甘肃省武威第八中学2021-2022高二数学下学期期末考试试题 理(含解析)

甘肃省武威第八中学2021-2022高二数学下学期期末考试试题 理（含
解析）
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 若复数1(1)z m m i =-++(i 为虚数单位)是实数,则实数m 的值为( ) A. 0 B. 1-
C. 2-
D. 3-
【答案】B 【解析】 【分析】
根据实数的充要条件，得出关于m 的关系式，求解得出结论. 【详解】∵z 是实数,10m ∴+=,1m ∴=-. 故选:B.
【点睛】本题考查复数的基本概念，属于基础题. 2. 若复数1i
z i
=
-，则z =（ ）
A.
12
B. 1
C.
2
【答案】C 【解析】 【详解】(1)1111(1)(1)222
i i i i z i i i i +-+=
===-+--+，
故||z =
=
. 故选：C.
考点：复数除法，求模． 3. 函数y
=
在点4x =处的导数是（ ） A.
18 B. 18
-
C.
116
D. 116
-
【答案】D
【解析】 【分析】
直接根据导数的运算公式求解即可．
【详解】解：∵12y x
-==， ∴3
212
y x -'=-，
∴3324
111422216
x y --==-⨯=-⨯=-'
，
故选：D ．
【点睛】本题主要考查导数的运算公式，属于基础题．
4. 已知椭圆C ：22
21(0)4
x y a a +=>的一个焦点为(20)，
，则C 的离心率为
A.
1
3
B.
12
C.
2
D.
3
【答案】C 【解析】
【详解】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为()20，
，从而求得2c =，再根据
题中所给的方程中系数，可以得到24b =，利用椭圆中对应,,a b c 的关系，求得a =后利用椭圆离心率的公式求得结果. 详解：根据题意，可知2c =，因为24b =，
所以2228a b c =+=，即a =
所以椭圆C 的离心率为
2
e =
=
，故选C. 点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中,,a b c 的关系求得结果. 5. 某小组有10名学生，其中3名女生，从中选3名代表，要求至少有1名女生，则有不同的选法种数是（ ）
A. 120
B. 108
C. 100
D. 85
【答案】D 【解析】 【分析】
利用排列组合思想求得从10名学生中选3名代表中没有女生的
选法种数，利用间接法可求得
选法种数.
【详解】某小组有10名学生，其中3名女生，从中选3名代表，要求至少有1名女生， 则不同的选法种数为3
3
1071203585C C -=-=. 故选：D.
【点睛】本题考查排列问题，考查间接法的应用，考查计算能力，属于基础题. 6. 下面四个推理不是合情推理的是( ) A. 由圆的性质类比推出球的有关性质
B. 由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°
C. 某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分
D. 蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的 【答案】C 【解析】
A 是类比推理，
B 、D 是归纳推理，
C 不是合情推理． 故答案为C ．
7. 已知双曲线C :22
1916x y -=的左右焦点分别为12,F F ,P 为C 的右支上一点,且
212||||PF F F =,则12PF F △的面积等于
A. 24
B. 36
C. 48
D. 96
【答案】C 【解析】 详解】∵双曲线
中3,4,5a b c ===∴()()125,0,5,0F F -
∵212PF F F =∴12261016PF a PF =+=+= 作1PF 边上的
高2AF ，则18AF =∴2221086AF =-= ∴12PF F ∆的面积为1211
1664822
PF AF ⋅=⨯⨯=故选C
8. 曲线的极坐标方程4sin ρθ=化为直角坐标为（ ） A. ()2
224x y ++= B. ()2
224x y +-= C. ()2
224x y -+= D. ()2
224x y ++=
【答案】B 【解析】 【分析】
利用直角坐标与极坐标的互化公式222
cos sin x y x y ρρθρθ⎧+=⎪
=⎨⎪=⎩
，即可得到答案．
【详解】由曲线的极坐标方程4sin ρθ=，两边同乘ρ，可得2
4sin ρρθ=，
再由222
cos sin x y x y ρρθρθ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩
，可得：2222
4(2)4x y y x y +=⇔+-=，
所以曲线的极坐标方程4sin ρθ=化为直角坐标为()2
224x y +-= 故答案选B
【点睛】本题考查把极坐标转化为直角坐标方程方法，熟练掌握直角坐标与极坐标的互化
公式222cos sin x y x y ρρθρθ⎧+=⎪
=⎨⎪=⎩
是解题的关键，属于基础题．
9. 点 M
的直角坐标是(-，则点 M 的极坐标为（ ） A. π 2,
3⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
B. π2,3⎛⎫-
⎪⎝
⎭
C. 2π2,
3⎛⎫ ⎪⎝⎭
D.
