图形的相似与位似

图形的相似与位似
一．选择题
．（湖北孝感，，分）在平面直角坐标系中，已知点（﹣，），（﹣，﹣），以原点为位
（）
，，解得：，．以，，为顶点的三角形与△相似，则点的坐标不可能是（ ）
. .[湖南邵阳，，分] 如图(四)所示，在△中，点、分别是、的中点，连结，若，则．
知识考点：三角形中位线定理. 审题要津：满分解答：解：∵点、分别是、的中点，∴是△的中位线.又，则.故答案为.
名师点评：本题考查了三角形中位线的性质，解题时注意数形结合思想的运用. A E D
．（·聊城，，分）如图，是△的边上一点，已知＝，＝．∠＝∠，若△的面积为，则△的面积为（）
．．．．
考点：相似三角形的判定与性质．
分析：首先证明△∽△，由相似三角形的性质可得：△的面积：△的面积为：，因为△的面积为，进而求出△的面积．
解答：解：∵∠＝∠，∠＝∠，∴△∽△，∴△的面积：△的面积为：，
∴△的面积：△的面积＝：，
∵△的面积为，∴△的面积为，故选．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，是中考常见题型．
．（•东营，，分）如果一个直角三角形的两条边长分别是和，另一个与它相似的直角三角形边长分别是、及，那么的值（）
．只有个．可以有个．可以有个．有无数个
答案：
解析：当直角边为，时，且另一个与它相似的直角三角形，也为直角边时，的值为，当，
．（·济宁，，分）如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为，到屏幕的距离为，且幻灯片中的图形的高度为，则屏幕上图形的高度为．
考点：相似三角形的应用．
分析：根据题意可画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答．
解答：
解：∵∥，∴△∽△∴
设屏幕上的小树高是，则解得．故答案为：．
点评：本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
. （•新疆（分）如图，△中，∥，，，，则的长是（ ）
【解析】∵∥，
∴△∽△，
则， ∵，，，
∴，
∴．
【方法指导】本题考查了相似三角形的判定和性质，难度一般，解答本题的关键是根据平行证明△∽△ .（四川绵阳，，分）如图，四边形是菱形，对角线，，⊥于点，且与交于，则（ ） ．2825cm ．2120cm ．2815cm ．2521cm ［解析］，，，△∽△， ，，， ，△∽△，
， ，。

.（四川内江，，分）如图，在▱中，为上一点，连接、，且、交于点，△：△：，则：（ ） H G O
D
C
B A 题图
边形的面积比为( )．
() 12 () 13 () 14 () 23
考点：相似三角形的性质。

，三角形的中位线
分析：利用相似三角形的判定和性质是解题的关键
解答：由是三角形的中位线，, ∥
∴△∽△∴三角形的相似比是：，∴△与△的面积之比为：．，则△的面积与四边形的面积比为13
, 故选
【解析】∵为圆的直径，∴∠°,即⊥。

∵平分∠，∴. ∴△是等腰三角形。

由题意得∠∠, ∠为公共角，∴△∽△, ∴
AE AB AC AD AC
AE AB AD ⋅=⋅=即,,∴·。

∴△是等腰三角形。

故只有不一定正确。

【方法指导】本题是以圆为背景 的几何证明题，涉及到的知道点等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质。

．（浙江台州，，分）如图，在△中，点，分别在边，上，且
2
1==AC AD AB AE ，则A D E S △：BCED S 四边形的值为（ ）
．：3 ． ． ．
【答案】：． 【解析】分别取、的中点、，连结，又∵2
1==AC AD AB AE ，易知，，易证△≌△（），由于为△的中位线，利用相似三角形的性质，易知:1:4A M N A B C S S ∆∆=，∴A D E S △：
BCED S 四边形. M N
【方法指导】本题考查中位线定理、证明三角形全等、相似三角形的面积比等于相似比的平方等知识点，解决本题时，通过作中位线构造全等三角形。

