2019年高考数学1轮复习(文科)训练题：天天练 24 Word版含解析

天天练24 不等式的性质及一元二次不等式
一、选择题
1．若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A ．ac >bd B ．ac <bd C ．ad <bc D ．ad >bc 答案：B
解析：根据c <d <0，有－c >－d >0，由于a >b >0，故－ac >－bd ，ac <bd ，故选B.
2．若a <b ，d <c ，并且(c －a )(c －b )<0，(d －a )(d －b )>0，则a ，b ，c ，d 的大小关系为( )
A ．d <a <c <b
B ．a <d <c <b
C ．a <d <b <c
D ．d <c <a <b 答案：A
解析：因为a <b ，(c －a )(c －b )<0，所以a <c <b ，因为(d －a )(d －b )>0，所以d <a <b 或a <b <d ，又d <c ，所以d <a <b .综上，d <a <c <b .
3．(2018·河南信阳月考)对于任意实数a ，b ，c ，d ，以下四个命题：
①若ac 2>bc 2，则a >b ；②若a >b ，c >d ，则a ＋c >b ＋d ；③若a >b ，
c >
d ，则ac >bd ；④若a >b ，则1a >1
b .其中正确的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 答案：B
解析：因为ac 2>bc 2，可见c 2≠0，所以c 2>0，所以a >b ，故①正确．因为a >b ，c >d ，所以根据不等式的可加性得到a ＋c >b ＋d ，故②正确．对于③和④，用特殊值法：若a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，
则ac ＝bd ，故③错误；若a ＝2，b ＝0，则1
b 无意义，故④错误．综上，正确的只有①②，故选B.
4．(2018·辽宁阜新实验中学月考)已知命题p ：x 2＋2x －3>0，命题q ：x >a ，若綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则实数a 的取值范围是( )
A ．[1，＋∞)
B ．(－∞，1]
C ．[－1，＋∞)
D ．(－∞，－3]
答案：A
解析：将x 2＋2x －3>0化为(x －1)(x ＋3)>0，所以命题p ：x >1或x <－3.因为綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，所以p 的一个充分不必要条件是q ，所以(a ，＋∞)是(－∞，－3)∪(1，＋∞)的真子集，所以a ≥1.故选A.
5．(2018·南昌一模)已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc >0，T ＝1a ＋1b ＋1
c ，则( )
A ．T >0
B ．T <0
C ．T ＝0
D ．T ≥0 答案：B
解析：通解 由a ＋b ＋c ＝0，abc >0，知三个数中一正两负，不
妨设a >0，b <0，c <0，则T ＝1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋ca abc ＝ab ＋c (b ＋a )
abc ＝ab －c 2abc
，因为ab <0，－c 2
<0，abc >0，所以T <0，故选B. 优解 取特殊值a ＝2，b ＝c ＝－1，则T ＝－3
2<0，排除A ，C ，D ，可知选B.
6．不等式x
2x －1
>1的解集为( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1 B ．(－∞，1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，2 答案：A
解析：原不等式等价于x
2x －1－1>0，即x －(2x －1)2x －1>0，整理得
x －12x －1
<0，
不等式等价于(2x －1)(x －1)<0，解得1
2<x <1.故选A. 7．(2018·河南洛阳诊断)若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞
B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－235，1 C ．(1，＋∞) D.⎝
⎛
⎦⎥⎤－∞，－235 答案：B
解析：由Δ＝a 2
＋8>0知方程恒有两个不等实根，又因为x 1x 2＝－2<0，所以方程必有一正根，一负根，对应二次函数图象的示意图
如图．所以不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是⎩
⎪⎨⎪⎧
f (5)≥0，
f (1)≤0，解得－
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5≤a ≤1，故选B.
