《高等代数》二次型

1
c1
S
0
0 1
d1
1
T
cr
1
1
0
0
1
dr
1
1
这里 ci , di 分别表示复数 ci , di 的一个平方根.
那么 S S, T T，而
SPAPS
T
QBQT
Ir O
O O
二次型（1）定义了一个函数 型也叫n 个变量的二次型.
q 所: F以nn元F二. 次
在（1）中令 aij a ji (1 i, j n因) . 为 xi x j 所x以j xi , （1）式可以写成以下形式：
nn
（2） q( x1, x2 ,, xn )
aij xi x j , aij a ji
实二次型的惯性定律.
复数域和实数域上的二次型分别叫做复二次型 和实二次型.
9.2.1 复二次型的典范形
定理9. 2. 1 复数域上两个n阶对称矩阵合同的充分 且必要条件是它们有相同的秩. 两个复二次型等价 的充分且必要条件是它们有相同的秩.
证 显然只要证明第一个论断. 条件的必要性是明显的. 我们只要证条件的充
9.1.2 线性变换
如果对二次型（3）的变量施行如下的一个变换：
n
（4） xi pi j y j , i 1,2,, n, pij F (1 i, j n)
i 1
那么就得到一个关于 y1, y2 ,, yn 的二次型
q( y1, y2 ,, yn )
（4）式称为变量的线性变换，令 P ( pij ) 是（4） 的系数据构成的矩阵，则（4）可以写成
性变换将 q 变为 q，则B与A 合同. 反之，设B与A 合同. 于是存在F上非奇异矩阵P 使得 B PAP. 通过以P为矩阵的非奇异线性变换就将 q 变为 q.
F上两个二次型叫等价，如果可以通过变量的 非奇异线性变换将其中一个变成另一个.
定理9.1.3 数域F上两个二次型等价的必要且充分条 件是它们的矩阵合同。
i1 j1
令A (aij ) 是（2）式右端的系数所构成的矩阵,称
为二次型 q( x1, x2 ,, xn ) 的矩阵。因为 aij a ji ,
所以A是F上的一个n 阶对称矩阵，利用矩阵的乘法，
（2）式可以写成
（3）
x1
q(
x1
,
x2
,,
xn
)
(
x1
,
x2
,,
xn
)
A
x2
xn
二次型（3）的秩指的就是矩阵A的秩。
加到第三行，同时把 P的1 第一列乘以2加到第三列。
分别得到：
3 0 0 0
A2
0
0 0
0 0 3
0 0 4
034 ,
0 1 0 0
P2
1 0 0
0 0 0
2 1 0
0 10
把 A2的第四列加到第二列，第四行加到第二 行，同时把 P2和第四列加到第二列，得
3 0 0 0
A3
0
0 0
第九章 二次型
9.1 二次型和对称矩阵 9.2 复数域和实数域上的二次型 9.3 正定二次型 9.4 主轴问题 9.5 双线性函数
我思故我在。
-----笛卡儿(Rene Descartes， 1596-1650)
如果我能够看的更远，那是因为我站在巨人 的肩上。
--- 牛顿（Newton,1642－1727）
（5）
x1 y1
x2
xn
P
y2
yn
将（5）代入（3）就得到
y1
（6）
q(
y1
,
y2
,,
yn
)
(
y1 ,
y2
,,
yn
)PAP
y2
yn
矩阵P称为线性变换（4）的矩阵。如果P是非奇异
的，就称（4）是一个非奇异线性变换。因为A是
对称矩阵，所以 (PAP) PAP PAP. PAP
j 行，就可以把第一行第 j 列和第 j 行第1列位置的
元素变成零。
这相当于用
T1
j (
a1 j a11
)
右乘A，用
T
j1
(
a1 j a11
)
T1
j
(
a1 j a11
)
左乘A。这样，总可以选取初等矩阵 E1, E2,, Es, 使得
a11 0 0
Es E2 E1 AE1E2 Es
0
0
0 0
0 0
8 3
2
2
3 2
,
0
1
2 3
1 2
1 0 2 0
P4
0
0
1
0
0
1
2 3
1 2
最后，以 －3/4 乘 A4的第三列加到第四列上, 再以－3/4 乘第三行加到第四行上，并且对 p4的列
施行同样的初等变换，我们得到
3 0 0 0
A5
0 0 0
6 0 0
0
8 3
0
0 0 0