π2,2π3k ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
()k ∈Z
【答案】C 【解析】
分析：利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，222
x y ρ=+，先将点M
的直角坐标是(-，之
后化为极坐标即可.
详解：由于2
2
2
x y ρ=+，得2
4,2ρρ==， 由cos x ρθ=，得1cos 2
θ=
， 结合点在第二象限，可得23
πθ=， 则点M 的坐标为2(2,
)3
π
，故选C. 点睛：该题考查的是有关平面直角坐标与极坐标的转化，需要注意极坐标的形式，以及极径ρ和极角θ
的意义，利用ρ=果.
10. 9
1()x x
-的展开式中3x 的系数是（ ）
A. 84
B. 84-
C. 28
D. 28-
【答案】B 【解析】 【分析】
根据91()x x -的通项公式9191(1)()r r r r
r T C x x
-+=-，求3x 的系数即是923r -=即可求出r ，进
而可得到3x 的系数
【详解】91()x x -展开式通项为：9921991(1)()(1)r r r r r r r
r T C x C x x
--+=-=-
∴923r -=时，3r =，即3x 的系数为84- 故选：B
【点睛】本题考查了二项式定理，由展开式的通项公式，及未知数的指数可得到对应的项数，进而求得对应项的系数
11. 如图，用4种不同颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有
A. 72
B. 96
C. 108
D. 120
【答案】B 【解析】
若1,3不同色，则1,2,3,4必不同色，有344A ＝72种涂色法；若1,3同色，有1
4C 3
3A ＝24种
涂色法．根据分类加法计数原理可知，共有72＋24＝96种涂色法． 12. 设函数
'()f x 是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，
'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）
A. (,1)(0,1)-∞-
B. (1,0)(1,
)
C. (,1)(1,0)-∞--
D. (0,1)(1,)⋃+∞
【答案】A 【解析】
【详解】构造新函数()()
f x
g x x =
,()()()2 'xf x f x g x x
-='，当0x >时()'0g x <. 所以在()0,∞+上()()
f x
g x x
=
单减，又()10f =，即()10g =.
所以()()
0f x g x x
=
>可得01x <<,此时()0f x >， 又()f x 为奇函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为：()(),10,1-∞-⋃. 故选A.
点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如()()xf x f x '-，想到构造()()f x g x x
=
.一般：（1）条件含有()()f x f x '+，就构造()()x
g x e f x =,（2）若()()f x f x -'，就构造()()x
f x
g x e
=，（3）()()2f x f x +'，就构造()()2x
g x e f x =，（4）()()2f x f x -'就构造()()
2x
f x
g x e =
，等便于给出导数时联想构造函数. 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)
13. 椭圆3cos 5sin x y ϕ
ϕ
=⎧⎨=⎩，(ϕ是参数)的离心率是__
【答案】
45
【解析】 【分析】
首先将参数方程化成直角普通方程，再根据椭圆的简单几何性质计算可得；
【详解】解：因为3cos 5sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩，所以cos 3sin 5
x
y ϕϕ
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以22
1925x y +=，所以225a =，29b =，
即5a =，因为22225916c a b =-=-=，所以4c =，所以4
5
c e a == 故答案为：
45
【点睛】本题考查参数方程与直角坐标方程的转化，椭圆的简单几何性质的应用，属于基础题.
14. 5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有 种（用数字作答）． 【答案】72 【解析】
可分两个步骤完成，第一步骤先排除甲乙外的其他三人，有3
3A 种，第二步将甲乙二人插入前
人形成的四个空隙中，有2
4A 种，则甲、乙两不相邻的排法有3234A A 72=种．
15. 如果复数212bi
i
-+的实部和虚部互为相反数，那么实数b 的值为__ 【答案】23
- 【解析】 【分析】 先化简
222(4)125bi b b i i ---+=+，再解方程224+055
b b
---=即得解. 【详解】由题得2(2)(12)22(4)12(12)(12)5
bi bi i b b i
i i i -----+==++-， 因为复数
212bi
i -+的实部和虚部互为相反数， 所以2242
+0,553
b b b ---=∴=-. 故答案为：2
3
-
【点睛】本题主要考查复数的除法运算，考查复数实部虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
16. 已知函数f 1(x )＝sin x －cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f ′2(x )，……，f n (x )＝f n －1′(x )，则f 2021(x )＝____. 【答案】cos sin x x -- 【解析】 【分析】
求出()()()234,,f x f x f x 后可归纳出()n f x 的一般形式，从而可求()2020f x .