．（重庆，，分）已知△∽△，若△与△的相似比为︰，则△与△的面积之比为（ ） ．︰ ．︰ ．︰ ．︰
【答案】
【解析】解：△与△的相似比为︰，∴△与△的面积比为16
9)43(2=，即︰，故选． 【方法指导】本题考查了相似三角形的面积比与相似比的关系．相似三角形的对应边、对应高、对应周长比都等于相似比，而面积的比等于相似比的平方；反过来，相似图形对应边、对应高、对应周长的比都等于面积比的算术平方根．
【关键词】相似三角形 相似比
【易错警示】不要误认为面积比等于相似比的算术平方根．
．（四川雅安，，分） 如图，是△的中位线，延长至使＝，连接，则△∶四边形的值为（ ）
第题
．∶．∶．∶．∶
【答案】
【解析】易知△∶四边形＝∶，△＝△，所以△∶四边形＝∶．
【方法指导】本题考查的知识点有：三角形中位线的性质，相似三角形的性质，全等三角形的判定．虽有综合性，但难度不大．
二．填空题
．（白银，，分）如图，路灯距离地面米，身高米的小明站在距离灯的底部（点）米的处，则小明的影子长为米．
根据相似三角形的性质可知，即，
的面积的比是：．
．（贵州安顺，，分）在平行四边形中，在上，若：：，则：．
考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
分析：由题可知△∽△，然后根据相似比求解．
解答：解：∵：：
∴：：即：：
∵∥，
∴△∽△，
∴：：：．
∴：：．
点评：此题主要考查了平行四边形、相似三角形的性质．
.（湖南长沙，，分）如图，在⊿中，点，点分别是边，的中点，则⊿与⊿的周长之比等于 .
答案：
【详解】由于点、分别是、的中点，即是△的中位线，所以∥、且，所以△∽△，两三角形的周长比等于相似比，即为：。

.（四川巴中，，分）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网米的位置上，则球拍击球的高度为米．
，
．（贵州省六盘水，，分）如图，添加一个条件：∠∠（答案不唯一）
△∽△，（写出一个即可）
．（山东菏泽，，分）如图所示，在△中，，、分别是、的中点，动点在射线上，交于
点，∠的平分线交于，当1
3时，.
【答案】．
【解析】延长角射线于
.
∵、分别是、的中点，∴，即. ∴△∽△，∴1
23
132===CE CE CQ EQ BC EM ， 即26
=EM ，∴. ∵∠的平分线交于，∴∠∠，
∵，∴∠∠，
∴∠∠，∴，所以.
【方法指导】本题考查三角形相似、三角形中位线性质、角平分线意义等.本题是一道动点型问题，解题时要善于从“动中求静，联想关联知识”.
．（江苏泰州，，分）如图，平面直角坐标系中，点， 的坐标分别为（， ），(，)，则△' ' 是△关于点的位似图形，且'的坐标为(一, )，则点' 的坐标为
.
【答案】．5(,4)3-
【解析】∵△' ' 是△关于点的位似图形，且'的坐标为(一, )，∴'，即：'
：，根据相似
（第题）
三角形性质，△' '与△的过点' 与的高之比等于位似比：，∵（，），'
5
(,4) 3
.
【方法指导】两个位似图形对应点的连线必过位似中心，位似比等于对应高之比、等于相似比.
三．解答题
．（年佛山市，，分）网格图中每个方格都是边长为的正方形．
若，，，，，都是格点，
试说明△∽△．
分析：利用图形与勾股定理可以推知图中两个三角形的三条对应边成比例，由此可以证得△∽△．
解：证明：∵，，，，，，
∴，
∴△∽△．
点评：本题考查了相似三角形的判定、勾股定理．相似三角形相似的判定方法有：
（）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“”型和“”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形；
（）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
．（广东珠海，，分）如图，在△中，∠°，点为边上的一点，将线段绕点顺时针方向旋转（点对应点′），当旋转至′⊥时，点、、′恰好在同一直线上，此时作′⊥于点．
（）求证：∠∠；
（）求证：；
（）当，′时，求线段的长．
对应边成比例列式求出′，然后在△′中，利用勾股定理列式求解即可．
中，
（）解：∵，
在△′中，′，
），
于点．
（）求证：；
（）设，当为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积；
（）当矩形的面积最大时，该矩形以每秒个单位的速度沿射线匀速向上运动（当矩形的边到达点时停止运动），设运动时间为秒，矩形与△重叠部分的面积为，求与的函数关系式，并写出的取值范围．
∴∥，∴△∽△，∴
∵∥，∴△∽△，∴
∴．
∵∥，∴△∽△，∴，
∵∥，∴△∽△，∴
，即
∵∥，∴，即∵∥，∴，即
．么称这两个
三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为
逆相似。

