浙江省温州市2018届高三适应性测试(二模)数学试题(含答案)

2018年3月份温州市普通高中高考适应性测试数学试题班级 姓名一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}4021≤<=≤-=x x B x x A ，，则R ()C A B = （ ）A ．{}30≤<x xB ．{}43≤≤-x xC ．{}43≤<x xD ．{}03≤<-x x2．已知∈a R ，i 为虚数单位，且(1+a i )(1+i)为实数，则a ＝（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-23．已知b a ,为实数，:p 0=+b a ，0:22=+b a q ，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4．若变量,x y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的取值范围是（ ）A ．[]0,6B ．[]0,4C ．[)6,+∞D ．[)4,+∞5．在92)x -的展开式中，常数项是（ ） A ．39CB ．39C -C ．398CD ．398C -6．随机变量X 的分布列如右表所示，若1()3E X =，则(32)D X -= （ ）A ．9B ．7C ．5D ．37．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>中，F 为右焦点，B 为上顶点，O 为坐标原点，直线b y x a=交椭圆于第一象限内的点C ，若BFO BFC S S ∆∆=，则椭圆的离心率等于（ ）A．17 B．17C．13D1第13题图8．已知函数)(x f 与)('x f 的图象如图所示，则)()(x f e x g x=（ ）A ．在区间(0,1)上是减函数B ．在区间(1,4)上是减函数C ．在区间4(1,)3上是减函数D ．在区间4(,4)3上是减函数9．已知向量a ,b 满足|a |=1，且对任意实数,x y ，|a －x b |，|b －y a ||a +b |＝（ ） A．BCD10．已知线段AB 垂直于定圆所在的平面，,B C 是圆上的两点，H 是点B 在AC 上的射影，当C 运动时，点H运动的轨迹（ ） A ．是圆B ．是椭圆C ．是抛物线D ．不是平面图形二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．已知23,32a b ==，则,a b 的大小关系是 ，ab = .12．若c o s22c o s (),(0,)4παααπ=+∈，则si n 2α= ，tan α= .13．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是 cm 3,表面积是 cm 2. 14．若递增数列{}n a 满足：1a a =，22a a =-，22n n a a +=，则实数a 的取值范围为 ，记{}n a 的前n 项和为n S ，则2n S = .15．若向量,a b 满足22()||3+-==a b b a ，且||2b ≥，则a 在b 方向上的投影的取值范围是 .16．学校高三大理班周三上午四节、下午三节有六门科目可供安排，其中语文和数学各自都必须上两节而且两节连上，而英语，物理，化学，生物最多上一节，则不同的功课安排有 种情况. 17．已知2(),f x x ax =-|(())|2f f x ≤在[1,2]上恒成立，则实数a 的最大值为 .第8题图O三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.（本小题14分）如图，已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的图象与坐标轴交于点1,,(,0)2-A B C ，直线BC 交()f x 的图象于另一点D ，O 是∆ABD 的重心. （Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求∆ACD 的外接圆的半径．19.（本小题15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，CD AB //，90ABC ∠= ，ADP ∆是等边三角形，2AB AP ==，3BP =，AD BP ⊥.（Ⅰ）求BC 的长度；（Ⅱ）求直线C B 与平面ADP 所成的角的正弦值20.（本小题15分）已知函数21()()2==-+f x g x x ax （I ）若()y f x =在1x =处的切线与()y g x =也相切，求a 的值；（II ）若1a =，求函数()()y f x g x =+的最大值.第19题图第18题图21.（本小题15分）斜率为k 的直线交抛物线24x y =于,A B 两点，已知点B 的横坐标比点A 的横坐标大4，直线1y kx =-+交线段．．AB 于点R ，交抛物线于点,P Q . （I ）若点A 的横坐标等于0，求||PQ 的值； （II ）求||||PR QR ⋅的最大值.22.（本小题15分）设n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，满足222n n n S a a =+-.（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）若不等式2(1)4na n a t+≥+对任意正整数n 都成立，求实数t 的取值范围； （III ）设3ln(1)4n a n nbe+=(其中e 是自然对数的底数)，求证：12342n n b b b b b b ++++<. 