吉林高二高中数学月考试卷带答案解析

吉林高二高中数学月考试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.已知，，下列判断中正确的是（）
A．B．C．D．
2.已知是等比数列，，则公比为（）
A．B．-2C．2D．
3.已知数列，，，，…，则是数列的（）
A．第18项B．第19项C．第17项D．第20项
4.不等式的解集是（）
A．B．（1，+∞）
C．D．
5.在等比数列中，若，则（）
A．-3B．3C．-9D．9
6.等差数列中，，则为（）
A．13B．12C．11D．10
7.已知数列的通项公式是，则达到最小值时，的值是（）
A．23B．24C．25D．26
8.已知等比数列的公比为正数，且，则的值为（）
A．B．2C．D．3
9.已知等差数列中，其前项和为，若，则（）
A．12B．33C．66D．99
10.不等式表示的平面区域（阴影部分）为（）
11.已知数列的通项公式为，则（）
A．B．C．D．
12.设，满足的约束条件是，则的最小值是（）
A．-1B．3C．5D．6
二、填空题
1.在等差数列中，已知，，则第3项．
2.不等式的解集为．
3.不等式的解集是．
4.已知等差数列中，，，则前10项和．
三、解答题
1.数列的通项公式是．
（1）这个数列的第4项是多少？
（2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
（3）该数列从第几项开始各项都是正数？
2.已知二次函数，不等式的解集是．
（1）求实数和的值；
（2）解不等式．
3.（1）已知，求函数的最大值；
（2）已知，且，求的最小值．
4.设是公比为正数的等比数列，，
（1）求的通项公式；
（2）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和．
5.等差数列中，
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
6.已知，满足约束条件，求的最小值．
吉林高二高中数学月考试卷答案及解析
一、选择题
1.已知，，下列判断中正确的是（）
A．B．C．D．
【答案】B．
【解析】对于选项A，作差：，由题意知，，此时并不能判断与0的大小关系，即A不正确；
对于选项B，作差：，由题意知，，所以，，所以，即，故B正确；
对于选项C，作差：，故C不正确；
对于选项D，作差：，由题意知，，此时并不能判断与0的大小关系，即D不正确．
【考点】不等式与不等关系；不等式的基本性质．
2.已知是等比数列，，则公比为（）
A．B．-2C．2D．
【答案】D．
【解析】由等比数列的通项公式及知，，解之得．故应选D．
【考点】等比数列
3.已知数列，，，，…，则是数列的（）
A．第18项B．第19项C．第17项D．第20项
【答案】B．
【解析】观察所给数列的特征发现：除了根号外，3、7、11、15、…，成等差数列，其首项为3，公差为4．根据等差数列的通项公式可得，根号里面的数构成等差数列的通项为：．所以该数列的通项公式为．令，解得．故是数列的第19项．故应选B．
【考点】等差数列的通项公式．
4.不等式的解集是（）
A．B．（1，+∞）
C．D．
【答案】D．
【解析】将不等式化简为：，根据一元二次不等式与二次函数的关系知，或，即不等式的解集是．
【考点】一元二次不等式的解法．
5.在等比数列中，若，则（）
A．-3B．3C．-9D．9
【答案】B．
【解析】因为是、的等比中项，然后由等比数列的等比中项知，．故应选B．
【考点】等比数列；等比中项．
6.等差数列中，，则为（）
A．13B．12C．11D．10
【答案】C．
【解析】在等差数列中，由等差数列的通项公式及知，，解方程组得，
．所以数列的通项公式为．所以．故应选C．
【考点】等差数列．
7.已知数列的通项公式是，则达到最小值时，的值是（）
A．23B．24C．25D．26
【答案】B．
【解析】由，得，即，，由此能求出数
列的前项和达到最小值时的．故应选B．
【考点】数列的函数特性．
8.已知等比数列的公比为正数，且，则的值为（）
A．B．2C．D．3
【答案】B．
【解析】在等比数列中，由等比数列的通项公式及知，，因为公比为正数，所以，又因为，所以，解之得．故应选B．
【考点】等比数列的通项公式．
9.已知等差数列中，其前项和为，若，则（）
A．12B．33C．66D．99
【答案】B．
【解析】由等差数列的前项和公式知，，再由等差数列的性质：
知，，即．所以应选B．
【考点】等差数列；等差数列的前项和为．
10.不等式表示的平面区域（阴影部分）为（）
【答案】D．
【解析】根据二元一次不等式对应的直线方程为，斜率为2，排除A，B；不等式，表示的平面区域在直线的下方．故应选D．
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．