例如，如图①，△～△’’’且沿周界与’’’’环绕的方向相同， 因此△ 与△’’’互为顺相似；如图②，△～△’’’，且沿周界与 ’’’’环绕的方向相反，因此△ 与△’’’互为逆相似。

() 根据图、图和图满足的条件，可得下列三对相似三角形：① △与△；
② △与△； ③△与△。

其中，互为顺相似的是 ；互为逆相似的是 。

(填写所有符合要求的序号)
() 如图③，在锐角△中，∠<∠<∠，点在△的边上(不与点、、重
合)。

过点画直线截△，使截得的一个三角形与△互为逆相似。

请根据点的不同位置，探索过点的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明 理由。

解析：
() ；● (分)
() 解：根据点在△边上的位置分为以下三种情况。

第一种情况：如图 ，点在(不含点、)上，过点只能画出条截线、 ，分别使∠∠，∠∠，此时△、△都与△互为逆相似。

第二种情况：如图 ，点在(不含点、)上，过点作∠∠，交 于点。

当点在(不含点)上时，过点只能画出条截线，使∠∠，此 时△与△互为逆相似；
当点在上时，过点只能画出条截线、，分别使∠∠，
∠∠
，此时△、△都与△互为逆相似。

第三种情况：如图●
，点在(不含点、)上，过点作∠∠，∠∠， 、分别交于点、。

当点在(不含点)上时，过点只能画出条截线，使∠∠，此时
●
△与△互为逆相似；
当点在上时，过点只能画出条截线、，分别使∠∠， ∠∠，此时△、△都与△互为逆相似；
当点在(不含点)上时，过点只能画出条截线’，使∠’∠， 此时△’与△互为逆相似。

(分)
．[湖南邵阳，，分]
如图(十二)所示，在△中，，∠°.点是△外角∠的角平分线上一个动点，点是点关于直线的
对称点，连结交于点、交于点，连结、、. ()若四边形为菱形，求的长； ()若△∽△，求的长；
()若△为等腰三角形，求△的面积.
知识考点：菱形的性质，相似三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形面积计算. 审题要津：（）根据菱形的对角线互相垂直平分即可求解；（）根据勾股定理求解；（）根据面积公式求解.
满分解答：解：（）∵四边形是菱形， ∴与互相平分， ∴.
()∵△∽△，且△是等腰直角三角形， ∴△是等腰直角三角形， ∴,∠°.
∵与关于直线对称， ∴∠°，，
∴.
∵平分∠， ∴∠∠(° °)°. 又∵∠°∠°°°， ∴∠∠∠°°°， ∴∠∠， ∴.
在△中， ∵， ，∴.
()由题意，知∠°.
图(十一)
P /
N M A
B
D
P
C ② P /
N
M
A
B
D
P
C ③
P /
N M
A
B
D
P
C ①
’
’
●
①当时，过点作⊥，垂足为. 在△中，·∠×°,
此时△的面积为：· ×× . 错误！未指定书签。

②当时，有∠∠°，
∴∠°， ∴⊥，
∵△是等腰在解三角形，且， ∴为的中点，
∴△的面积为△面积的一半， ∴△的面积为×·××. ③当时，∵∠ ， ∴∠°，此时△就是△， ∴△的面积为··××.
综上所述，△的面积为,或,或.
名师点评：本题是一道综合性压轴题，题目难度较大，解题时注意转换思想的运用.错误！未指定书签。

