浙江省安吉,德清,长兴三县2015-2016学年高二下学期期中考试数学试题含答案

2016学年第二学期期中考试高二数学试题卷
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟.
第Ⅰ 卷（选择题共40分)
注意事项：用钢笔将题目做在答题卷上，做在试题卷上无效.
一、选择题（每小题4分,共40分)
1.设全集U R=,{}{}
0,B1,
A x x x x
=>=>则U
A B =
A。

{}
01
x x
≤<B。

{}
01
x x
<≤ C. {}0
x x<D。

{}1
x x>
2。

“0
x<”是“ln(1)0
x+<”的
A。

充分不必要条件 B.必要不充分条件
C. 充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.已知,l m是两条不同直线,α是一个平面，则下列命题中正确的是
A。

若//lα,//mα，则//l m B．若l m⊥，//mα，则lα⊥
C. 若lα⊥，mα⊥，则//l m D。

若l m⊥,lα⊥,则//mα
4.已知,x y满足
1
4
210
x
x y
x y
≥
⎧
⎪
+≤
⎨
⎪--≤
⎩
,则2
z x y
=+的最大值为
A. 3
B.4C。

6D。

7 5。

已知,,a b c R∈,函数2
()
f x ax bx c
=++.若(1)(3)(4)
f f f
=>，则
A. 0,40
a a b
>+=B。

0,40
a a b
<+=
C。

0,20
a a b
>+=D。

0,20
a a b
<+= 6。

设{}
n
a是等差数列，下列结论中正确的是
A.若21
0a
a +>,则230a a +>
B. 若21
0a
a +<,则230a a +<
C 。

若1
20a
a <<，则213
a a a > D 。

若1
0a <，则2123()()0a a a a --<
7。

函数()2sin 1
x f x x =+的图象大致为( ）
A B C
D
8。

已知抛物线2
8y x =的准线与双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>相交于,A B 两点,
双曲线的一条渐近线方程是4
3y x =，点F 是抛物线的焦点。

若FAB ∆是
等边三角形，则该双曲线的标准方程是
A.
22
2138
x y -= B 。

22
1163
x y -= C.
22
1632
x y -= D.
22
1316
x y -= 9．将函数2()233f x x x =
-++-[]2,0∈x ）的图象绕坐标原点逆时针旋转θ（θ为锐角)，若所得曲线仍是一个函数的图象，则θ的最大值为
A ．6
π
B ．4
π C ．3
π D ．512
π
10．在直三棱柱ABC C
B A -11
1中，2
π
=
∠BAC ，11
===AA AC AB ，已知G 和E 分
别为1
1
B A 和1
CC 的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括
端点），若EF GD ⊥，则线段DF 的长度的取值范围为
A ．⎪⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡1,55
B ．⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡1,55
C ．⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛1,552
D ．⎪⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡1,552
俯视图
正视图
侧视图
5
（第13题）
3
第 Ⅱ 卷 (非选择题 共110分）
注意事项:用钢笔将题目做在答题卷上,做在试题卷上无效。

二、填空题：（本大题共7小题，第11—14题每小题6分，第15—
17题每小题4分，共36分．)
11．已知函数1()3
x
x f x ⎧-=⎨
⎩ (1)(1)
x x ≤> ，则((1))f f -= ▲ ,
若()2,f a = 则a = ▲ ． 12．动直线:l 1y kx k =-+ ()k R ∈ 经过的定点坐标为 ▲ ,若l 和圆2
22:x
C y r += 恒有公共点，则半径r 的最小值是 ▲ ．
13．某几何体的三视图（单位：cm)如图所示，则此几何体 的所有棱长之和为 ▲
cm ，体积为 ▲
3cm ．
14。

函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωπϕ=+>-<<的部分
图象如右图所示，则ω= ▲ ，ϕ= ▲ . 15. 已知正实数,,x y z 满足230x y z -+=，则
2
y xz
的最小值为 ▲ 。

