河北正定中学2013届高三上学期第一次考试(数学)

高三第一次月考·数学试题
一、
选择题
1． 已知集合{}1
22|,|23,A x y x B y y x x x R ⎧⎫
====++∈⎨⎬⎩⎭
，则A B =
( )
A ．∅
B ．R
C ．[)0,+∞
D ．[)2,+∞
2．
已知复数z 满足：()126i z i +=+（i 是虚数单位)，则z 对应的点在 （ )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四
象限
3．
设,,a b c 都是实数，则“2b a c =+”是“,,a b c 依次成等差数列”的 ( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
4．
设p ：,a b ∀，
若0a b ⋅=，则a b ⊥；q :,a b ∃，若0a b ⋅=，则a b ⊥.则 （ ) A ．,p q 都假 B ．p 真q 假 C ．p 假q 真 D ．p ，q 都真.
5．
已知函数()1||f x x x
=+，则它的图象大致为（ ）
6．
将函数()sin()f x x =+ωϕ的图像向左平移2
π个单位。

若所得图象与原图
象重合，则ω的值不可能．．．
等于
A ．4
B ．6
C ．8
D ．12
7．
已知函数)2
||,0)(sin(πϕωϕω<>+=x y
的部分图象如题(6）图所示，则（ ）
A ．6
,1πϕω== B ．6
,1πϕω-==
C ．6
,2πϕω== D ．6
,2πϕω-==
8．
若
,a b
是非零向量且满足
(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥
，则a 与b 的夹角是（ )
A ．6
π
B ．3
π C ．3
2π D ．6
5π
9．
已知点P 在曲线y=
4
1
x e +上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α
的取值范围是( ）
A ．［0，4
π) B ．[,)42
ππ C ．3(,]2
4
ππ D ．3[,)4
ππ
10．
已知函数F(x ）=|lgx|，若0〈a 〈b,且f(a)=f(b)，则a+2b 的取值范围是 （ )
A ．(2
2,)+∞
B ．[2
2,)+∞
C ．(3,)+∞
D ．[3,)+∞
11．
设6
sin14cos14,sin16cos16,a b c =︒+︒=︒+︒=则,,a b c 的大小关系是( ）
A ．a b c <<
B ．b c a <<
C ．a c b <<
D ．b a c <<
12．
2
22
(4)x x dx --⎰
等于（ ）
A ．0
B ．π
C ．2π
D ．24π+
二、
填空题
13． 数列{}n
a 满足1
10,n n a
a a n +==+，则{}n a 的通项公式n a ＝
14．
已知函数()2
cos f x x
x =-，对于,22ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的任意12,x x ，有如下条件有：
①1
2x
x >； ②22
1
2
x
x >；③12||x x >。

其中能使()()12f x f x >恒成立的条件序号是 .
15．
若函数()x
f x a
x a =--(0a >且1a ≠）有两个零点，则实数a 的取值范围
是 .
16．
在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，2C B =，
则c b
的取值范围是 。

三、
解答题
17．
已知函数()2sin 22
24f x x x π⎛⎫
=-- ⎪⎝
⎭。

（1） 求()f x 的最小正周期；
（2）
若0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求()f x 的值域。

18．
设f (x )是定义在R 上的偶函数,其图像关于直线1x =对称。

对任意
12102x ,x ,⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
都有1212f (x x )f (x )f (x )+=。

（1）
设12f ()=,求112
4
f (),f ()；
（2） 证明: f (x )是周期函数。

19．
如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距(533+海里的两个观测
点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里每小时，该救援船到达D 点
需要多长时间？
20．
已知等差数列{}n
a 满足:3
7a
=，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n
S ．
（Ⅰ）求n
a 及n
S ；
(Ⅱ）令b n =
211
n a -(n ∈N *
)，求数列{}n b 的前n 项和n
T ．
21．
如图5，在圆锥PO 中，已知PO 2O 的直径AB ＝2，C 是AB 的中点，D 为AC 的中点． （Ⅰ）证明：平面POD ⊥平面PAC; （Ⅱ）求二面角B －PA －C 的
余弦值。

22．
设函数()2
2ln f x a
x x ax =-+（a 是实数）.
（1） 求()f x 的单调区间
（2）
是否存在正数a ，使()2
1e f x e -≤≤对一切[]1,x e ∈恒成立？若存在，
求a 的值，若不存在，说明理由。

高三第一次月考数学答案
一、选择题 DACCB BDBDC CC 二、
填空题
;2
)
1(-n n ②;()1,+∞;)3,2( 17.解：()22222(1cos 2)2222222sin(2)2224
f x x x x x x x =
--π=+=+ （1）ππ
==
2
2T （2）,1)4
2sin(22,454
24
,2
0≤+≤-∴≤
+
≤∴
≤
≤πππ
π
π
x x x .]21,2
2
3[)(.21)(2
23
--
∴-≤≤-∴的值域为x f x f 18。

解:（1）由()()()1
2
1
2
f x x f x f x +=+，1
21,0,2x x
⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，知()022x x f x f f ⎛⎫
⎛⎫
=⋅≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，[]0,1x ∈
∵
()2
1111222f f f f ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=⋅
= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，∴
1
2122f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭。

同理2
1124f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
,∴
1
4124f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
; （2）证明：依题设()y f x =的图象关于直线1x =对称，故()()11f x f x =+-，即()()2,f x f x x R =-∈。