第21题图2018年3月份温州市高考适应性测试数学参考答案及评分标准一、选择题：二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．a b >，1； 12．1，1； 13．23π，25+π； 14．213a <<，122n +-；15．3[,0)2-； 16．336种； 17．4173+ 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．解：（Ⅰ）∵ O 是∆ABD 的重心，1(,0)2-C ，∴ (1,0)A ， 故函数()f x 的最小正周期为3，即23πω=，解得23πω=，……………………3分 121()sin[()]sin()02323ππϕϕ-=⨯-+=-+=f ，∴ 3πϕ=……………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2()sin()33f x x ππ=+∴B 且1(,0)2-C ∴60∠= BCO ……………………8分∵ 1(,0)2-C 是BD 的中点， (1,D ∴- ……………………10分∴==AD ……………………11分∴22sin sin1203===∠ AD R ACD 6 ……………14分 19．解：（I ）取AD 中点F ，连,PF BF ，∵ADP ∆是等边三角形，∴PF AD ⊥ ……………2分又∵AD BP ⊥，∴AD ⊥平面PFB ，∵⊂BF 平面PFB ，∴BF AD ⊥ ……………4分2==∴AB BD ∴3=BC ……………6分（II ）∵AD ⊥平面PFB ，AD ⊂平面APD ，∴平面PFB ⊥平面APD ……………8分 作BG ⊥PF 交PF 为G ，则BG ⊥平面APD ，AD 、BC 交于H ，∠BHG 为直线C B 与平面P AD 所成的角 …………10分 由题意得PF =BF =3 又∵BP =3，∴∠GFB =30°，BG =23， …………………12分∵ 90=∠=∠BCD ABC ，∴CD =1，∴BH =sin BHG ∠=……………15分 20．解：（I）()f x ¢= ……3分……………………4分21(1)0,(1)k f f e ¢\===，\切线方程为21y e= ……………………………6分因为函数()y f x =在1x =处的切线与()y g x =也相切，2212a a e \=\=?7分 （II）21()()2=+=-+y f x g x x x1'∴=-+y x(1=+ ……………………9分(1= ……………………………………………10分 当(0,1)∈x ，0'>y 当(1,)∈+∞x ，0'<y()()∴=+y f x g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减 ……………13分 ∴max 211()(1)2==+f x f e ……………………………………………………15分 21．解：（I ）∵(0,0),(4,4)A B ， ∴1k =…………………………………………2分联立：2214404y x x x x y=-+⎧⇒+-=⎨=⎩ 设1122(,),(,)P x y Q x y，则12|||8PQ x x =-= …………………6分 （II ）设AB 的方程为y kx b =+代入24x y =，得：2440x kx b --=∵4B A x x -==，∴21k b =- …………………………………9分由1122R y kx b b kx y kx k =+⎧-⇒==⎨=-+⎩ ……………………………………………10分 联立：2214404y kx x kx x y=-+⎧⇒+-=⎨=⎩，∴12124,4x x k x x +=-=-，……11分则：212||||(1)()()R R PR QR k x x x x ⋅=-+--221212(1)[()]R Rk x x x x x x =-+-++222(1)(42)4k k k =-+-++……………………13分2297625()418144k =--+∴当6k =±||||PR QR ⋅的最大值等于625144……………………15分22．解：（I ）222-+=n n n a a S ，()2221211≥-+=---n a a S n n n两式相减得12122---+-=n n n n n a a a a a ，即01212=-----n n n n a a a a ，……………2分()()0111=--+∴--n n n n a a a a ，得()211≥=--n a a n n ，又由211122S a a =+-，得12a =，1+=∴n a n ………………………………………4分（II ）2(1)4n a n a t +≥+即为12(1)41n n t++≥++ 当1=n 时，22(1)42t+≥+，得803t -≤≤且2t ≠- ………………………6分下面证明当803t -≤≤且2t ≠-时，12(1)41n n t++≥++对任意正整数n 都成立。

当2n ≥时，10n t ++>1122(1)(1)11n n n t n ++∴+≥++++，又1n =时，上式显然成立。

故只要证明41211≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+++n n 对任意正整数n 都成立即可。