架设计图的一部分，其中∠A=30°，点D 是斜梁AB 的中点，
BC 、DE 垂直于横梁AC ，AB=16m ，则DE 的长为（ ）
O B
C
M
C
A 、8 m
B 、4 m
C 、2 m
D 、6 m
5．等腰三角形的一个外角为110°，则它的底角是（ ）
A 、70°
B 、50°或70°
C 、40°或70°
D 、40°
6．下列各时刻是轴对称图形的为（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
7．已知下列数据中，可以组成等腰三角形的是（ ）
A 、2，2，5
B 、1，1，4
C 、3，3，4
D 、4，4，9
8．已知点A （4，3）和点B 是平面内两点，且它们关于直线x ＝3轴对称，则点B 的坐标为（ ）
A 、（2，3）
B 、（—10，3）
C 、（1，3）
D 、（4，1）
9．等腰三角形的周长为18cm ，其中一边长为5cm ，则等腰三角形的底边长为（ ）
A 、5cm
B 、６．５cm
C 、5cm 或８cm Ｄ、８cm
10．点Ｐ到△ABC 三边的距离相等，则点P 是（ ）的交点。

A 、中线
B 、高线
C 、角平分线
D 、垂直平分线
二、填空题
1
2．当写着数字的纸条垂直于镜面摆放时（如图所示）：
下面是从镜子中看到的数： ，它实际上是_______________________
3．分别写出下列各点关于x 轴及y 轴对称的点的坐标：
（—2，6）（1，—3）（—5，—12）（3.4，—4.8）)2,3(3（6，—1）（0，10）（12，0） 关于x 轴对称____________________________________________________________________ 关于y 轴对称
____________________________________________________________________
4．若点P （—2a ，a —1）在y 轴上，则点P 的坐标为________，点P 关于x 轴对称的点为_________；
5．等腰三角形的腰长与底边的比为4:3，一边长为24，则三角形的周长为_____________ ；
6．根据下列点的坐标变化，说出它们进行了怎样的运动。

（—1，3）→（—1，—3）_____________________（—5，—6）→（5，—6）_________________ （—2，3）→（2，—3）_______________________（5，7）→（5，2）_______________________
7．等腰三角形顶角为x 度，则一腰上的高线与底边的夹角为_________
8．如图，AB=AC ，∠A=40°，AB 的垂直
平分线MN 交AC 于点D ，则∠DBC=_______
9．已知△ABC 是等边三角形，分别在
AC 、BC 上取点E 、F ，且AE=CF ，BE 、
AF 交于点D ，则∠BDF ＝ _________
三、尺规作图
1．作出下面图形关于直线l 的轴对称图形。

2．在下面左图中找出点A，使它到M，N两点的距离相等，并且到OH，OF的距离相等。

3．在上面右图中找到一点M，使它到A、B两点的距离和最小。

4．下图左，某地由于居民增多，要建一个公共汽车站，A、B为居民区，要求汽车站到两个居民区的距离相等，请找出汽车站应该建在什么地方？
5．下图右，四边形ABCD的顶点坐标为A（—5，1），B（—1，1），C（—1，6），D（—5，4），请作出四边形ABCD关于x轴及y轴的对称图形，并写出坐标。

四、证明题
1．求证：等腰三角形顶角的外角平分线平行于底边。

已知：
求证：
证明：
2．△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5cm，△CBD的周长
为24cm，求△ABC的周长。

3．在△ABC，BC=BA，点D在AB上，且AC=CD=DB，求△ABC各角度数。

4．如图，AD=AE，BD=CE，求证：AB=AC
5．如图，AB=BD，AC=DC，点E在AC上
求证：EA=ED
6．如图，B，E分别是AB，CD的中点，AB⊥CD，DE⊥AC
求证：AC=CD
7．△ACD是等边三角形，AB是△ACD的角平分线，延长AC到E，使得CE=BC 求证：AB=BE
8．如图，△ABC中，AM，CM分别是角平分线，过M作DE∥AC 求证：AD+CE=DE
9．如图，∠AOB=30°，OC平分∠AOB，CD⊥OA于D，CE∥AO交OB于E CE=20cm，求CD的长。