又由()f x 是偶函数知()()f x f x -=,x R ∈
∴()()2,f x f x x R -=-∈，将上式中x -以x 代换，得()()2,f x f x x R =+∈， ∴()f x 是R 上的以2为周期的周期函数. ＝
19.解：由题意知(533AB =海里，∠DBA
90°－60°＝30°，∠DAB ＝45°， ∴∠ADB ＝105°.
在DAB ∆中，由正弦定理得
sin sin DB AB
DAB ADB
=∠∠,
∴(
53sin 45sin sin sin105AB DAB DB ADB ⋅︒
⋅∠=
==∠︒
) 又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋（90°－60°）＝60°，BC
＝
∴在△DBC 中，由余弦定理得
2221
2cos 300120029002
CD BD BC BD BC DBC =+-⋅∠=+-⨯=, ∴CD ＝30（海里），所以C 船到达D 点需要时间30130
t ==小时。

答：救援船到达D 点需要时间为1小时。

20. （I ）设等差数列{}n
a 的公差为d,由已知条件可得
110,
21210,
a d a d +=⎧⎨
+=-⎩
解得11,1.a d =⎧⎨
=-⎩
故数列{}n
a 的通项公式为2.n
a
n =- ………………5分
（II ）设数列
1
{
}2n n n a n S -的前项和为，即
2
111,122n
n n a a S a S -=+++
=故,
12
.224
2n n
n S a a a =+++
所以，当1n >时，
121
1111222211121()
2422
121(1)22n n n n n n
n n n n
S a a a a a a n n
------=+++--=-+++--=---
=.2n n
所以
1
.2
n n n S -=
综上，数列
11{
}.22n n n n a n
n S --=的前项和
………………12分
21。

解法1：连结OC ，因为OA ＝OC ，D 是AC 的中点，所以AC ⊥OD 。

又PO ⊥底面⊙O ，AC ⊂底面⊙O ，所以AC ⊥PO ，
因为OD ，PO 是平面POD 内的两条相交直线，所以AC ⊥平面POD,
而AC ⊂平面PAC ，所以平面POD ⊥平面PAC 。

(II ）在平面POD 中，过O 作OH ⊥PD 于H ，由（I)知,平面
,POD PAC ⊥平面
所以OH ⊥平面PAC ，又PA ⊂面PAC ，所以PA ⊥OH 。

在平面PAO 中，过O 作OG ⊥PA 于G ， 连接HG ，则有PA ⊥平面OGH,
从而PA ⊥HG ，故∠OGH 为二面角B —PA —C 的平面角。

在Rt ODA ∆中，OD ＝OA 2sin 452⋅︒= 在Rt POD ∆中，OH ＝2
2
2
210251
22
PO OD PO OA
⨯
⋅=
=++
在Rt POA ∆中，OG ＝
22
216
3
21PO OA PO OA ⋅⨯=
=
++ 在Rt OHG ∆中，10
155sin 56
3
OH OGH OG ∠===
所以210cos 01sin 5
GH OGH ∠=
-∠=
故二面角B —PA —C 的余弦值为
105
解法2：（I ）如图所示,以O 为坐标原点，OB 、OC 、OP 所在直线分别为x 轴、y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则0(0，0，0），A(－1，0，0），B （1，0，0），C （0，1，0），P （0,0
，D （11,,022
-），
设()1
1
1
,,n x y z =是平面POD 的一个法向量,则由0,0n OD n OP ⋅=⋅=
，得
1
11102
20x y ⎧-+=⎪=，所以11,0x y z ==,取11y =,得()1,1,0n =。

设()2
2
2
,,m x y z =是平面PAC
的一个法向量，同理可得()2,m =-。

因为
(
)()
1,1,00m n ⋅=⋅=，所以m n ⊥，从而平面
POD ⊥平面PAC 。

（II ）因为y 轴⊥平面PAB ，所以平面PAB 的一个法向量为()0,1,0p = 由（I)知,平面PAC
的一个法向量为()
2,m =-
设向量,m p 的夹角为θ，则10
cos 5||||
m p m p θ⋅=
=⋅，
由图可知，二面角B —PA —C 的平面角与θ相等， 所以二面角B —PA —C 的余弦值为5。

22。

解：(1）定义域为),0(+∞ x
a x a x x a ax x a x x a x f )
)(2(22)(222'
-+-=++-=+-=
令,,2
,0)(21'
a x a
x x f
=-==
上是减函数；
在时当),0()(,02)(,0'+∞∴<-==x f x x f a ;),),0()(,0,0021上是减函数上是增函数，在（在时，当+∞∴><>a a x f x x a
.),2
)2,0()(,0,0021上是减函数上是增函数，在（在时，当+∞--∴<><a
a x f x x a
（2）由（1）知，;),),0()(0上是减函数上是增函数，在（在时，当+∞>a a x f a 恒成立对一切],1[)(12
e x e x
f e ∈≤≤- ，
.,11,)1(112
e a a e e
f e x ≥∴-≤-≤≤-=∴即时，当
ae e a x f a f x f e x f +-=-==∴∴22max min
)(,1)1()(],1[)(上是增函数，在
由题意⎩⎨⎧≤+--≤-2
221
1e
ae e a a e ,解得e a =.。