【详解】()1sin cos cos sin 22f x x x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=-=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()()()2cos sin cos sin f x x x x x ππ=+=-+-+，
()333sin cos cos sin 22f x x x x x ππ⎛
⎫⎛
⎫=-+=-+
-+ ⎪
⎪⎝
⎭⎝
⎭
，
()444cos sin cos sin 22f x x x x x ππ⎛
⎫⎛
⎫=--=-+
-+ ⎪
⎪⎝
⎭⎝⎭， 依次类推，可以得到()cos sin 2
2n n n f x x x π
π⎛⎫⎛
⎫=-+
-+ ⎪
⎪⎝
⎭⎝
⎭
， 故()202020202020cos sin 2
2f x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=-+
-+ ⎪
⎪⎝
⎭⎝
⎭
()()cos 1010sin 1010cos sin x x x x ππ=-+-+=--，
故答案为：cos sin x x --,
【点睛】本题考查归纳推理，注意利用诱导公式整合所求的导函数，这样便于形式上的统一，本题属于难题.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 已知()ln f x x x =，求函数()y f x =的图象在e x =处的切线方程． 【答案】2e 0x y --=． 【解析】 【分析】
直接根据导数的几何意义求解即可． 【详解】解：∵()ln f x x x =， ∴
()e e f =，()1ln f x x '=+，
∴()e 2f '=，
∴切线方程为e 2(e)y x -=-，即2e 0x y --=． 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
18. 若n
⎛ ⎝
的展开式中各项系数之和为64，求展开式的常数项．
【答案】540- 【解析】 【分析】
令1x =可求得n 的值，再根据二项展开式的通项公式即可求出答案．
【详解】解：令1x =得，二项式13n
x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭展开式的各项系数之和是264n
=，
由此得6n =，
根据二项式的通项公式()
61613r
r
r
r T C x
x -+⎛⎫=⋅⋅- ⎪⎝
⎭()63631r r r
r C x --=⋅⋅-⋅， ∴这个常数项是333
463(1)540T C =⨯⨯-=-．
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题． 19. 选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，圆C 的圆心坐标为(2,
)3
C π
，半径为2.以极点为原点，极轴为x 的正半轴，
取相同的长度单位建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为312132x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数）. （1）求圆C 的极坐标方程；
（2）设l 与圆C 的交点为A B 、，l 与x 轴的交点为P ，求||||PA PB +. 【答案】（1）4sin()6
π
ρθ=+（2）43
【解析】
试题分析：（1)将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取恰当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法；(2）将参数方程转化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若有范围限
制，要标出
的取值范围；（3）掌握圆的参数方程
，通过圆心距和两圆半
径之和、之差的关系判断圆与圆的位置关系（4）根据题意设点根据点到直线的距离公式． 试题解析：解：（1）法一：在直角坐标系中，圆心的坐标为(1,3)C ，所以圆C 的方程为
22(1)(3)4x y -+-=即222230x y x y +--=， 2分
化为极坐标方程得22cos 23sin 0ρρθρθ--=，即4sin()6
π
ρθ=+ 4分
法二：令圆
上任一点(,)P ρθ，在
中（其中
为极点），
,2,2,3PO CO PC POC πρθ===∠=-， 2分 由余弦定理得2444cos()3πρρθ=+--
从而圆的极坐标方程为4cos()3π
ρθ=- 4分 （2）法一：把312{132x t y t =-
=+代入222230x y x y +--=得24t =，所以点A 、B 对应的参数分别为122,2t t ==- 5分
令1302t +=得点对应的参数为023t =- 6分 所以PA PB +102022322322322343t t t t =-+-=++-+=++-+= 7分
法二：把312{132x t y t =-
=+化为普通方程得33(1)3y x -=--， 5分 令0y =得点Ｐ坐标为(4,0)P ，又因为直线恰好经过圆的圆心，
故2222(41)(30)43PA PB PC +==-+-=７分
考点：1、求圆的极坐标方程；2、直线与圆相交．
20. 已知函数f(x)＝12
x 2＋lnx. (1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求证：当x>1时，12 x 2＋lnx<23
x 3. 【答案】 (1) f(x)的单调增区间为(0，＋∞) (2)略
【解析】
【分析】
（1）对函数求导，根据定义域，即可判断其单调性，从而知单调区间．
（2）证明当x>1时，
2312ln 23x x x +<，只需证当x>1时，3221ln 032x x x -->， 可设3221()ln 32g x x x x =
--，只需证明1x >时，()0>g x ，因此，利用导数研究()g x 的
单调性，得出()(1)0g x g >>，结论得证．
【详解】(1)依题意知函数的定义域为{x|x>0}，
∵f′(x)＝x ＋，故f′(x)>0，∴f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．
(2)设g(x)＝x 3－x 2－lnx ，∴g′(x)＝2x 2－x －，
∵当x>1时，g′(x)＝>0，
∴g(x)在(1，＋∞)上为增函数，∴g(x)>g(1)＝>0，
∴当x>1时， x 2＋lnx<x 3.