．（·泰安，，?分）如图，四边形中，平分∠，∠＝∠＝°，为的中点，
（）求证：＝•； （）求证：∥； （）若＝，＝，求
的值．
考点：相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
分析：（）由平分∠，∠＝∠＝°，可证得△∽△，然后由相似三角形的对应边成比例，证得＝•；
（）由为的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得＝＝，继而可证得∠＝∠，得到∥；
（）易证得△∽△，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值．
解答：（）证明：∵平分∠，∴∠＝∠， ∵∠＝∠＝°，∴△∽△，
P /N
M
A B E D P C
∴：＝：，∴＝•；
（）证明：∵为的中点，∴＝＝，
∴∠＝∠，
∵∠＝∠，∴∠＝∠，∴∥；
（）解：∵∥，∴△∽△，∴：＝：，
∵＝，∴＝×＝，
∵＝，∴，∴．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
. （•绍兴分）在△中，∠°，⊥于点，点为的中点，与交于点，点在上．
（）如图，：：，⊥，求证：．
（）如图，：：，⊥，求：的值．
【思路分析】（）根据同角的余角相等得出∠∠，根据：：及点为的中点，得出，再利用证明△≌△，即可得出；
（）作⊥于，⊥于，先证明四边形是矩形，得出∠°，则∠∠，再由两角对应相等的两三角形相似证明△∽△，得出：：，然后在△中，根据正弦函数的定义得出，在△中，根据余
弦函数的定义得出，又，进而求出：的值．
【解析】（）证明：如图，
在△中，∵∠°，⊥于点，
∴∠∠°﹣∠．
∵：：，∴，
∵点为的中点，∴，
∴．
在△与△中，
，
∴△≌△，
∴，即；
（）解：如图，作⊥于，⊥于，
∵⊥，⊥，⊥，
∴四边形是矩形，
∴∠°，
∴∠∠°﹣∠，
又∵∠∠°，
∴△∽△，
∴：：．
∵：：，∠°，
∴∠°．
在△中，∵∠°，
∴∠，
∴．
在△中，∵∠°，∠∠°，
∴∠，
∴．
∵点为的中点，∴，
∴：：：：．
【方法指导】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，解直角三角形，综合性较强，有一定难度．解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，并且证明四边形是矩形．
.（上海市，，分）如图，在平面直角坐标系xoy中，顶点为M的抛物线
2(0y ax bx a =+>）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO OB = ，0120AOB ∠=．
（）求这条抛物线的表达式；
（）联结OM ，求AOM ∠的大小；
（）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．
.（陕西，，分）
一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯的高度，如图，当李明走到点处时，张龙测得李明直立身高与其影子长正好相等，接着李明沿方向继续向前走，走到点处时，李明直立时身高的影子恰好是线段，并测得。

已知李明直立时的身高为，求路灯的高的长.（结果精确到）
考点：此题考查稳定，就是考查解直角三角形，或者考查的是相似三角形的应用测量高度，宽度等线段的长度的具体计算，将问题转换成方程（组）来求解，经常设置的具体的实际情景得到与测量相关的计算；
解析：本题考查的是典型的测量问题之中心投影下的测量，而此问题设置基本上就是应用相似的性质来将实际问题转化成数学问题来解决，
解：如图，设长为x ∵⊥，⊥，⊥，
∴∥，∥，∴x ，∴△∽△ ∴
AC AB CD BN = 即75
.125.175.1-=x x 解得1.6125.6≈=x 所以路灯高约为米
.（四川巴中，，分）如图，在平行四边形中，过点作⊥，垂足为，连接，为线段上一点，且∠∠
（）求证：△∽△； （）若，，，求的长．
第题图
，∴
中，由勾股定理得：
.（四川乐山，，分）选做题：从甲、乙两题中选做一题，如果两题都做，只以甲题计分。

题甲：如图，是⊙的直径，经过圆上点的直线恰∠∠。

（）求证：直线是⊙的的切线；
.（四川内江，，分）如图，是半圆的直径，点在的延长线上，切⊙于点，⊥，垂足为，连接．
（）求证：平分∠；
（）求证：•；
（）若，，求的长．
∴，即
∴，即，
的直线于，∠∠，连结与交于点．
（）求证：是⊙的切线；
（）求证：△∽△；
（）若点是的中点，⊙的半径为，∠，求的长．
，∴由垂径定理得：
∴，
﹣
．（湖北省咸宁市，，分）阅读理解：
如图，在四边形的边上任取一点（点不与点、点重合），分别连接，，可以把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把叫做四边形的边上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把叫做四边形的边上的强相似点．解决问题：
（）如图，∠∠∠°，试判断点是否是四边形的边上的相似点，并说明理由；
（）如图，在矩形中，，，且，，，四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图中画出矩形的边上的一个强相似点；拓展探究：
（）如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处．若点恰好是四边形的边上的一个强相似点，试探究和的数量关系．
中，∠
∴
∴
．（广东广州，，分）已知是⊙的直径，，点在线段的延长线上运动，点在⊙上运动（不与点重合），连接，且.
2时（如图），求证：是⊙的切线；
（）当2
2时，所在直线与⊙相交，设另一交点为，连接.
（）当＞2
①当为中点时，求△的周长;
②连接,是否存在四边形为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时·的值；若不存在，请说明理由。

