2014高考数学总复习(人教新课标理科)课时作业94 第11章 算法框图及推理与证明11含解析

课时作业（九十四）
1．若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则a＋错误!＋错误!的最大值
为( ）
A．1 B。

错误!
C.错误!D．2
答案C
解析方法一(a＋b＋c)2＝a＋b＋c＋2错误!＋2错误!＋2错误!
≤a＋b＋c＋（a＋b）＋（b＋c）＋(c＋a）＝3。

当且仅当a＝b＝c时取等号成立．
方法二柯西不等式:(a＋错误!＋错误!)2＝(1×错误!＋1×错误!＋1×
错误!）2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c）＝3.
2．设a,b∈R，若a2＋b2＝5，则a＋2b的最大值为( A．2 B．3
C．4 D．5
答案D
解析方法一设a＋2b＝t，
则a＝t－2b，代入a2＋b2＝5.
得（t－2b)2＋b2＝5。

∴5b2－4tb＋t2－5＝0。

由Δ＝16t2－20(t2－5)≥0，
得t2≤25，∴t≤5。

方法二由柯西不等式，得
（a2＋b2）（12＋22)≥（a＋2b）2.
因为a2＋b2＝5，
所以（a＋2b)2≤25，
即－5≤a＋2b≤5。

当且仅当b＝2a且a2＋b2＝5时等号成立，故选D。

3．已知关于x的不等式2x＋错误!≥7在x∈（a,＋∞）上恒成立,则实数a的最小值为________．
答案错误!
解析2x＋错误!＝2(x－a）＋错误!＋2a≥2错误!＋2a＝2a＋4≥7，∴a≥错误!。

4．若不等式|a－1|≥x＋2y＋2z，对满足x2＋y2＋z2＝1的一切实数x、y、z恒成立，则实数a的取值范围是________．答案a≥4或a≤－2
解析由柯西不等式，得(x＋2y＋2z)2≤(12＋22＋22)（x2＋y2＋z2)＝9，由题意｜a－1|≥3，
∴a≥4或a≤－2.
5．把一条长是m的绳子裁成三段,各围成一个正方形，则这三个正方形的面积和的最小值为________．
答案错误!
解析设三段的长度分别为x，y,z,则x＋y＋z＝m,三个正方形的面积和为S＝(错误!）2＋(错误!）2＋（错误!）2＝错误!(x2＋y2＋z2）．因为(x2＋y2＋z2）（12＋12＋12）≥(x＋y＋z)2＝m2,
当且仅当x＝y＝z＝错误!时等号成立．
所以x2＋y2＋z2有最小值错误!，从而S有最小值错误!.
6．设a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，则ab2c＋abc2的最大值为________．
答案
27 1 024
解析ab2c＋abc2＝abc（b＋c)＝错误!(3a）(2b)(2c）·（b＋c)≤错误!
[3a＋b＋c
4
］4＝错误!.
当且仅当a＝错误!，b＝c＝错误!时取等号．7．若log x y＝－2，求x＋y的最小值．
解析由log x y＝－2，得y＝错误!。

而x＋y＝x＋1
x2＝错误!＋错误!＋错误!≥3错误!＝3错误!＝错误!，当且仅当
错误!＝错误!即x＝错误!时取等号．所以x＋y的最小值为错误!。

8．已知实数a、b、c、d满足a2＋b2＝1，c2＋d2＝2，求ac＋bd 的最大值．
解析∵(ac＋bd)2＝（ac)2＋（bd)2＋2abcd
≤（ac)2＋（bd)2＋（ad）2＋(bc）2＝(a2＋b2）（c2＋d2)＝2,
∴｜ac＋ad｜≤错误!,即－错误!≤ac＋bd≤错误!.
9．已知x，y，z均为正数．求证：错误!＋错误!＋错误!≥错误!＋错误!＋
错误!.
证明因为x，y，z均为正数，所以错误!＋错误!＝错误!（错误!＋错误!）
≥2
z,同理可得错误!＋错误!≥错误!，错误!＋错误!≥错误!，当且仅当x＝y＝z时，
以上三式等号都成立,将上述三个不等式两边分别相加,并除以2,得
错误!＋错误!＋错误!≥错误!＋错误!＋错误!.
10．已知实数x、y、z满足x2＋4y2＋9z2＝a（a〉0),且x＋y＋z 的最大值是1，求a的值．
解析由柯西不等式，得
[x2＋（2y)2＋（3z)2］[12＋（错误!)2＋(错误!）2]≥(x＋错误!×2y＋错误!×3z)2
（当且仅当x ＝4y ＝9z 时取等号）．
因为x 2＋4y 2＋9z 2＝a （a 〉0）,
所以4936
a ≥(x ＋y ＋z ）2，即－错误!≤x ＋y ＋z ≤错误!. 因为x ＋y ＋z 的最大值是1，所以错误!＝1,a ＝错误!.
所以当x ＝错误!，y ＝错误!,z ＝错误!时，x ＋y ＋z 取最大值1。

所以a 的值为错误!。

11．（2013·衡水调研卷)已知实数m ,n 〉0。

（1）求证：错误!＋错误!≥错误!;
（2)求函数y ＝2x
＋错误!〔x ∈（0，错误!)〕的最小值． （1)证明 因为m ，n >0，利用柯西不等式,
得(m ＋n ）(错误!＋错误!）≥（a ＋b ）2，
所以错误!＋错误!≥错误!.
（2)解析 由（1）,函数y ＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!≥错误!＝25， 所以函数y ＝错误!＋错误!〔x ∈（0，错误!）〕的最小值为25，当且仅当x ＝错误!时取得．
12．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5,试求a 的最值．
解析由柯西不等式，得
（2b2＋3c2＋6d2)错误!≥（b＋c＋d）2，
即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d）2,由条件，
可得5－a2≥（3－a)2,
解得1≤a≤2，当且仅当错误!＝错误!＝错误!时等号成立，
即当b＝错误!，c＝错误!，d＝错误!，a max＝2；b＝1，c＝错误!，d＝错误!时,a min＝1。

13．(2012·福建理）已知函数f(x)＝m－｜x－2|，m∈R，且f(x ＋2）≥0的解集为［－1,1]．
（1)求m的值；
（2)若a,b,c∈R，且错误!＋错误!＋错误!＝m，求证:a＋2b＋3c≥9.
解析(1）因为f（x＋2）＝m－｜x|，所以f(x＋2)≥0等价于|x|≤m,由|x｜≤m有解，得m≥0，且其解集为
{x|－m≤x≤m｝．
又f（x＋2）≥0的解集为［－1,1]，故m＝1。

（2）由（1)知错误!＋错误!＋错误!＝1，又a，b,c∈R＋，由柯西不等式，得
a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c）（错误!＋错误!＋错误!)≥（错误!·错误!＋错误!·错误!＋错误!·错误!）2＝9。