基于投影的不完全信息直觉模糊多属性决策方法

基于投影的不完全信息直觉模糊多属性决策方法
徐浩;邢清华;王伟
【摘要】针对权重信息和属性值信息都不完全确定的多属性决策问题,提出了一种基于投影的直觉模糊多属性决策方法.该方法利用直觉模糊集表示不完全的属性值,并以直觉模糊加权投影衡量可选方案与理想方案之间的相似度;在此基础上,通过优化求解非线性规划模型得到了属性权重;并根据方案与正、负理想方案的相对贴近度进行了优劣排序.算例分析结果表明,该方法可以有效解决不完全信息下的多属性决策问题.%Aiming at solving the multi-attribute decision-
making(MADM)problem with both incomplete weight information and incomplete attribute values,a MADM method based on intuitionistic fuzzy sets(IFS)projection was proposed.The incomplete attribute values were represented as IFS,and the weighted intuitionistic fuzzy sets projection was applied to measure the similarity degree between alternatives and the ideal/negative alternative.On this basis,the attributes' weights were obtained via solving a nonlinear programming model,and the alternatives were outranked by comparing the relative similarities between the alternatives and the ideal/negative alternative.The case study result shows that the method proposed in this paper could aid multi-attribute decision-making with incomplete information effectively.
【期刊名称】《科学技术与工程》
【年(卷),期】2017(017)008
【总页数】5页(P101-105)
【关键词】不完全信息;多属性决策;直觉模糊集;投影;非线性规划
【作者】徐浩;邢清华;王伟
【作者单位】空军工程大学防空反导学院,西安 710051;空军工程大学防空反导学院,西安 710051;空军工程大学防空反导学院,西安 710051
【正文语种】中文
【中图分类】N945.25
多属性决策作为决策理论的一个研究重点，已广泛应用于军事[1]、经济[2]等领域，并为这些领域的发展提供了不可或缺的理论和技术支持。

在决策过程中，由于时间紧迫、属性复杂、决策者认知水平有限等原因导致决策信息不完全。

决策信息不完全包括两个方面：一是决策者不能或不愿意提供完整的属性权重；二是所获取的属性值不完全，甚至缺失。

针对决策过程中信息不完全的问题，学者们展开了广泛的研究，并取得了丰硕的成果[3—13]。

权重信息不完全方面。

Fu和Chin[3]针对权重信息不完全情况下的多属性决策问题，提出了一种基于鲁棒证据推理的多属性决策方法，该方法以证据推理为基础，通过建立以方案偏好在不同属性权重条件下稳定性最好为目标函数的优化模型来求取属性权重。

Zhang等[4]采用灰色关联分析方法对权重信息不完全条件下的二元语义多属性群决策问题进行了研究，以离差最大为目标建立优化模型求取属性权重。

Farhadinia[5]研究了犹豫模糊语言框架下的权重信息完全未知的多属性决策问题，采用信息熵法衡量各指标的重要性，并以此确定指标权重。

这些[3—5]都可以为研究权重信息不完全条件下的多属性决策问题提供参考。

属性值不完全方面。

龚本刚[6]指出通过删除含有空缺属性值的属性或方案可以获
得完备的决策矩阵，然而，这种方法破坏了原决策问题的完整性，导致决策结果的
不可信。

任剑[7]、王翯华[8]、尔古打机等[9]分别提出了结合决策者风险偏好和正、负理想解来补全缺失的属性值[7]、以平均值替代空缺的属性值[8]、求解对数均值
诱导偏差矩阵模型来进行属性值空缺的填充[9]等方法。

这些方法可以补全含有空
缺属性值的决策矩阵，然而容易低估原决策问题的不确定性。

刘盾等[10]采用变精度粗糙集方法对含有空缺属性值的多属性决策问题进行了决策规则提取，可以处理信息不完全的决策表，然而当方案的决策值缺失时就难以适用了。

Yang[11]和
Xu[12]采用证据推理方法对属性信息不完全条件下的多属性决策问题进行了研究，在对属性值进行分级化处理后，利用DS证据理论进行信息集成，实现属性信息不完全条件下的决策。

