2018新课标高考第一轮数学理总复习教师用书：同步测试

2018’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷
理科数学(九) 【P 293】
(等差、等比数列的概念、性质及应用)
时间：60分钟 总分：100分
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．设{a n } 是首项为a 1，公差为－1 的等差数列，S n 为其前n 项和．若 S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( )
A ．2
B ．－2
C .21
D ．－21
【解析】由S 1＝a 1，S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1－6成等比数列可得(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，解
得a 1＝－21.
【答案】D
2．设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列，则( )
A ．d<0
B ．d>0
C ．a 1d<0
D ．a 1d>0
【解析】∵数列{2a 1a n }为递减数列，a 1a n ＝a 1[a 1＋(n －1)d]＝a 1dn ＋a 1(a 1－d)，等式右边为关于n 的一次函数，∴a 1d<0.
【答案】C
3．数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝2n －3，若a 1＝2，则a 8－a 4＝( )
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
【解析】依题意得(a n ＋2＋a n ＋1)－(a n ＋1＋a n )＝[2(n ＋1)－3]－(2n －3)，即a n ＋2－a n ＝2，所以a 8－a 4＝(a 8－a 6)＋(a 6－a 4)＝2＋2＝4.故选D .
【答案】D
4．已知数列{a n }的首项a 1＝2，数列{b n }为等比数列，且b n ＝an an ＋1.若b 10b 11＝2，则a 21
＝( )
A ．29
B ．210
C ．211
D ．212
【解析】由已知，b 1b 2…b 20＝a1a2·a2a3·…·a20a21＝a1a21＝2a21.因为{b n }为等比数列，则b 1b 2…
b 20＝(b 10b 11)10＝210，所以a 21＝2b 1b 2…b 20＝211，选C .
【答案】C
5．已知数列{a n }满足a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，n ∈N *且a 5＝2π，若函数f (x )＝sin 2x ＋2cos 2
2x ，记y n ＝f (a n )，则数列{y n }的前9项和为( )
A ．0
B ．－9
C ．9
D ．1
【解析】∵数列{a n }满足a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，n ∈N *，∴数列{a n }是等差数列，∵a 5＝2π，∴a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5＝π.
∵f (x )＝sin 2x ＋2cos 22x ＝sin 2x ＋cos x ＋1，
∴f (a 1)＋f (a 9)＝sin 2a 1＋cos a 1＋1＋sin 2a 9＋cos a 9＋1＝sin 2a 1＋cos a 1＋1＋sin(2π－2a 1)＋cos(π－a 1)＋1＝sin 2a 1＋cos a 1＋1－sin 2a 1－cos a 1＋1＝2，
同理f (a 2)＋f (a 8)＝f (a 3)＋f (a 7)＝f (a 4)＋f (a 6)＝2.
又∵f (a 5)＝1，所以数列{y n }的前9项和为9.
【答案】C
6．用g (n )表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例：9的因数有1，3，9，g (9)＝9；10的因数有1，2，5，10，g (10)＝5.那么g (1)＋g (2)＋g (3)＋…＋g (22 018－1)＝( )
A.34×42 017＋31
B.34×42 017－31
C.34×42 018＋31
D.34×42 018－31
【解析】由递推关系g (1)＋g (2)＋g (3)＋…＋g (2n －1)
＝[g (1)＋g (2)＋…＋g (2n －1－1)]＋1＋3＋5＋…＋(2n －1)．
设G (2n －1)＝g (1)＋g (2)＋…＋g (2n －1)，
则G (2n －1)－G (2n －1－1)＝4n －1，再由累加法得到．
【答案】B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上．)
7．数列{a n }中，已知a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则a 7＝________．
【解析】由已知a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，a 1＝1，a 2＝2，能够计算出a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2，a 6＝－1，a 7＝1.
【答案】1
8．已知f (x )是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x ，y ∈R ，都有f (x ·y )＝xf (y )＋yf (x )
成立．数列{a n }满足a n ＝f (2n )(n ∈N *)，且a 1＝2.则数列{a n }的通项公式a n ＝________．
【解析】令x ＝2，y ＝2n －1，则f (x ·y )＝f (2n )＝2f (2n －1)＋2n －1f (2)，即f (2n )＝2f (2n －1)＋2n －1a 1，
即a n ＝2a n －1＋2n ，2n an ＝2n －1an －1＋1，所以数列{2n an }为等差数列，由此可得a n ＝n ·2n .
【答案】n ·2n
9．已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，S n 为其前n 项和，且满足a n 2＝S 2n －1(n ∈
N *)．若不等式an ＋1λ≤n n ＋8·（－1）n 对任意的n ∈N *恒成立，则实数λ的最大值为________．
【解析】由题意S 2n －1＝(2n －1)a n ＝a n 2，则a n ＝2n －1，不等式an ＋1λ≤n n ＋8·（－1）n ⇔
2n ＋1λ≤n n ＋8·（－1）n ，即λ≤n [n ＋8·（－1）n]（2n ＋1）.
当n 为偶数时，λ≤n （n ＋8）（2n ＋1）＝2n ＋n 8＋17，而2n ＋n 8＋17≥2n 8＋17＝25(当且
仅当n ＝2时取等号)；
当n 为奇数时，λ≤n （n －8）（2n ＋1）＝2n －n 8－15，函数y ＝2n －n 8－15是增函数，因
此n ＝1时，其取得最小值为－21，即λ≤－21.
综上，λ的取值范围是(－∞，－21]，所以λ的最大值为－21.