16. 若向量,a b 满足2,2b a b a ==- ,则a 的取值范围是 ▲ 。

17. 已知函数2
sin
4sin y x x a
=--的最大值为4，则常数a = ▲ .
三、解答题：（本大题共5小题,共74分）
（第14
18.(本题14分）在△ABC 中,角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，且
sinA sin 2b a B =．
（Ⅰ）求角B ； (Ⅱ)
若b =
a c ac +=，求△ABC 的面积.
19. （本题15分）如图,点B 是以AC
,4PA AB BC AC ===,PA ⊥平面ABC ，点E 为PB （Ⅰ)求证:平面AEC ⊥平面PBC ；
（Ⅱ）求直线AE 与平面PAC 所成角的大小。

20.（本题15分）已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，且2
()f x x x =+.
（Ⅰ）求函数()g x 的解析式；
（Ⅱ）若1)()()(+-=x f x g x h λ在[]1,1-上是增函数,求实数λ的取值范围.
21。

(本题15
分）如图，已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率2
e = ，
过点(0,),(,0)b a -的直线与原点的距离为00(,)M x y 是椭圆上任一点，从
原点O 向圆2
200:()
()2M x x y y -+-= 作两条切线，分别交椭圆于点,P Q 。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若记直线,OP OQ 的斜率分别为12,k k B C
（第19题）
22. （本题15分）已知数列{}n
a 满足11=a
,1
2
1+=
+n n
n a a a ． (Ⅰ）求证：n n a a
<+1
；
(Ⅱ）求证：1122324
n
n n n a -≤≤⋅-．
2016学年第二学期期中考试高二数学参考答案
一、选择题（每题4分,共40分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
B
B
C
D
B
C
A
D
C
A
二、填空题(单空题每题4分,多空题每题6分，共36分） 11。

9,1-；
12.
(1
； 13.
27； 14.
2,3
π
-
;
15。

3； 16.4[,4]3
； 17.1 三、解答题
18。

(本题14分）在△ABC 中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、,且
sinA sin 2b a B =．
（Ⅰ）求角B ； （Ⅱ)
若b =
a c ac +=,求△ABC 的面积。

解：（Ⅰ）由正弦定理和sin sin 2b A a B =得sinBsin sin sin 2A A B =
所以sinBsin 2sin sin cos A A B B =,所以1
cos 2B =
．
．．．．．．．．．．．．．．4分 又B 是三角形内角，所以3
B π
=
;．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 7
分
（Ⅱ） 3B π
=
，∴
2222222cos ()3b a c ac B a c ac a c ac =+-=+-=+-
又b =
a c ac +=2()310ac ac ∴-=
，(5)(2)0ac ac -+=
学必求其心得，业必贵于专精
52(ac ac ∴==-或舍去）
1sin 24
ABC S ac B ∆∴=
=
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14
分
19. （本题15分）如图，点B 是以AC
为直径的圆周上的一
点,,4PA AB BC AC ===，
PA ⊥平面ABC ,点E
为PB 中点.
(Ⅰ)求证：平面AEC ⊥平面PBC ；
（Ⅱ）求直线AE 与平面PAC 所成角的大小. 解(Ⅰ）
AC
是圆的直径，CB AB ∴⊥ ,PA ,ABC PA BC ⊥∴⊥又面
BC PAB ∴⊥面 BC AE ∴⊥
．．．．．．．．．．．．．
又,PA AB E PB =是中点，AE PB ∴⊥ 所以AE PBC ⊥面 所以面AEC ⊥面PBC ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7（Ⅱ）设圆心为O ,则由AB BC = 得BO AC ⊥且取
PO 的中点,G EG 连，则//EG BO ,所以
EG PAC ⊥面
连,AG EAG ∠就是直线AE PAC 与平面所成角，．．．11
2,122
AE PB GE OB ====
所以 1
sin 2
GE EAG AE ∠== ， AE PAC
与平面所
成
角
为
6
π ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15分 （若考生利用体积法或建立空间坐标系,只要步骤完整，答案正确，给满分。

