余弦定理ppt课件
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
边.
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
b 2 a 2 c 2 2ac cos B
c 2 a 2 b 2 2ab cos C
利用余弦定理可以解决：
b2 c2 a 2
cos A
2bc
a 2 c2 b2
cos B
2ac
a 2 b2 c2
3
3．△ABC 的三内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c，设
向量 p ＝(a＋c，b)， q ＝(b－a，c－a)，若 p ∥ q ，则 C 的大
小为( A )
π
π
π
2π
A.
B.
C.
D.
6
3
2
3
三 判断三角形的形状
例3：设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.
若 bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC 的形状为（ ）
C．( 8，10)
D．( 10，8)
谢 谢 பைடு நூலகம் 看
B.-1
C.1
D.−
B
）
跟踪训练
1、△ABC 中，若 a:b:c＝3:5:7，则这个三角形的最
大内角为( C )
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
二
例2
利用余弦定理进行边角互化
在△ 中，，，分别是内角，，的对边，且
= + + ，则角的大小为（ D ）
A.
B.
C.
D.
跟踪训练
1. 在△ABC中，已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc，则角A= ( B )
A. 30°
B. 60°
C. 120°
D. 150°
2. 若△ABC的内角A, B, C所对的边a, b, c满足(a+b)2-c2=4，且
4
C=60°，则ab=________.
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
a2＋b2－c2
a2＋c2－b2 2a2
解析：bcosC＋ccosB＝b×
＋c×
＝
2a
2ab
2ac
＝a＝asinA，
π
sinA＝1，A＝ .△ABC 为直角三角形．故选 A.
2
跟踪训练
1．在△ABC 中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC 的形状
[错解]
∵△ABC 是钝角三角形且 C 是最大角，
∴C>90°，
a2＋b2－c2
∴cosC<0，∴cosC＝
<0，
2ab
∴a2＋b2－c2<0，即 1＋4－t2<0.
∴t2>5.又 t>0，∴t> 5，
即 t 的取值范围为( 5，＋∞)．
[辨析]
错解忽略了三角形中两边之和大于第三边
这个隐含条件，导致 t 的取值范围变大．
cos C
2ab
（1）已知两边及其夹角求第三边；
（2） 已知三边求夹角.
一般地，三角形的三个角A, B, C和它们的对边a, b, c叫做三角
形的元素. 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角
形.
1. 在△ABC中，已知a=5, b=7, c=8，则A+C=( B )
A. 90°
B. 120°
因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，所以我们可以
A
考虑用向量的数量积来研究.
C
B
在△ABC中，三个角A, B, C所对的边分别是a, b, c，已知a,
b和C，求c.
解：如图示,设CB a ,CA b ,AB c ,则 c a b，
∴c 2 (a b )2 a 2 b 2 2a b
2bc
2
2
2
b
C
A
设a是最长的边，则
△ABC是钝角三角形
b c a 0
△ABC是锐角三角形
b c a 0
△ABC是直角三角形
b2 c 2 a 2 0
2
2
2
2
2
2
a
c
B
2、 在钝角三角形 ABC 中，a＝1，b＝2，c＝t，且
C 是最大角，则 t 的取值范围是________．
正三角形
为__________．
2、如果把 △ 的三边，，的长度都增加（ > ），
则得到的新三角形的形状为（ A ）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.由增加的长度决定
2、已知锐角三角形的边长分别为 1,3，a，则 a 的取
值范围是( B
)
A．(8,10)
B．( 8， 10)
C.
D.3
余弦定理与勾股定理的关系：
如果△ABC中有一个角是直角, 例如C=90°, 这时cosC=0. 由
余弦定理可得c2=a2+b2，这就是勾股定理.
由此可见，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余
弦定理的特例.
思考2：由推论我们能判断三角形的角的情况吗?
b c a
推论：cos A
C. 135°
D. 150°
.△ 的内角，，的对边分别为，，.已知＝3，＝
2，cos（
+ ）＝ ，则＝（
A.
B.
C.4
C
）
D.
.△ 的内角，，的对边分别为，，.若＝2，＝
，cos ＝
A.
B.2
，且
< ，则＝（ B ）
余弦定理：
三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这
两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
b 2 a 2 c 2 2ac cos B
c 2 a 2 b 2 2ab cos C
利用余弦定理，可以由三角形的两边及其夹角直接求出第三
第二章
平面向量及其运用
6.1 余弦定理
余弦定理
我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.
这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的. 也就是说，
三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示. 那么，
表示的公式是什么？
探究： 如图示，在△ABC中，三个角A, B, C所对的边分别
是a, b, c，怎样用a, b和C表示c？
[正解]
在原解答 t> 5后面添上：∵三边形两边之和
大于第三边，∴a＋b>c，即 t<3，∴ 5<t<3，
∴t 的取值范围是( 5，3)．
一、利用余弦定理解三角形
例1
在△ 中，角，，所对的边分别为，，，若
= ， = ， = ，则在方向上的投影数量为（
A.
a 2 b 2 2 | a | | b | cos C C
A
B
∴ c 2 a 2 b 2 2ab cos C .
2
2
2
a
b
c
2bc cos A.
同理可得
b 2 a 2 c 2 2ac cos B .
于是，我们就得到了三角形中边角关系的一个重要定理—余
弦定理.