【思路分析】（）由勾股定理的逆定理即可证明直角三角形，进而证明圆的切线；（）作出图形，得到等边三角形之后，即可得到相应的角的度数，从而把问题转化为计算问题；（）利用平行线的性质得到个相等的角，然后利用角间关系，得到相似三角形，进而利用边长的比求得答案.
【解】（）如答案图，连接，
在⊙中，直径，则半径，
∵
∴ 又∵22，在△中，222OC OD CD =+
∴⊥于，
∴ 是⊙ 的切线。

（）①如答案图，由为的中点，得
∴△为等边三角形，
∴∠∠060
又∵，
∴∠∠0
30 ∴⊥于，由勾股定理，得32
在△中，， ∴22
∴△ 的周长
②如答案图，四边形为梯形，只可能是∥，
当∥时，∠∠∠∠∠，
设∠
则∠∠，
由△的内角和为0180
得036
∴△∽△，且△≌△ ∴OE ED OC
OD =，且， ∴2
2ED AE =， ∴·。

【方法指导】在几何图形中，如果一道问题比较复杂，而且有一个已知条件是平行线，那么通常都要由此平行得到相似三角形，从而将问题转化。

．（山东德州分）如图，在直角坐标系中有一直角三角形，为坐标原点，，∠，将此三角形绕原点逆时针旋转，得到△。

抛物线经过点、、。

（）求抛物线的解析式；
（）若点是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为。

①设抛物线对称轴与轴交于一点，连接，交于。

求出当△与△相似时点的坐标；
②是否存在一点，使△的面积最大？若存在，求出△面积的最大值；若不存在，请说明理由。

【思路分析】（）用待定系数法求出抛物线解析式；（）求动点坐标，需要进行探究，分类讨论存在情况，结合相似、列一元二次方程解题；要探究使△的面积最大，寻求，△＝△△列出二次函数模型来解决.
【解】（）在△中，＝，∠ ∵∠OB
OA ∴＝·∠＝
∵△是由△绕原点逆时针旋转而得到的。

∴＝＝，＝＝
∴、、三点的坐标分别为（，），（，），（－，）
代放抛物线解析式得，
解之得，
∴抛物线的解析式为：
（）①抛物线的对称轴为：a
b 2-
－ ∴点坐标为（－，）
（ⅰ）当∠＝时，△∽△,此时点在对称轴上，即点为抛物线的顶点。

坐标为（－，） （ⅱ）当∠＝时，△∽△。

过点做于点，则△∽△。

于是，31===OC DO FC EF MP EM , ∴.
即：()。

整理得：
解之得：（不合题意，舍去）。

所以此时点的坐标为（－，）
所以当△与△相似时点的坐标分别为：（－，）或（－，）。

②设直线的解析式为：则得： ⎩⎨⎧==+-103m m k ，解之得：3
1 所以直线的解析式为：3
1 设与的交点为，则点的坐标为（,
31）. ∴ －（31）＝3
7 则△＝△△
＝
21×21×21×()2
1× ＝23（37）＝－23（67）24
121 ∴当＝－67时，△的最大值为24121。