Hua等[13]针对Yang[11]和Xu[12]提出的方法要求属性值必须可等级化的问题，对证据推理方法进行了改进。

尽管证据推理方法可以很好地处理信息不完全的决策问题，然而，它以DS证据理论为基础，在方案属性信息具有强冲突性[14]时可能得到有悖于直观逻辑的决策结果。

考虑到直觉模糊集理论和DS证据理论具有一定的相通性[15]，可以利用直觉模糊集表示不完全的属性值，并且采用直觉模糊决策可以有效避免因证据冲突而得出与直观逻辑相悖的结果，本文提出一种基于直觉模糊投影的决策方法用于解决权重信息和属性值信息都不完全确定的多属性决策问题。

首先，对属性值进行直觉模糊集表示，得到直觉模糊决策矩阵；然后，以直觉模糊加权投影衡量方案的相似度，并借鉴文献[3,4]确定权重的方法建立非线性规划模型求取权重；最后，通过比较各
方案与正、负理想方案的相对贴近度，对方案进行优劣排序。

直觉模糊集[15]通过定义隶属度、非隶属度和犹豫度，可以同时描述对事物的支持、反对和中立观点。

其中，描述中立观点的犹豫度可以用于表示事物的不确知部分。

定义1 [15](直觉模糊集) 设μA:U→[0,1]和νA:U→[0,1]为论域U上的两个函数。

如果∀x∈U，都有0≤μA(x)+νA(x)≤1成立，则称为U上的一个直觉模糊集，称
μA(x),νA(x)和πA(x)分别为x属于A的隶属度、非隶属度和犹豫度，其中
πA(x)=1-μA(x)-νA(x)。

定义2(直觉模糊集加权投影) 设论域U上的两个直觉模糊集为和，元素的权重向量为[ω1,ω2,…,ωn]，则称
PrA(B)=
为直觉模糊集B在直觉模糊集A上的加权投影。

显然，投影PrA(B)越大，B与A 越相似。

2.1 不完全信息多属性决策问题
设多属性决策问题S的方案集为X={a1,a2,…,am}，属性集为C={c1,c2,…,cn}，属性权重向量为W=[ω1,ω2,…,ωn]，由方案属性值组成的决策矩阵为
D=[f(ai,cj)]m×n，其中xij=f(ai,cj)是第i个方案的第j个属性值。

如果权重向量W 不能完全确定或决策矩阵D中至少含有一个空缺元素，则称S为不完全信息多属性决策问题。

本文研究的是属性权重和属性值都不完全确定的多属性决策问题，其中属性权重满足ωj=1，j=1,2,…,n。

2.2 属性值的直觉模糊集表示
鉴于直觉模糊集[15，16]可以有效表示和处理不完全信息，将采用直觉模糊集处理属性权重和属性值都不能完全确定的多属性决策问题。

为此，首先需要对不同形式的属性值进行直觉模糊集表示。

下面介绍属性值为精确值、区间值和语言值以及空缺时，用直觉模糊集<μij,νij>表示的方法，其中μij和νij分别表示第j个属性支持和反对第i个方案为最优方案的程度。

2.2.1 精确属性值的直觉模糊集表示
对于精确属性值xij，用直觉模糊集表示为<μij,νij>，其中，
νij=1-μij
式(2)中，xjmax和xjmin分别是第j个属性可以取到的最大、最小属性值。

2.2.2 区间型属性值的直觉模糊集表示
对于区间型属性值]，用直觉模糊集表示为<μij,νij>，其中，。

2.2.3 语言型属性值的直觉模糊集表示
对于语言型属性值，使用如表1所示的语言值转化为直觉模糊集的方法进行直觉
模糊集表示。

2.2.4 空缺属性值的直觉模糊集表示
属性值xij空缺，表明第j个属性支持和反对第i个方案是最优方案的程度为完全
不确定，即该属性持完全中立态度，因此用直觉模糊集表示为<0,0>。

2.3 基于投影的直觉模糊决策
对属性值进行直觉模糊集表示后，决策矩阵D就转化为了直觉模糊决策矩阵
DIFS=[<μij,νij>]m×n，不完全信息决策问题也就转化为了直觉模糊决策问题。

考虑到以投影定律为基础的基于方案投影的决策方法[1，17]可以直观描述各方案与
理想方案的相似度，本文提出基于投影的直觉模糊决策方法用于决策，即利用直觉模糊加权投影衡量各方案与正、负理想方案的相似度，并根据相似度进行方案排序。

