[整理]《数学分析》第五章导数与微分

[整理]《数学分析》第五章导数与微分
第五章导数与微分 (计划课时:1 2时)
§1 导数的概念 ( 2 时)
一．导数的背景与定义：
1．背景：曲线的切线、直线运动的瞬时速度. 2.
导数的定义: )(0x f '定义的各种形式. )0(f '的定义. 导数的记法.
有限增量公式: .0 ),( )(0→?
+?'=?x x x x f y 例1 ,)(2
x x f = 求). 1 (f '
例2 设函数)(x f 在点0x 可导, 求极限 .)
3()(lim
000
h
h x f x f h --→
3.
单侧导数: 定义. 单侧可导与可导的关系. 曲线的尖点.
例3 . )(x x f = 考查)(x f 在点0=x 的可导情况.
例4 设??
<≥-=.
0,
,0,
cos 1)(x x x x x f 讨论)(x f 在点0=x 处的左、右导数与导数.
二. 导数的几何意义:
可导的几何意义, 导数的几何意义, 单侧导数的几何意义. 例5 求曲线2
)(x x f y ==在点) 1 , 1 (处的切线与法线方程.
三. 可导与连续的关系:
Th1 若函数f 在点0x （左、右）可导，则f 在点0x （左、右）连续.
例6 证明函数)()(2
x D x x f =仅在点00=x 处可导,其中)(x D 为Dirichlet 函数.
四导函数: 函数在区间上的可导性, 导函数, 导函数的记法.
.)
()(lim )(0x
x f x x f x f x ?-?+='→?
(注意:x sin 等具体函数的导函数不能记为,n si x ' 应记为.)(sin 'x ) 例7 求下列函数的导数：⑴ ,)(n
x x f = ⑵x x f sin )(=，⑶x x f a log )(=.
五导函数的介值性:
1 极值的定义
例8 证明: 若,0)(0>'+x f 则),(,000δδ+∈??>?x x x ,有)()(0x f x f <. 2 取极值的必要条件: Th2 (Fermat 定理)
3 导函数的介值性:
引理 (导函数的介值性)若函数f 在闭区间],[b a 上可导, 且,0)()(<''-+b f a f 则
.0)( ),,( ='?∈?ξξf b a ( 证 )
Th3 (Darboux 定理)设函数)(x f 在区间],[b a 上可导且)()(b f a f '≠'. 若k 为介于
)(a f '与)(b f '之间的任一实数, 则.)( ),,(k f b a ='?∈?ξξ
(设),()(a f k b f '<<'对辅助函数kx x f x F -=)()(,应用系4的结果.) ( 证 ) Ex [1]P 94—95 1—9
§2 求导法则( 4时)
一导数的四则运算法则: 推导导数四则运算公式. (只证“?”和“÷”)
例1 .95)(2
3π+-+=x x x x f 求).(x f '
例2 .ln cos x x y = 求.|π='x y ( ). 1
π
-
例3 .122
x x y +-=
求.dx dy
例4 证明: . ,) (1+---∈-='Z n nx x
n n
( 用商的求导公式证明 ).
例5 证明: .csc ) ( ,sec ) (2
2
x ctgx x tgx -='=' 例6 证明:
.sec sec xtgx x dx
d
=. 二反函数的导数: 推导公式并指出几何意义.
例8 证明反三角函数的求导公式. ( 只证反正弦 ) Ex [1]P 102 1，2.
三复合函数的导数：推导复合函数的求导公式.
例9 设,sin 2
x y =求y '.
例10 设α为实数，求幂函数)0( ≥=x x y α
的导数. 解 (
).1ln ln -=?
=?
='='αααααα
α
x x
x x
e
e
y x
x
例11 ,1)(2+=
x x f 求 )0(f '和). 1 (f ' 例12 ),1ln(2++=x x y 求 .y '
例13 ,1
2
x
tg
y = 求 .y ' 四取对数求导法:
例14 设2
15312
)
4()2()4()5(++-+=
x x x x y , 求 .y '
例15 ().s i n ln x
x y = 求 .y '
例16 设)
()
(x v x u y =, 其中0)(>x u ,且)(x u 和)(x v 均可导, 求 .y '
五基本求导法则与公式:
1 基本求导法则.
2基本初等函数导数公式. 公式表: [1]P 101.
Ex [1]P 102 3，4.
§3 参变量函数的导数
1 设曲线C 的参变量方程为??
≤≤==)().
(),
(βαψ?t t y t x ,设函数)
( ),(t y t x ψ?==可导且
,0)(?≠'t ?.)
()(t t dx dy ?ψ''=
证:(证法一) 用定义证明.
（证法二）由,0)(?≠'t ?恒有0)(>'t ?或.0)(<'t ?)( t ??严格单调.
( 这些事实的证明将在下一章给出. ) 因此, )(t ?有反函数, 设反函数为x t (1
-=?), 有
()
,)()(1x t y -==?ψψ 用复合函数求导法, 并注意利用反函数求导公式. 就有
.)()(t t dt
dx dt dy
dx dt dt dy dx dy ?ψ''==?=
例1 .sin ,cos t b y t a x == 求
.dx
dy
2 若曲线C 由极坐标)(θρρ=表示,则可转化为以极角θ为参数的参数方程:
====.sin )(sin ,cos )(cos θθρθρθθρθρy x 则.tan )()()
(tan )(θ
θρθρθρθθρ-'+'=dx dy 例2 证明:对数螺线2θ
ρe =上所有点的切线与向径的夹角?为常量. Ex [1]P 105 1，2，3.
§4 高阶导数
一高阶导数:
定义: .)
()(lim
)(000
0x
x f x x f x f x ?'-?+'=''→?