【方法指导】本题主要考查二次函数、一次函数与相似三角形、旋转等结合，具有较强探
究性、同时融合方程思想、分类讨论思想、函数建摸等.
．(四川成都，，分)
如图，点在线段上，点，在同侧，∠＝∠＝°，⊥，＝．
()求证：＝＋；
()若＝，＝，点为线段上的动点，连接，作⊥，交直线于点．
)当点与，两点不重合时，求DP
PQ
的值；
)当点从点运动到的中点时，求线段的中点所经过的路径(线段)长．(直接写出结果，不必写出解答过程)
【思路分析】()证△≌△即可；
())过点作⊥于点，利用相似三角形把DP
PQ
转化为对应边的比．解题的关键是证明＝．
)利用第)问中求得的结果求出的长，再反复利用勾股定理求出的长，从而利用三角形的中位线定理求出的中点所经过的路径长．
【解】()证明：∵⊥，∴∠＝°，即∠＋∠＝°．
∵∠＋∠＝°，∴∠＝∠．
又∵∠＝∠＝°，＝，∴△≌△．∴＝，＝．
∵＝＋，∴＝＋．
() )如图，过点作⊥于点，则△∽△，△∽△．
∴AD AP
PH QH
=，
QH
BH
BC EC
=．
即·＝·①·＝·②
由第()问可知，＝＝，＝＝．
∴·＝·．
设＝，＝，则＝＋－＝＋－，
∴(＋－)＝．整理得－(＋)＋＝．即(－)(－)＝．∴＝或＝．∵点与点不重合，∴舍去＝．
当＝时，＝．
∴DP
PQ
＝
AD
PH
＝
3
5
．第题图
) ． 提示：设的中点为，连结．∵∠＝°，∴＝．
∴点在线段的垂直平分线上．
∴点所经过的路径是线段垂直平分线上的一部分(线段)．
当点与点重合时，的中点即是的中点．
设的中点为，当点与点重合时，如图，设此时的中点为．
∵＝，＝，∴＝．
由)可知DM MQ ＝35，∴5MQ ＝35．∴＝253．
．
． ∴＝12
【方法指导】此题在经典题的基础上作了较大的拓展．拓展部分是一个较难的动态探索问题，涉及的知识点有相似三角形、勾股定理等．
．（湖南永州，，分）如图，已知⊥，⊥．
()若，，，请问在上是否存在点，使以、、三点为顶点的三角形与以、、三点为顶点的三角形相似？若存在，求的长；若不存在，请说明理由；
() 若，，，请问在上存在多少个点，使以、、三点为顶点的三角形与以、、三点为顶点的三角形相似？并求的长；
() 若，，，请问在上存在多少个点，使以、、三点为顶点的三角形与以、、三点为顶点的三角形相似？并求的长；
() 若，，，请问在、、满足什么关系时，存在以、、三点为顶点的三角形与以、、三点为顶点的三角形相似的一个点? 两个点? 三个点?
图
图
()
【思路分析】每小问按两种对应关系来说明。

【解】()设，则 如果是△∽△，则
AB BP CD DP =，即9410x x =-，解得9013
x =； 如果是△∽△，则AB BP PD CD =，即9104
x x =-，得方程：210360x x -+=，方程无解； 所以9013
()设，则 如果是△∽△，则
AB BP CD DP =，即9412x x =-，解得10813
x =；如果是△∽△，则AB BP PD CD =，即9124
x x =-，得方程：212360x x -+=，解得； 所以或10813 （）设，则 如果是△∽△，则
AB BP CD DP =，即9415x x =-，解得13513
x =；如果是△∽△，则AB BP PD CD =，即9154
x x =-，得方程：212360x x -+=，解得或 所以13513，或. （）设，则 如果是△∽△，则AB BP CD DP =，即m n x l x =-，解得ml x m n
=+；如果是△∽△，则AB BP PD CD
=，即m x l x n =-，得方程：20x lx mn -+=，24l mn ∆=- 当240l mn ∆=-<时，存在以、、三点为顶点的三角形与以、、三点为顶点的三角
形相似的一个点；
当240l mn ∆=-=时，存在以、、三点为顶点的三角形与以、、三点为顶点的三角
形相似的两个点；
当240l mn ∆=->时，存在以、、三点为顶点的三角形与以、、三点为顶点的三角
形相似的三个点；
【方法指导】三角形相似没有明确对应关系，得分情形来讨论，由于本题是两个直角三角形，所以对应关系有两种。