c1 y12 c2 yn2 cn yn2 , c1, c2 ,, cn F
例如，以例 1 中对称矩阵A为矩阵的二次型是
q( x1, x2 , x4 ) 3x22 12x32 6x1x4 12x2 x3 8x3 x4
通过变量的非奇异线性变换
0 1 2
x1 x2 x3 x4
,
0 1
2 3
1
1
P5
0
0 0
2 1
3 2
3 4
0
1
3 4
0
取 P P5。于是
3 0 0 0
0 6 0 0
PAP
0
0
0 0
8 3 0
0 0
9.1.4 二次型的标准形
nn
定理9.1.5 数域F上每一个n元二次型
aij xi x j
i1 j1
可以通过变量的非奇异线性变换化为：
也是对称矩阵。
nn
定理9.1.1 设
aij xi x j 是数域F上的一个以A为
i1 j1
矩阵的n元二次型。对它的变量施行一次以P为矩
阵的线性变换后所得到的二次型的矩阵是 PAP 。
推论9.1.2 一个二次型的秩在变量的非奇异线性变 换之下保持不变。
注意: 如果不取二次型的矩阵是对称矩阵，则推论 9.1.2不成立
x2 0 1 - 1 y2
x3
0
0
1
y3
9.2 复数域和实数域上的二次型
一.内容分布 9.2.1 复二次型的典范形 9.2.2 实二次型的典范形
二.教学目的 1．掌握复二次型的典范形、实二次型的典范形、
实二次 型的惯性指标.、符号差等概念。
2．掌握实二次型的惯性定律. 三.重点、难点：
③ 传递性：如果 B 与 A 合同，C 与 B 合同，那么C 与 A 合同。
事实上，由 PAP B 和 QBQ C 可得
(PQ) A(PQ) QPAPQ QBQ C 合同的矩阵显然有相同的秩，并且与一个对 称矩阵合同的矩阵仍是对称的.
设q 和 q 是数域F上两个n 元二次型，它们的
矩阵分别为A 和 B. 如果可以通过变量的非奇异线
A1
这里 A1是一个n – 1阶的对称矩阵。
由归纳法假设，存在n – 1阶可逆矩阵 Q1使得
c2
0
Q1 A1Q1
c3
0
cn
取
1 0 0
Q
0 0
Q1
P E1E2 EsQ
那么
PAP QEs E2 E1 AE1E2 EsQ
a11 0 0
a11 0
0
Q
0 0
(a) 设A的主对角线上元素不全为零，例
如，aii 0.如果i ≠ 1，那么交换A的第1列与第I 列，
再交换第1行与第i行，就可以把 换到aii左上角。这
样就相当于初等矩阵
P1i ,右再乘用 A
不AP的1等i 第于1P零列1i.左加因到乘此第A，. 于j我列是们，不再P妨1用i A设P的1aiaa1左1111j乘上0，第角用1的行元加素到aa11乘1j第
9.1.3 矩阵的合同
定义2 设A，B是数域F上的两个n 阶矩阵。如果存
在F上的一个非异矩阵P，使得 PAP B
那么称B与A合同。
矩阵的合同关为IAI=A ② 对称性：如果B与A合同，那么A也与B合同，因为 由 PAP B 可以得出
(P 1 )BP1 (P)1BP1 A
f x1, x2 , x3 x1
x2
x3
1 4
2 3 x1 5 6 x2
7
8
9
x3
练习2 写出对应下列方阵的二次型
1 1
1 2
2 3
2 3 4
练习3 已知二次型
f x1, x2 , x3 x12 2x22 2x1x2 2x1x3
试对它作如下非奇异线性变换
x1 1 - 1 2 y1
分性. 设A，B是复数域上两个n阶对称矩阵，且A与
B有相同的秩r ，由定理9.1.2，分别存在复可逆矩 阵P和Q，使得
c1
0
c2
PAP
cr
0
0
0
d1
0
d2
QBQ
dr
0
0
0
当r 0时, ci 0, di 0, i 1,2,, r 取 n 阶复矩阵
9.1 二次型和对称矩阵
一.内容分布 9.1.1 二次型及矩阵 9.1.2 线性变换 9.1.3 矩阵的合同 9.1.4 二次型的标准形
二.教学目的 1.掌握二次型及其矩阵的定义 以及矩阵的合同 2.理解关于二次型的线性变换 3.了解二次型的标准形
三.重点难点: 合同、线性变换、二次型的标准形
9.1.1 二次型及矩阵
1 0
0
0 0 1
3 2
1 2 3
化为
3 y12
6 y22
8 3
y32 .