步骤不完整,酌情扣2———5分)
20.(本题15分）已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，且2
()f x x x =+.
（Ⅰ）求函数()g x 的解析式；
A
C
（第18题）
（Ⅱ）若1)()()(+-=x f x g x h λ在[]1,1-上是增函数，求实数λ的取值范围. （I)解法1设函数y =f (x ）的图象上任一点Q ),(0
y x 关于原点的对称点
为P （x ,y ），
则00
02
2
x x
y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩
即
⎩⎨
⎧-=-=y y x
x 0
点
Q ),(0
y x 在y =f (x)上，
∴2()()y x x -=-+-,即2y x x =-+，故2()g x x x =-+．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（II ） 1)1()1()(2+-++-=x x x h λλ。

①当
1
-=λ时,
()1
2+=x x h 在[-1，1］上是增函数
1-=∴λ………………………８分
②当1-≠λ时，对称轴为 ()
λλ
+-=
121x 。

(i
）
当
1
-<λ时,
()
1
121-≤+-λλ
，解得
13-<≤-λ。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
(ii)
当
1
)->λ时，
()
1
121≥+-λλ
，
解
得
3
11-
≤<-λ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
综上，
3
13-
≤≤-λ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 15分 21。

(本题15
分）如图，已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>
的离心率2
e = ,
过点(0,),(,0)b a -
00(,)M x y 是椭圆上任一点，从
原点O 向圆2
200:()
()2M x x y y -+-= 作两条切线，分别交椭圆于点,P Q .
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若记直线,OP OQ 的斜率分别为1
2
,k k ,
解：（Ⅰ)因为离心率2e =
，所以2
c a =所以2221
2
a b a -=，即222a b =
① ．．．．．．．．．．．．２分
设经过点(0,),(,0)b a -的直线方程为1x y
a b
+=- 即0bx ay ab --=
因为直线与原点的距离为，所以
=，整理得：
22
22
2a b a b
=+②
．．．．．4分 由①②得
2
263
a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩
所以椭圆的方程为22
163
x y +=
．．．．．．．．．．．．7分
（Ⅱ）解:因为直线1
2
:,:OP y k x OQ y k x ==， 与圆M 相切,由直线和圆相切的条件:
d ==
= ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
平方整理,可得222010010(2)k 220x
x y k y -++-=，
222020020(2)k 220x x y k y -++-=， ．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
所以1
2
,k k 是方程2
220
000(2)k 220x
x y k y -++-=的两个不相等的实数根,
2
0122
022y k k x -=
-，因为点
00(,)
R x y 2
013
y +=,即2
22
00013(1)362
x y x =-
=-，
所
以
2
122
01231222
x k k x -+=
=--
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15分 22。

（本题15分）已知数列{}n
a 满足11=a
,1
2
1+=
+n n
n a a a ．
（Ⅰ)求证:n n a a
<+1
；
(Ⅱ)求证：1122324
n
n n n a -≤≤⋅-．
解： （Ⅰ)由11=a ，1
2
1+=
+n n
n a a a 得0()n a n N >∈
3
1220
11
n n n n n n n a a a a a a a +--=-=<++ ,
所以
n n a a <+1；
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知01n
a <≤ ,又1
2
1+=
+n n
n a a a
∴
1211
2
1n n n a a a +=≥+ 即1
1
2
n n a
a +≥
所
以
211211
11
11
()()2222
n n n n n a a a a ----≥
≥≥≥= ，即
1
1
2n n a -≥
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
由12
1+=
+n n n a a a
得111
n n n
a a a +=+ 111
n n n
a a a +∴
-= ∴
121
11
1a a a -==， 2321112a a a -==, 2343111()2
a a a -=≥ ．．．
211111()2
n n n n a a a ----=≥ 累加得2211
11
11
1()2()2
22
n n n
a a ---
≥+++=-,而11=a 所以222113213()22
n n n n a ---⋅-≥-=324
2n n ⋅-=
所以2324
n
n n a ≤⋅-
综上得
学必求其心得，业必贵于专精 1122324
n
n n n a -≤≤⋅-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15分。