由于数量关系的制约，本题有一种对应关系是始终存在的，另一种对应关系则需要通过一元二次方程的判别式来进行讨论。

．（四川南充，，分）如图，等腰梯形中，∥，，，∠°，为边上一点（不与，重合），过点作∠∠，交于.
（）求证：△∽△；
（）若，求的长
.
【答案】：（）∵四边形是等腰梯形
∴∠∠
∵∠∠°﹣∠∠∠°﹣∠
又∠∠
∴∠∠
∴△∽△
（）过作⊥于，过作⊥于则△≌△
∵
∴
在△中，∠°，
22
4
1 cos cos
2
BF
B B
===
∵△∽△
∴AB BP CP CE
=
∴
4
73
BP
BP
=
-
∴或
【解析】（）由等腰梯形中，∥，，可得∠∠°，又由∠∠∠∠，∠∠，可证得∠∠，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得：△∽△；
（）过作⊥于，过作⊥于则△≌△得到，再由三角函数求得的长，最后利用相似三角形对应边成比例，即可求得答案.也可过点作∥交于点，则四边形是平行四边形，△为等边三角形，又由△∽△，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【方法指导】此题考查了等腰梯形的性质、相似三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．
.（四川宜宾，，分）
如图，在△中，∠°，⊥于点，点是边上的一点，连接交于，⊥交边于点．
()求证：△∽△；
()当为边中点，
2=AB
AC 时，如图，求OE OF 的值； () 当为边中点，n AB AC =时，如图，请直接写出OE OF 的值；
【思路分析】（）根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证.
（）因为，是边的中点，所以可得，由（）知 △∽△所以可得△≌△，所以．要求OE OF 可先求BF
OF 想到构造“”形，作⊥，交的延长线于可得出△≌△所以 根据“”形中的两个相似三角形可推出2===AB
OG BF OF OE OF . （）由问号（）的推导过程可得出该题的结论.
【解】 ()∵⊥，∴∠∠°．
∵∠°，∴∠∠．
∵⊥，∴∠∠°，
∵∠∠°，∴∠∠．
△∽△；
() 作⊥，交的延长线于．
∵，是边的中点，∴．
由()有△∽△，∴△≌△，
∴．
∵∠∠°，∠∠°，∴∠∠，
又∠∠°，．
∴△≌△，∴ ．
∵⊥，∴∥，∴△∽△， ∴
2,====AB
OG BF OF OE OF AB OG BF OF ． ().n OE OF =
【方法指导】（）题目中出现多个直角有相等的角出现；求线段的比往往与相似三角形有关；解结合解答题时往往要用到三角形全等、相似等知识两条线段的比不能直接根据相似
三角形得出时要注意等量之间的代换、转化.
. (湖南株洲) 已知在△中，∠°，，，点是线段上的一个动点，过点作的垂线交线段（如图）或线段的延长线（如图）于点.
⑴当点在线段上时，求证：△∽△；
⑵当△为等腰三角形时，求的长.
【答案】：（）证明：在△与△中
∵∠∠°
∠∠（公共角）
∴△∽△
（）解：设x .
∵在△中，∠°，，， ∴5432222=+=+BC AB
由（）知△∽△ ∴
AC AP BC PQ =即5
4x PQ = ∴x 54 由图知：x
又∵△为等腰三角形
∴ 即
x 54x ∴x 3
5 由图知： x
又∵△为等腰三角形
∴ 即
x 54x ∴x 综上所述，的长为3
5或. 【方法指导】本题考查了相似三角形的证明，及相似三角形的性质，熟练掌握两个三角形相似的证明方法：（）两角对应相等的两个三角形相似，（）两对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，（）三边对应成比例的两个三角形相似，同时注意相似三角形对应边成比例第二问还考查等腰三角形的性质，注意运用分类讨论的思想方法.
（湖南益阳，，分）如图，在ABC Δ中，AC AB =，CD BD =，AB CE ⊥于E .
求证：CBE ABD ΔΔ∽．
【思路分析】首先由“三线合一”可知BC AD ⊥，从而可以得到ADB CEB ∠=∠，又这两个三角形有公共角B ∠，所以两个三角形相似。

【答案】：解：证明：在ABC Δ中，AC AB =，CD BD =，
∴BC AD ⊥，
∵AB CE ⊥，
∴︒=∠=∠90CEB ADB ，
又，
∴CBE ABD ΔΔ∽．
【方法指导】两个三角形相似的条件有：（）两角对应相等；（）一个角对应相等，并且夹边对应成比例。

图。