最优控制实验报告

最优控制论文
一、最优控制（optimal control）的一般性描述：
通过这一门课程的学习，首先给最优控制（Optimal Control)下一个定义：在规定的限度下，使被控系统的性能指标达到最佳状态的控制。

先了解一下最优控制发展的历史：最优控制理论是50年代中期在空间技术的推动下开始形成和发展起来的。

美国学者R.贝尔曼1957年动态规划和前苏联学者L.S.庞特里亚金1958年提出的极大值原理，两者的创立仅相差一年左右。

对最优控制理论的形成和发展起了重要的作用。

线性系统在二次型性能指标下的最优控制问题则是R.E.卡尔曼在60年代初提出和解决的。

另外我国科学家钱学森1954年所着的《工程控制论》（EngineeringCybernetics）直接促进了最优控制理论的发展和形成。

最优控制主要研究的问题：根据已建立的被控对象的时域数学模型或频域数学模型，选择一个容许的控制律，使得被控对象按预定的要求运行，并使给定的某一性能指标达到最优值。

例如，对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优。

这类问题广泛存在于技术领域或社会问题中。

例如，确定一个最优控制方式使空间飞行器由一个轨道转换到另一轨道过程中燃料消耗最少。

现在，我们把这些问题转化为数学模型来分析：在运动方程和允许控制范围的约束下，对以控制函数和运动状态为变量的性能指标函数（称为泛函）求取极值（极大值或极小值）。

解决最优控制问题的主要方法有古典变分法（对泛函求极值的一种数学方法）、极大值原理和动态规划。

最优控制已被应用于综合和设计最速控制系统、最省燃料控制系统、最小能耗控制系统、线性调节器等广泛领域中。

二、最优控制解决问题的基本方法及其特点和适用范围
1、变分法
变分法又分为古代变分法和现代变分法，它是数学领域里处理泛函（函数的函数）极值的一种方法，可以确定容许控制为开集的最优控制函数，也是研究
最优控制问题的一种重要工具。

但是，在用变分法求解最优控制的问题时，它的缺点是只有当控制向量u （t）不受任何约束，其容许控制集合充满整个m维控制空间，用古典变分法来处理等式约束条件下的最优控制问题才是行之有效的。

在许多实际控制问题中，控制函数的取值常常受到封闭性的边界限制，如方向舵只能在两个极限值范围内转动，电动机的力矩只能在正负的最大值范围内产生等。

因此，古典变分法对于解决许多重要的实际最优控制问题，是不适用的，它的应用范围受到了一定的限制。

2、极值原理：
极值原理，是分析力学中哈密顿方法的推广。

极值原理的突出优点是可用于控制变量受限制的情况，能给出问题中最优控制所必须满足的条件。

用古典变分法求解最优控制问题时，只有当控制向量u(t)不受任何约束，其容许控制集合充满整个m维控制空间，用古典变分法来处理等式约束条件下的最优控制问题才是行之有效的。

然而。

在实际物理系统中，控制向量总是受到一定的限制，容许控制只能在一定的控制域内取值，用古典变分法将难以处理这类问题。

例如在时间最优控制问题中，最优控制的取值正是在控制域方体的角点上跳动，这时的u(t)也不再是时间的连续函数，而只是分段连续函数。

而在有些问题中，容许控制集合甚至只是控制空间中一些孤立的点，对这样的控制问题，古典变分法难以解决。

前苏联学者庞特里亚金等人在总结并运用古典变分法成果的基础上，提出了极小值原理，成为控制向量受约束时求解最优控制问题的有效工具，最初应用于连续系统，以后又推广用于离散系统。

与经典变分法相比，极小值原理的适应范围如下：
1）容许控制条件放宽了。

2）最优控制使哈密顿函数取全局极小值。

3）极小值原理不要求哈密顿函数对控制的可微性。

应用条件进一步放宽。

4）极小值原理给出了最优控制的必要而非充分条件。

换而言之，满足极小值原理的控制是否真能使性能指标泛函取最小值还需一步判断。

3、动态规划
动态规划其实是一种数学方法，用来求解决策过程最优化的问题。

它适用于
计算机求解， 原因在于动态规划法原理简明。

在许多理论问题的研究中，都应用到动态规划的思路。

动态规划是求解最优化问题的重要方法，在应用动态规划时，有一个前提条件是系统的状态变量必须满足“无后效性”。

无后效性的定义是：在任一时刻k t ，系统状态为x （k t ），以后的状态仅决定于x （k t ）以及x （k t ）到达终点时刻1t 的状态x （1t ）的控制策略，而与以前的状态和以前的控制策略无关。

因此，在应用动态规划方法时，要注意状态变量的选取，使之满足“无后效性”的条件。

例如，讨论物体在空间运动时，不仅选用物体的空间位置座位状态变量，而且要将速度变量也包括在状态变量之内，以便满足“无后效性”的条件。

动态规划法的局限性还表现在所谓的“维数灾难”问题：当状态变量的维数增加，要求计算机内存成指数倍增长，计算工作量也大大增加。

此外，求解连续决策过程采用的动态规划法得到的哈密顿-雅克比方程是偏微分方程，求解x （k t ）也是相当困难的。

动态规划虽然提供的是充分条件，但是，由于连续型系统的哈密顿-雅克比方程难于求解而不能满足实际需要。

三、三种方法之间的相互关系及使用范围
最优控制的求解方法包括变分法、极小值原理、动态规划等等。

研究最优控制问题有力的数学工具当然是变分理论，而经典变分理论只能够解决控制无约束的问题，但是工程实践中的问题大多是控制有约束的问题，因此出现了现代变分理论。

现代变分理论中最常用的有两种方法。

一种是动态规划法，另一种是极小值原理。

它们都能够很好的解决控制有闭集约束的变分问题。

另外，变分法、动态规划法和极小值原理实质上都属于解析法。

总之：变分法主要是解决开集约束的最优控制问题，但对于处理闭集性约束将失去作用。

变分法与极小值原理都可以解微分方程所描述的变分问题作为目标，结果得出了一组常微分方程所表示的必要条件。

动态规划法、极小值原理和变分法，都是求解最优控制问题的重要方法。

由动态规划的哈密顿-雅克比方程，可以推得变分法中的欧拉方程和横截条件：也可以推得极小值原理的必要条件。

这三种方法要求的条件不同，其中属动态规划要求最高。

在所要求的条件都满足
的情况下，使用这三种方法结论都是相一致的，只是途径不同而已。