【点睛】（1）求函数的单调区间，首先要考虑函数的定义域，然后求导，导函数大于0，可求单调递增区间，导函数小于0，可求单调递减区间．对于单调函数只需说明导函数大于0（小于0）即可．
（2）证明不等式一般是证明与函数有关的不等式在某个范围内成立，解题时可转化为求函数最值（或值）的问题处理．
21. 选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C 1的参数方程为45cos {55sin x t y t
=+=+（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）
【答案】（1）28cos 10sin 160ρρθρθ--+=；（2）(2,),(2,)42ππ
. 【解析】
【详解】试题分析：（1） 先根据同角三角函数关系cos 2t ＋sin 2t=1消参数得普通方程：（x －
4）2＋（y －5）2＝25 ，再根据cos ,sin x y ρθρθ==将普通方程化为极坐标方程：28cos 10sin 160ρρθρθ--+=（2）将2sin ρθ=代入28cos 10sin 160ρρθρθ--+=得cos 0tan 1θθ==或得,2,224或ππθρθρ=
===再转化为极坐标
试题解析： （1）∵C 1的参数方程为45cos {
55sin x t y t =+=+ ∴（x －4）2＋（y －5）2＝25（cos 2t ＋sin 2t ）＝25，
即C 1的直角坐标方程为（x －4）2＋（y －5）2＝25，
把cos ,sin x y ρθρθ==代入（x －4）2＋（y －5）2
＝25， 化简得：28cos 10sin 160ρρθρθ--+=.
（2）C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，C 1的直角坐标方程为（x －4）2＋（y －5）2＝25， ∴C 1与C 2交点的直角坐标为（1，1），（0，2）.
∴C 1与C 2交点的极坐标为),(2,)42ππ
. 考点：参数方程化普通方程，直角坐标方程化极坐标方程
22. 已知椭圆22
221(0,0)x y a b a b
+=>>的离心率为12，两焦点之间的距离为4. （1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右顶点作直线交抛物线2
4y x =于A 、B 两点，
①求证：OA ⊥OB ；
②设OA 、OB 分别与椭圆相交于点D 、E ，过原点O 作直线DE 的垂线OM ，垂足为M ，证明|OM |为定值. 【答案】（1）22
11612
x y +=；（2）①证明见解析；②证明见解析. 【解析】
【分析】
（1）先求出c ，再求出,a b ，从而可得椭圆的标准方程.
（2）①设过椭圆的右顶点()4,0的直线AB 的方程为4x my =+， ()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线AB 的方程和抛物线方程，消去x 后利用韦达定理可证12120x x y y +=，从而可证OA OB ⊥.
②设()33,D x y 、()44,E x y ，直线DE 的方程为x ty λ=+，联立直线DE 的方程和椭圆方程，
消去x 后利用韦达定理结合34340x x y y +=可得()
227481t λ=+，从而可得所求的定值. 【详解】解：（1）由24,1,2
c c a =⎧⎪⎨=⎪⎩得42a c =⎧⎨=⎩，故212b =. 所以，所求椭圆的标准方程为22
11612
x y +=. （2）（1）设过椭圆的右顶点()4,0的直线AB 的方程为4x my =+.
代入抛物线方程2
4y x =，得24160y my --=. 设()11,A x y 、()22,B x y ，则1212
4,16.y y m y y +=⎧⎨=-⎩ ∴()()1212121244x x y y my my y y +=+++＝()()212121416m
y y m y y ++++＝0.
∴OA OB ⊥.
（2）设()33,D x y 、()44,E x y ，直线DE 的方程为x ty λ=+，代入22
11612
x y +=，得 ()
2223463480t y t y λλ+++-=. 于是23434226348,3434
t y y y y t t λλ-+=-=++. 从而()()22
3434244834
t x x ty ty t λλλ-=++=+ OD OE ⊥，34340x x y y ∴+=. 代入，整理得()227481t λ=+.
∴原点到直线DE
的距离7
d ==为定值. 【点睛】圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.。