()()
.)()( ,)()()1()('='
'=''-x f x f x f x f n n 注意区分符号)(0x f ''和().)(0''x f
高阶导数的记法.
二几个特殊函数的高阶导数:
1. 多项式: 多项式的高阶导数. 例1 求幂函数n
x y =(n 为正整数)的各阶导数. 例2. 正弦和余弦函数: 计算()) (sin n x 、()
)
(cos n x 、()
)
(sin n kx 、()
)
(cos n kx 的公式.
例3． x e 和kx
e 的高阶导数：例4．
x
1
的高阶导数：例5
)
)((1
b x a x ++的高阶导数：
例6 分段函数在分段点的高阶导数：以函数<-≥=.
0 ,,
0 ,)(2
2x x x x x f 求)(x f ''为例.
三高阶导数的运算性质: 设函数)(x u 和)(x v 均n 阶可导. 则1． ()).()()()
(x ku x ku n n =
2．
()).()()()()()()
(x v x u x v x u n n n ±=±
3．乘积高阶导数的Leibniz 公式：约定 ).()()
0(x u x u =
()
∑=-=n
k k k n k n n x v x u C x v x u 0
)()
()
().()()()( （介绍证法.）例7 ,cos x e y x
= 求 .)
5(y
解 ?====== .10 ,5 ,13
52545155505C C C C C C
).cos (sin 4)sin cos 5sin 10cos 10sin 5(cos )
5(x x e x x x x x x e y
x x -=-++--=
例8 ),(arctgx f y = 其中)(x f 二阶可导. 求
.2
2dx y
d 例9 验证函数x y arcsin =满足微分方程 ) 3 ( .0)12()1()(2)1() 2(2
≥=-+--++n y n xy n y x n n n
并依此求 ).0()
(n y
解 .11 ,1122
='--='y x x
y 两端求导,011 2
2=-'-
''-?x
y x y x 即
.0)1(2='-''-y x y x 对此式两端求n 阶导数, 利用Leibniz 公式, 有=---+-+-+++)
(1)1()(2)1(1)2(2)2()2()1(n n n n n n n n y C xy y C y x C y
x .0)12()1()(2)1()
2(2=-+--=++n n n y n xy n y
x
可见函数x y arcsin =满足所指方程. 在上式中令,0=x 得递推公式).(2)
2( n n y n y
=+
注意到 0)0(=''y 和 1)0(='y , 就有
k n 2=时, ;0)0()(=n y
12+=k n 时, )0(13)32()12()0(2222)(f k k y n '??--= [].!)!12(2 -=k
四. 参数方程所确定函数的高阶导数:
=''???? ??''=???
=)()()(22
t t t dt
dx dx dy dt d dx y d ??ψ().)()()()()(3
t t t t t ??ψ?ψ''''-''' 例6 .sin ,cos t b y t a x == 求
.2
2dx y
d 解 .c t g t a
b
dx dy -= .s i n 3
222t a b dx y d -== Ex [1]P 109 1—6.
§5 微分
一微分概念:
1. 微分问题的提出: 从求正方形面积增量的近似值入手，引出微分问题.
2. 微分的定义:
Th1 ( 可微与可导的关系 ).
3. 微分的几何意义:
二微分运算法则:
一阶微分形式不变性. 利用微分求导数. 微商. 例1 已知,cos ln 2
2
x x x y += 求dy 和 .y '
例2 已知,)
sin(b ax e
y += 求dy 和 .y '
三高阶微分：
高阶微分的定义： ()()=?'='==dx x f d dx x f d dy d y d )()()(2
.)())(()(2
2
dx x f dx x f dx dx x f ''=''=?''=
n 阶微分定义为1-n 阶微分的微分，即(
)
.)()(1
n n n n
dx x f y d
d y d ===-
（注意区分符号 )( ),0( ,)(2
2
2
2
x d
x d dx dx ==的意义.）例3 已知.)( ,sin )(2 x x u u u f y ====? 求 .2
y d
以例3为例, 说明高阶微分不具有形式不变性:
在例7中, 倘若以u y sin =求二阶微分, 然后代入2
x u =, 就有
;s i n 4)2(s i n )(s i n )()(s i n
2
2222222dx x x xdx x du u du u y d -=-=-=''= 倘若先把2
x u =代入u y sin =, 再求二阶微分, 得到
.sin 4cos 2)sin 4cos 2(sin 222222222222dx x x dx x dx x x x x d y d -=-==
可见上述两种结果并不相等. 这说明二阶微分已经不具有形式不变性. 一般地, 高阶微
分不具有形式不变性.
四微分的应用:
1. 建立近似公式: 原理: ,dy y ≈? 即 ).)(()()(000x x x f x f x f -'+≈ 特别当00=x 时, 有近似公式.)0()0()(x f f x f '+≈ 具体的近似公式如: x e x n
x x x x n +≈+≈+≈1 ,1
11 ,s i n
等. 2. 作近似计算: 原理: .)()()(00.
0x x f x f x x f ?'+=?+ 例4 求 97.0 和 3127的近似值.
例5 求
29sin 的近似值. ( 参阅[1]P 138 E4 ) 3．估计误差：
绝对误差估计：,)(0x x f y ?'≈?
相对误差估计： ),(ln ln ),0( )(?=>=x f y x f y
.)(ln x f d y
dy
y y =≈?
例6（ [1]P 138 E5 ）设已测得一根圆轴的直径为cm 43，并知在测量中绝对误差不超过
cm 2.0. 试求以此数据计算圆轴的横截面面积时所产生的误差.
4. 求速度: 原理: .)(
,)( ),(dt
dx x f dt dy dx x f dy x f y '='== 例7 球半径R 以sec 2.0cm 的速度匀速增大.求cm R 4=时,球体积增大的速度. [4]P 124 E53 ⅰ) Ex [1]P 116 1—5.。