【答案】－21
10．已知数列{a n }中a 1＝1，a 2k ＝a 2k －1＋(－1)k ，a 2k ＋1＝a 2k ＋2k ，则{a n }的前60项的和S 60＝________．(可以保留指数形式)
【解析】由题意，得a 2＝a 1－1＝0，a 4＝a 3＋1，a 6＝a 5－1，…，a 60＝a 59＋1，所以S 奇＝S 偶．
又a 2k －1＝a 2k －2＋2k －1(k ≥2)，代入a 2k ＝a 2k －1＋(－1)k ，得a 2k ＝a 2k －2＋2k －1＋(－1)k (k ≥2)，
所以a 2＝0，a 4＝a 2＋21＋(－1)2，a 6＝a 4＋22＋(－1)3，a 8＝a 6＋23＋(－1)4，…，a 2k ＝a 2k
－2＋2
k －1＋(－1)k ，将上式相加，得a 2k ＝2＋22＋…＋2k －1＋(－1)2＋(－1)3＋…＋(－1)k ＝2k －2＋21－（－1）k －1＝2k －23＋（－1）k －1，
所以S 偶＝(2＋22＋23＋…＋229＋230)－21(15×2＋15×4)＝1－22（1－230）－45＝231－47，
所以S 60＝2(231－47)＝232－94.
【答案】232－94
三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
11．(16分)已知等差数列{a n }(n ∈N *)中，a 1＝2，前4项和S 4＝5a 2＋2.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若点A 1(a 1，b 1)，A 2(a 2，b 2)，…，A n (a n ，b n )(n ∈N *)从左至右依次都在函数y ＝24x －2＋
（x ＋2）（x ＋6）16的图象上，求这n 个点A 1，A 2，A 3，…，A n 的纵坐标之和T n .
【解析】(1)在等差数列{a n }中，a 1＝2，S 4＝5a 2＋2，
∴8＋6d ＝5(2＋d )＋2，∴d ＝4，
∴a n ＝4n －2.
(2)由于点A 1(a 1，b 1)，A 2(a 2，b 2)，…，A n (a n ，b n )(n ∈N *)从左至右依次都在函数y ＝24
x －2＋（x ＋2）（x ＋6）16 的图象上，所以b n ＝2n －1＋n （n ＋1）1，
则这n 个点A 1，A 2，A 3，…，A n 的纵坐标之和T n ＝2－12n －1＋n ＋11＝2n －n ＋11.
12．(16分)设n ∈N *，x n 是曲线y ＝x 2n ＋2＋1在点(1，2)处的切线与x 轴交点的横坐标．
(1)求数列{x n }的通项公式；
(2)记T n ＝x 12x 32…x 2n －12，证明：T n ≥4n 1.
【解析】(1)y ′＝(x 2n ＋2＋1)′＝(2n ＋2)x 2n ＋1，曲线y ＝x 2n ＋2＋1在点(1，2)处的切线斜率为
2n ＋2，
从而切线方程为y －2＝(2n ＋2)(x －1)．
令y ＝0，得切线与x 轴交点的横坐标x n ＝1－n ＋11＝n ＋1n .
(2)证明：由题设和(1)中的计算结果知，
T n ＝x 12x 32…x 2n －12＝21×43×…×2n 2n －1.
当n ＝1时，T 1＝41；
当n ≥2时，因为x 2n －12＝2n 2n －1＝（2n ）2（2n －1）2>（2n ）2（2n －1）2－1＝2n 2n －2＝n n －1，
所以T n >21×21×32×…×n n －1＝4n 1.
综上可得，对任意的n ∈N *，均有T n ≥4n 1.
13．(18分)已知首项大于0的等差数列{a n }的公差d ＝1，且a1a21＋a2a31＝32.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }满足：b 1＝－1，b 2＝λ，b n ＋1＝n 1－n b n ＋an （－1）n －1，其中n ∈N *且n ≥2.
①求数列{b n }的通项b n ；
②是否存在实数λ，使得数列{b n }为等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)∵数列{a n }的首项a 1>0，公差d ＝1，
∴a n ＝a 1＋(n －1)，anan ＋11＝an 1－an ＋11，
∴a1a21＋a2a31＝a21＋a31＝a11－a31＝a11－a1＋21＝32，
整理得a 12＋2a 1－3＝0解得a 1＝1或a 1＝－3(舍去)．
因此，数列{a n }的通项公式为a n ＝n .
(2)①∵b n ＋1＝n 1－n b n ＋n （－1）n －1，
∴（－1）n ＋1nbn ＋1＝（－1）n （n －1）bn ＋1.
令c n ＝（－1）n （n －1）bn ，则有c 2＝λ，c n ＋1＝c n ＋1(n ≥2)．
∴当n ≥2时，c n ＝c 2＋(n －2)＝n －2＋λ，
b n ＝n －1（n －2＋λ）（－1）n .
因此，数列{b n }的通项b n ＝，n ≥2.（n －2＋λ）（－1）n
②∵b 1＝－1，b 2＝λ，b 3＝－21＋λ，
∴若数列{b n }为等比数列，则有b 22＝b 1b 3，
即λ2＝(－1)21＋λ，解得λ＝1或λ＝－21.
当λ＝－21时，b n ＝2（n －1）（2n －5）（－1）n (n ≥2)，bn bn ＋1不是常数，数列{b n }不是等比数列；
当λ＝1时，b 1＝－1，b n ＝(－1)n (n ≥2)，数列{b n }为等比数列．
所以，存在实数λ＝1使得数列{b n }为等比数列．。