11.已知数列的通项公式为，则（）
A．B．C．D．
【答案】C．
【解析】由数列的通项公式为知，令得，；令得，；令得，．故应选C．
【考点】数列的通项公式．
12.设，满足的约束条件是，则的最小值是（）
A．-1B．3C．5D．6
【答案】A．
【解析】首先作出不等式组对应的平面区域如下图所示，然后由得，，平移直线，由图像可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小，此时
．故应选A．
【考点】简单的线性规划．
二、填空题
1.在等差数列中，已知，，则第3项．
【答案】5．
【解析】在等差数列中，由，知，，所以令得，．
【考点】等差数列的定义及通项公式．
2.不等式的解集为．
【答案】．
【解析】将原不等式化为，根据一元二次不等式与二次函数的关系知，
，所以原不等式的解集为．
【考点】一元二次不等式．
3.不等式的解集是．
【答案】．
【解析】不等式等价于，解得：．所以不等式的解集为．故应
填．
【考点】分式不等式的解法．
4.已知等差数列中，，，则前10项和．
【答案】155．
【解析】设等差数列的公差为，则，解得，所以，所以由等差数列的求和公式可得前10项和．故应填155．
【考点】等差数列的前项和．
三、解答题
1.数列的通项公式是．
（1）这个数列的第4项是多少？
（2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
（3）该数列从第几项开始各项都是正数？
【答案】（1）；（2）150是这个数列的第16项；（3）从第7项起各项都是正数．
【解析】（1）直接令即可求出这个数列的第4项；（2）要判断150是不是这个数列的项，可令，即，即可解出的取值，并检验是否满足题意即可；（3）要求出数列从第几项开始各项都是正数，只需令，即可求出的取值范围，即可求出所求结论．
试题解析：（1）当时，．
（2）令，即，解得或（舍去），即150是这个数列的第16项．
（3）令，解得或（舍）．所以从第7项起各项都是正数．
【考点】数列的函数特性．
2.已知二次函数，不等式的解集是．
（1）求实数和的值；
（2）解不等式．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）直接将代入方程，并由韦达定理即可求出，的值；（2）将（1）中，的值代入所求解不等式中，运用二次函数与一元二次不等式的关系即可求出所求的解集．
试题解析：（1）由不等式的解集是．
所以是方程的两根，
所以，，
所以，．
（2）不等式等价于，即，所以，所以．
所以不等式的解集为．
【考点】二次函数的性质．
3.（1）已知，求函数的最大值；
（2）已知，且，求的最小值．
【答案】（1）当且仅当时，；（2）当且仅当时，．
【解析】（1）首先运用换元法，令，然后将其代入中并整理得关于的函数，
再将关于的函数化简整理为基本不等式满足的条件，最后运用基本不等式即可求出其最大值，并写出其等号成立
的条件．（2）先灵活运用“1”，将两边同时乘以1即，然后整理化简并运用基本不等式可得其最小值，
并写出其等号成立的条件．
试题解析：（1）因为，所以．所以，令
，则，当且仅当时等号取得．故当且仅当时，；（2），当且仅当当时等号取得．故当
且仅当时，．
【考点】基本不等式的应用．
4.设是公比为正数的等比数列，，
（1）求的通项公式；
（2）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和．
【答案】（1）（n∈N*）；（2）．
【解析】（1）依题意可求得等比数列的公比，又因为，于是可求数列的通项公式；
（2）可求得等差数列的通项公式，利用分组求和的方法即可求得数列的前项和．
试题解析：（1）设为等比数列的公比，则由，得，即，
解得或（舍去），因此．所以的通项公式为（n∈N*）．
（2）因为是等差数列，，
所以．
【考点】数列求和；分组求和．
5.等差数列中，
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）的通项公式为；
（2）．
【解析】（1）先设出等差数列的公差为d，然后由等差数列的通项公式及已知可求得，首项和公差，进而求出数列的通项公式；
（2）将（1）中所求的的通项公式代入，即可求出数列的通项公式，再运用裂项相加法求出其
前项和即可．
试题解析：（1）设等差数列的公差为d，则由得：，解得．所以的通项公式为．
（2）因为，所以．
【考点】等差数列；裂项求和．
6.已知，满足约束条件，求的最小值．
【答案】2．
【解析】首先根据题意所给的约束条件作出其满足的可行域，并求出图中交点的坐标，然后根据即的图像知，当在点处取得最小值，最后将点代入目标函数中即可求出其最小值．
试题解析：作出约束条件满足的可行域，如下图所示．
由可得，．即．
因为，所以在点处取得最小值，即．
【考点】简单的线性规划．。