下面给出基于投影的直觉模糊决策步骤。

STEP 1 确定正、负理想方案a+和a-，如式(3)所示。

式(3)中，。

STEP 2 计算各方案到正、负理想方案的直觉模糊加权投影，如式(4)所示。

式(4)中，。

显然，Pra+(ai)越大、Pra-(ai)越小，方案与正理想方案越相似，与负
理想方案差距越大，方案越优。

STEP 3 确定属性权重。

求解非线性规划模型(M 1)，以最优解]作为属性权重向量。

STEP 4 确定方案优先顺序。

利用式(5)计算相对贴近度CPri，CPri越大，方案越优。

比较相对接近度，对方案进行排序和择优。

为了验证本文所提方法的可行性，以文献[6]中的轿车选购为背景进行案例计算。

假设轿车购买者需要根据前期获取的轿车行情综合评价a1、a2、a3、a4、a5五
种轿车来进行选购。

各种轿车的属性信息如表2所示，其中选购的价格范围为9 000～13 000美元，经济性范围为20～36 mpg，马力范围120～200 hp，操作性由最满意、非常满意、满意、一般和不满意进行衡量，舒适度由最好、非常好、好、一般、差进行衡量，*表示未能获得这项信息。

购买者根据自身经济承受力和
实际需求，给出了不完全的属性权重信息W=[ω1,ω2, ω3,ω4,ω5]，其中
ω1∈[0.15,0.2],ω2∈[0.2,0.25], ω3∈[0.1,0.2], ω4∈[0.2,0.25],ω5∈[0.25,0.3]。

显然，这是一个属性值和权重都不完全确知的多属性决策问题。

下面采用基于投影的不完全信息直觉模糊多属性决策方法辅助购买者对五种轿车进行综合评价。

首先将如表2[6]所示的不完全属性信息转化为直觉模糊集形式，得到如式(6)所示
的直觉模糊决策矩阵；然后基于投影进行直觉模糊决策，具体决策过程如下。

(1)确定正、负理想轿车的属性值。

正、负理想轿车的属性值分别为
a+=[<0.975,0>, <0.5625,0>,<0.5,0>,<0.7,0.2>,<0.95,0>]和a-
=[<0,0.4>,<0,0.6875>,<0,0.75>,<0.2,0.7>,<0,0.7>]。

(2)计算各轿车的属性值到正、负理想方案属性值的直觉模糊加权投影，如下：。

(3)确定属性权重。

采用MATLAB中的fmincon函数求解非线性规划模型(M1*)，得到最优解W*=[0.2,0.2,0.1, 0.2,0.3]，并以此作为本次轿车选购的属性权重向量。

(4)对各轿车进行排序。

利用式(5)计算各轿车与正、负理想轿车的相对贴近度，得到：CPr1=0.643 7，CPr2=0.519 2，CPr3=0.468 1，CPr4=0.78，CPr5=0.424 2。

由于
CPr4>CPr1>CPr2>CPr3>CPr5，因此各轿车的优劣顺序为a4>a1>a2>a3>a5。

从直观上看，轿车a4和轿车a1的价格相同、操作性一样，而轿车a4的马力略大于a1，在舒适度上a4也比a1优越；并且，轿车a1的经济性是中等偏下的，在
经济性上，a1优于a4的可能性较小；因此，a4要优于a1。

同理，可以得出a1
优于a2，a2优于a3，a3优于a5。

参照文献[6]中的定量属性值等级划分方法对价格、经济性和马力3个属性进行等
级划分，并采用证据推理方法[11—13]对五种轿车进行综合评价，得到的轿车优
劣顺序依旧是a4>a1>a2>a3>a5。

总之，无论从直观逻辑上看，还是与其它方法进行比较都证明采用基于投影的直觉模糊决策方法得出的排序结果是合理的。

这也表明本文所提出的决策方法是可行的。

不完全信息下的多属性决策问题是决策领域的研究热点。

为了解决权重信息和属性值信息都不完全确定的多属性决策问题，本文提出了一种基于投影的直觉模糊多属性决策方法。

该方法采用直觉模糊集表示属性值，使不完全的属性信息得到了有效描述；利用直觉模糊集加权投影衡量方案与理想方案的相似度，使方案的优劣程度得到了直观的描述；进行双向投影直觉模糊决策，使决策结果更加合理。

总之，本文所提出的决策方法是一种操作简单、可有效辅助不完全信息条件下多属性决策的优良方法。

Xu Hao, Xing Qinghua, Wang Wei. Method for MADM with incomplete information based on IFS projection[J]. Science Technology and Engineering, 2017， 17(8)： 101—105
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