1
3 2
y1 y2
3 4
y3 y4
0
例2 分别用配方法和合同变换法化二次型
f ( x1, x2 , x3 ) 2x1x2 2x1x3 6x2 x3
成标准形. (读者答题）
练习1 写出下列二次型的矩阵
注意 在定理 9.1.2的主对角形矩阵 PAP中，主对
角线上的元素 c1, c2,, cn的一部分甚至全部可以是
零。显然，不为零的 ci的个数等于A的秩，如果秩
A等于r > 0，那么由定理的证明过程可以知
c1, c2 ,, cr 0, 而cr1 cr2 cn 0
给了数域 F 上一个n 阶对称矩阵A， 由定理 9.1.2的证明过程还可以看出，我们可以具体求出一
定义1 设F是一个数域，F上n元二次齐次多项式
（1） q( x1, x2 ,, xn ) a11x12 a22x22 ann xn2
2a12x1 x2 2a13x1 x3 2an1,n xn1 xn
叫做F上的一个n 元二次型。
F 上n 元多项式总可以看成 F 上的n 个变量的函数，
6 4 3
4 0 4
034 ,
0 1 0 0
P3
1
0 0
0 0 1
2 1 0
0 10
以 2/3 和 －1 /2 乘 A3的第二列依次回到第三 列和第四列上, 再以 2/3 和－1 /2 乘第二行依次加到
第三行和第四行上，同时对 P3的列施行同样的初
等变换。得
3 0 0 0
0 6 0 0
A4
角形矩阵。同时对单位矩阵 I4，施行同样的初等变
换而得出P。
交换A第一列和第二列，第一行和第二行，同
时交换 I4的第一列和第二列。这时A和 I4分别化
为：
3 0 6 0
A1
0 6 0
0 0 3
0 12 4
034 ,
0 1 0 0
P1
1 0 0
0 0 0
0 1 0
0
0 1
把 A1的第一列乘以2加到第三列，第一行乘以2
A1
Q
0 0
Q1 A1Q1
c1
0
c2
0
cn
这里 c1 a11 。
(b) 如果 aii 0, i 1,2, ,.n由于A≠O，所以一
定有某一个元素 aij 0, i .j 把A的第 j 列加
到第 i列, 再把第 j 行加到第 i行, 这相当于初等矩阵 Tji (1)右乘A . 再用 Tij (1) Tji (1左) 乘A. 而经过这样 的变换后所得到的矩阵第 i行第 j 列的元素 是 2aij 0. 于是由情形（b）就归结到情形（a）.
Pij Pi j; Di (k) Di (k); Tij (k) Tij (k)
现在对矩阵A的阶n作数学归纳法，n = 1时
定理显然成立。设n > 1，并且假设对于n – 1阶
对称矩阵来说，定理成立设。A (aij ) 是一个n阶矩
阵.如果A = O，这时A本身就是对角形式。A O
设
,我们分两种情形来考虑.
等价的二次型具有相同的秩。
定理9.1.4 令A (aij是) 数域F上的一个n阶对称矩阵。
总存在F上一个n阶非奇异矩阵P，使得
c1
0
PAP
c2
0
cn
即F上的一个n阶对称矩阵都与一个对角形式矩阵合
同。
证 我们将利用矩阵的初等变换来证明这个定 理。回忆一下5.2里所定义的三种初等矩阵 Pi j , Di (k)和Tij (k)容易看出，
个可逆矩阵P，使 PA有P 对角形式，只要在对A
施行一对列初等变换和行初等变换的同时，仅对n 阶单位矩阵 I 施行同样的列初等变换，那么当A化 为对角形式时，I 就化为P。
例1 设
0 0 0 3
A
0 0 3
3 6 0
6 12 4
0
4 0
我们按定理9.1.2所给出的方法对A施行行和列
初等变换，将A变成 PAP，使得 PAP是一个对