8．不等式x 2－2x ＋m >0对一切实数x 恒成立的必要不充分条件是( )
A ．m >2
B ．0<m <1
C ．m >0
D ．m >1 答案：C
解析：当不等式x 2－2x ＋m >0对一切实数x 恒成立时，对于方程x 2－2x ＋m ＝0，Δ＝4－4m <0，解得m >1，所以m >1是不等式x 2－2x ＋m >0对一切实数x 恒成立的充要条件；m >2是不等式x 2－2x ＋m >0对一切实数x 恒成立的充分不必要条件；0<m <1是不等式x 2－2x ＋m >0对一切实数x 恒成立的既不充分也不必要条件；m >0是不等式x 2－2x ＋m >0对一切实数x 恒成立的必要不充分条件．故选C.
二、填空题
9．已知函数f (x )＝ax ＋b,0<f (1)<2，－1<f (－1)<1，则2a －b 的取值范围是________．
答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－32，52
解析：设2a －b ＝mf (1)＋nf (－1)＝(m －n )·a ＋(m ＋n )b ，则⎩
⎪⎨⎪⎧
m －n ＝2，m ＋n ＝－1，解得m ＝12，n ＝－32，∴2a －b ＝12f (1)－32f (－1)，∵0<f (1)<2，－1<f (－1)<1，∴0<12f (1)<1，－32<－32f (－1)<32，则－32<2a
－b <52.
10．(2018·江苏无锡一中月考)若关于x 的方程(m －1)·x 2＋(m －2)x －1＝0的两个不等实根的倒数的平方和不大于2，则m 的取值范围为________．
答案：{m |0<m <1或1<m ≤2}
解析：根据题意知方程是有两个根的一元二次方程，所以m ≠1且Δ>0，即Δ＝(m －2)2－4(m －1)·(－1)>0，得m 2>0，所以m ≠1且m ≠0.
由根与系数的关系得⎩⎨⎧
x 1＋x 2＝m －21－m
，
x 1
·x 2
＝1
1－m
，因为1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2
x 1x 2
＝m －
2，所以1x 21＋1x 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 22－2
x 1x 2
＝(m －2)2＋2(m －1)≤2，所以m 2－2m ≤0，所以0≤m ≤2.所以m 的取值范围是{m |0<m <1或1<m ≤2}．
11．(2018·内蒙古赤峰调研)在a >0，b >0的情况下，下面四个不等式：
①2ab a ＋b ≤a ＋b 2；②ab ≤a ＋b 2；③a ＋b 2≤ a 2＋b 22；④b 2a ＋a 2
b ≥a ＋b .
其中正确不等式的序号是________． 答案：①②③④
解析：2ab a ＋b －a ＋b 2＝4ab －(a ＋b )2
2(a ＋b )＝－(a －b )22(a ＋b )≤0，所以
2ab
a ＋b
≤a ＋b
2，故①正确；由基本不等式知②正确；⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22－a 2＋b 22＝－(a －b )24≤0，所以a ＋b 2≤ a 2＋b 22，故③正确；⎝ ⎛⎭⎪⎫b
2
a
＋a 2b －(a ＋b )＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2ab ＝(a 3－a 2b )＋(b 3－ab 2)ab ＝(a －b )2(a ＋b )ab ≥0，所以b 2a ＋a 2
b ≥a ＋b ，故④正确．综上所述，四个不等式全都正确．
三、解答题
12．已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.
(1)若对于x ∈R ，f (x )＜0恒成立，求实数m 的取值范围；
(2)若对于x ∈[1,3]，f (x )＜5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．
解：(1)由题意可得m ＝0或⎝ ⎛
m <0，
Δ＝m 2＋4m <0⇔m ＝0或－4＜m ＜0⇔－4＜m ≤0.
故m 的取值范围是(－4,0]．
(2)要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．
令g (x )＝m ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．
当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6＜0，
所以m ＜67，则0＜m ＜6
7； 当m ＝0时，－6＜0恒成立；
当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6＜0， 所以m ＜6，所以m ＜0.
综上所述：m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
m ⎪⎪⎪
m <67.。