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
b 2 a 2 c 2 2ac cos B
c 2 a 2 b 2 2ab cos C
利用余弦定理可以解决：
b2 c2 a 2
cos A
2bc
a 2 c2 b2
cos B
2ac
a 2 b2 c2
3
3．△ABC 的三内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c，设
向量 p ＝(a＋c，b)， q ＝(b－a，c－a)，若 p ∥ q ，则 C 的大
小为( A )
π
π
π
2π
A.
B.
C.
D.
6
3
2
3
三 判断三角形的形状
例3：设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.
若 bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC 的形状为（ ）
C．( 8，10)
D．( 10，8)
谢 谢 பைடு நூலகம் 看
B.-1
C.1
D.−
B
）
跟踪训练
1、△ABC 中，若 a:b:c＝3:5:7，则这个三角形的最
大内角为( C )
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
二
例2
利用余弦定理进行边角互化
在△ 中，，，分别是内角，，的对边，且
= + + ，则角的大小为（ D ）
A.
B.
C.
D.
跟踪训练
1. 在△ABC中，已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc，则角A= ( B )
A. 30°
B. 60°
C. 120°
D. 150°
2. 若△ABC的内角A, B, C所对的边a, b, c满足(a+b)2-c2=4，且
4
C=60°，则ab=________.
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
a2＋b2－c2
a2＋c2－b2 2a2
解析：bcosC＋ccosB＝b×
＋c×
＝
2a
2ab
2ac
＝a＝asinA，
π
sinA＝1，A＝ .△ABC 为直角三角形．故选 A.
2
跟踪训练
1．在△ABC 中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC 的形状
[错解]
∵△ABC 是钝角三角形且 C 是最大角，
∴C>90°，
a2＋b2－c2
∴cosC<0，∴cosC＝
<0，
2ab
∴a2＋b2－c2<0，即 1＋4－t2<0.
∴t2>5.又 t>0，∴t> 5，
即 t 的取值范围为( 5，＋∞)．
[辨析]
错解忽略了三角形中两边之和大于第三边
这个隐含条件，导致 t 的取值范围变大．
cos C
2ab
（1）已知两边及其夹角求第三边；
（2） 已知三边求夹角.
一般地，三角形的三个角A, B, C和它们的对边a, b, c叫做三角
形的元素. 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角
形.
1. 在△ABC中，已知a=5, b=7, c=8，则A+C=( B )
A. 90°
B. 120°
因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，所以我们可以
A
考虑用向量的数量积来研究.
C
B
在△ABC中，三个角A, B, C所对的边分别是a, b, c，已知a,
b和C，求c.
解：如图示,设CB a ,CA b ,AB c ,则 c a b，
∴c 2 (a b )2 a 2 b 2 2a b
2bc
2
2
2
b
C
A
设a是最长的边，则
△ABC是钝角三角形
b c a 0
△ABC是锐角三角形
b c a 0
△ABC是直角三角形
b2 c 2 a 2 0
2
2
2
2
2
2
a
c
B
2、 在钝角三角形 ABC 中，a＝1，b＝2，c＝t，且
C 是最大角，则 t 的取值范围是________．
正三角形
为__________．
2、如果把 △ 的三边，，的长度都增加（ > ），
则得到的新三角形的形状为（ A ）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.由增加的长度决定
2、已知锐角三角形的边长分别为 1,3，a，则 a 的取
值范围是( B
)
A．(8,10)
B．( 8， 10)
C.
D.3
余弦定理与勾股定理的关系：
如果△ABC中有一个角是直角, 例如C=90°, 这时cosC=0. 由
余弦定理可得c2=a2+b2，这就是勾股定理.
由此可见，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余
弦定理的特例.
思考2：由推论我们能判断三角形的角的情况吗?
b c a
推论：cos A
C. 135°
D. 150°
.△ 的内角，，的对边分别为，，.已知＝3，＝
2，cos（
+ ）＝ ，则＝（
A.
B.
C.4
C
）
D.
.△ 的内角，，的对边分别为，，.若＝2，＝
，cos ＝
A.
B.2
，且
< ，则＝（ B ）
余弦定理：
三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这
两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
b 2 a 2 c 2 2ac cos B
c 2 a 2 b 2 2ab cos C
利用余弦定理，可以由三角形的两边及其夹角直接求出第三
第二章
平面向量及其运用
6.1 余弦定理
余弦定理
我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.
这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的. 也就是说，
三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示. 那么，
表示的公式是什么？
探究： 如图示，在△ABC中，三个角A, B, C所对的边分别
是a, b, c，怎样用a, b和C表示c？
[正解]
在原解答 t> 5后面添上：∵三边形两边之和
大于第三边，∴a＋b>c，即 t<3，∴ 5<t<3，
∴t 的取值范围是( 5，3)．
一、利用余弦定理解三角形
例1
在△ 中，角，，所对的边分别为，，，若
= ， = ， = ，则在方向上的投影数量为（
A.
a 2 b 2 2 | a | | b | cos C C
A
B
∴ c 2 a 2 b 2 2ab cos C .
2
2
2
a
b
c
2bc cos A.
同理可得
b 2 a 2 c 2 2ac cos B .
于是，我们就得到了三角形中边角关系的一个重要定理—余
弦定理.