2021届高考数学一轮温习 函数的奇偶性及周期性跟踪检测 理（含解析）新人教A版(1)

课时跟踪检测(六) 函数的奇偶性及周期性
第Ⅰ组：全员必做题
1．x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，那么函数f (x )＝x －[x ]在R 上为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．增函数
D ．周期函数
2．(2021·湖南高考)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，那么g (1)等于( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
3．(2021·长春调研)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1
x 2＋1，假设f (a )＝2
3，那么f (－a )＝( )
B ．－23
D ．－43
4．已知函数f (x )＝x |x |－2x ，那么以下结论正确的选项是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)
5．(2021·淄博一模)设概念在R 上的奇函数y ＝f (x )，知足对任意t ∈R ，都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
0，12时，
f (x )＝－x 2，那么
f (3)＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－32的值等于( )
A ．－12
B ．－13
C ．－14
D ．－15
6．假设偶函数y ＝f (x )为R 上的周期为6的周期函数，且知足f (x )＝(x ＋1)(x －a )(－3≤x ≤3)，那么f (－6)等于________．
7．已知f (x )，g (x )别离是概念在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12x ，那么f (1)，
g (0)，g (－1)之间的大小关系是______________．
8．设f (x )是概念在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝
⎩
⎪⎨⎪
⎧
ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .假设f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，那么a ＋3b 的值为________．
9．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )， 当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (3)的值；
(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图像与x 轴所围成图形的面积．
10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－x 2＋2x ，x >0，
0，x ＝0，
x 2
＋mx ，x <0
是奇函数．
(1)求实数m 的值；
(2)假设函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 第Ⅱ组：重点选做题
1．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，那么不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( )
A ．(1,3)
B ．(－1,1)
C ．(－1,0)∪(1,3)
D ．(－1,0)∪(0,1)
2．设函数f (x )是概念在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知
当x ∈[0,1]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
121－x ，那么：
①2是函数f (x )的周期；
②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；
④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12x －3.
其中所有正确命题的序号是________． 答 案
第Ⅰ组：全员必做题
1．选D 如图，当x ∈[0,1)时，画出函数图像， 再左右扩展知f (x )为周期函数．应选D.
2．选B 由已知可得，－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (1)＝4，两式相加解得，g (1)＝3. 3．选C 依照题意，f (x )＝
x 2＋x ＋1x 2＋1
＝1＋
x
x 2＋1
，而h (x )＝
x
x 2＋1
是奇函数，
故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝4
3
，应选C.
4．选C 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2－2x ，x ≥0，
－x 2－2x ，x <0，
画出函数f (x )的图像，如图，观看图像可知，函数f (x )的图像关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．
5．选C 由f (t )＝f (1－t )得f (1＋t )＝f (－t )＝－f (t )，因此f (2＋t )＝－f (1＋t )＝f (t )， 因此f (x )的周期为2. 又f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝0，
因此f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0－⎝ ⎛⎭
⎪⎫122＝－1
4.
6．解析：∵y ＝f (x )为偶函数，且f (x )＝(x ＋1)·(x －a )(－3≤x ≤3)， ∴f (x )＝x 2＋(1－a )x －a,1－a ＝0. ∴a ＝(x )＝(x ＋1)(x －1)(－3≤x ≤3)．
f (－6)＝f (－6＋6)＝f (0)＝－1.
答案：－1
7．解析：在f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12x 中，用－x 替换x ，得f (－x )－g (－x )＝2x ，由于f (x )，
g (x )别离是概念在R 上的奇函数和偶函数，
因此f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，因此得－f (x )－g (x )＝2x .于是解得f (x )＝2－x －2x
2
，
g (x )＝－2－x ＋2x 2，于是f (1)＝－34，g (0)＝－1，g (－1)＝－5
4
，故f (1)>g (0)>g (－1)．
答案：f (1)>g (0)>g (－1)
8．解析：因为f (x )是概念在R 上且周期为2的函数，因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12，且f (－1)＝
f (1)，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12，从而
1
2b ＋2
12
＋1＝－1
2
a ＋1，即3a ＋2
b ＝－2.①
由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋2
2
，
即b ＝－2a .②
由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10. 答案：－10
9．解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )得，
f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，
因此f (x )是以4为周期的周期函数， 因此f (3)＝f (3－4)＝－f (1)＝－1.
(2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x )．
故知函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称．
又0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图像关于原点成中心对称，那么－1≤x ≤0时，f (x )＝x ，那么f (x )的图像如下图．
当－4≤x ≤4时，设f (x )的图像与x 轴围成的图形面积为S ，那么S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12×2×1＝4.
10．解：(1)设x <0，那么－x >0， 因此f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，因此f (－x )＝－f (x )，
于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，因此m ＝2.
(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，
结合f (x )的图像知⎩⎪⎨
⎪⎧
a －2>－1，
a －2≤1，
因此1＜a ≤3，
故实数a 的取值范围是(1,3]． 第Ⅱ组：重点选做题 1．选C f (x )的图像如图．
当x ∈(－1,0)时，由xf (x )>0得x ∈(－1,0)；当x ∈(0,1)时，由xf (x )<0得x ∈∅； 当x ∈(1,3)时，由xf (x )>0得x ∈(1,3)． 故x ∈(－1,0)∪(1,3)．
2．解析：由已知条件：f (x ＋2)＝f (x )， 则y ＝f (x )是以2为周期的周期函数，①正确； 当－1≤x ≤0时0≤－x ≤1，
f (x )＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
121＋x ，
函数y ＝f (x )的图像如下图： 当3<x <4时，－1<x －4<0，
f (x )＝f (x －4)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12x －3，因此②④正确，③不正确．
答案：①②④。