福建省三明市第一中学2021届高三数学上学期10月月考试题(含解析)

福建省三明市第一中学2021届高三数学上学期10月月考试题（含解
析）
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．考试时间120分钟，满分150分．
2．本试卷包括必考和选考两部分．第22题为选考题，考生可在其中的（A ），（B ）两题中任选一题作答；其它试题为必考题，所有考生都必须作答．
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设集合2
{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N ⋂=
A. (0,4]
B. [0,4)
C. [1,0)-
D. (1,0]-
【答案】B 【解析】
试题分析：()()2
34041014x x x x x --<⇒-+<⇒-<<，故M N ⋂=[0,4)，故选B ．
考点：1.一元二次不等式的
解法；2.集合的运算．
2.在等差数列{}n a 中，若244,2a a ==，则8a =（ ） A. 2- B. 0
C. 6
D. 8
【答案】A 【解析】 【分析】
设等差数列的公差为d ,根据等差数列的公差公式n m
a a d n m
-=-求得公差d ,然后根据等差数
列的通项公式的变形形式()n m a a n m d =+-可求得. 【详解】设等差数列公差为d ,则4242a a d -=
-24
42
-=-1=-, 所以82(82)46(1)2a a d =+-=+⨯-=-. 故选A .
【点睛】本题考查了等差数列的公差公式以及通项公式的变形形式的应用,这样可以避开首项,
减少计算量,属基础题.
3.已知a b >，c d >，且c ，d 不为0，那么下列不等式成立的是（ ） A. ad bc > B. ac bd > C. a c b d ->- D. a c b d +>+
【答案】D 【解析】
试题分析：根据不等式的性质，可知,a b c d >>，则a c b d +>+，故选D. 考点：不等式的性质.
4.已知(5,2),(4,3)a b =-=--，若230a b c -+=，则c 的坐标为（ ） A. 8(1,)3
B. 138(,)33
-
C. 134(
,)33
D.
134(,)33
-
- 【答案】D 【解析】 【分析】
设(,)c x y =,将向量,,a b c 的坐标代入230a b c -+=中,利用向量的坐标的加法,减法和数乘运算可以得到.
【详解】设(,)c x y =,因为230a b c -+=, 所以(5,2)2(4,3)3(,)(0,0)x y ----+=. 所以(583,263)(0,0)x y ++-++=, 所以1330,430x y +=+=,
解得:133
x ,4
3y =-.
所以134
(,)33
c =--.
故选D .
【点睛】本题考查了平面向量的加法,减法和数乘的坐标运算,属基础题.
5.设l为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A. 若//
lα，//
lβ，则//
αβ B. 若lα
⊥，lβ
⊥，则//
αβ
C. 若lα
⊥，//
lβ，则//
αβ D. 若αβ
⊥，//
lα，则lβ
⊥
【答案】B
【解析】
A中，,αβ也可能相交；B中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C中，,αβ也可能相交；D中，l也可能在平面β内.
【考点定位】点线面的位置关系
6.若实数x、y满足
1
x y
x y
x
-≤
⎧
⎪
+≤
⎨
⎪≥
⎩
，则2
z x y
=+的最大值为（）．
A. 0
B. 1
C.
3
2
D. 2
【答案】D
【解析】
所以过()
0,1时，
max
2
z=，故选D。

7.要得到函数4
y sin x
=-
（
3
π
）的图象，只需要将函数4
y sin x
=的图象（）
A. 向左平移
12
π
个单位
B. 向右平移
12
π
个单位
C. 向左平移3π
个单位 D. 向右平移3
π
个单位
【答案】B 【解析】
因为函数sin 4sin[4()]312y x x ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，要得到函数43y sin x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象，只需要
将函数4y sin x =的图象向右平移12
π
个单位。

本题选择B 选项.
点睛：三角函数图象进行平移变换时注意提取x 的系数，进行周期变换时，需要将x 的系数变为原来的ω倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同．
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A. 8
B. 12
C.
3
32 D.
403
【答案】C 【解析】 【分析】
先根据三视图在长方体中还原直观图,可知该几何体是一个上部为正四棱锥,下部为正方体的组合体,再根据三视图的数据利用四棱锥和正方体的体积公式计算后相加可得. 【详解】根据三视图可知该几何体是一个上部为正四棱锥,下部是一个正方体的组合体, 正四棱锥的高为2,底面积为224⨯=,所以其体积为:184233
⨯⨯=, 正方体的棱长为2,所以其体积为328=,
所以该组合体的体积为:832833
+=. 故选C .
【点睛】本题考查了由组合体的三视图求组合体的体积,关键是要根据三视图还原出几何体来,通常是在长方体中,根据三视图来确定一些点,然后将这些点连起来得到直观图,在确定直观图时,要分析出哪些点一定取,哪些点一定不能取,还要注意实线和虚线问题,实线表示没有被遮住,虚线被遮住了.属中档题.
9.已知0,0a b >>,,a b 的等比中项是1，且1m b a =+，1
n a b
=+，则m n +的最小值是（ ） A. 3 B. 4
C. 5
D. 6
【答案】B 【解析】 【分析】
由等比中项定义得1ab = ，再由基本不等式求最值。

【详解】
,a b 的等比中项是1，∴1ab =，∴m ＋n=1b a +
+1
a b +=a b a b ab
+++ =
2()a b + ≥ 4= .当且仅当1a b == 时，等号成立。

故选B 。

【点睛】利用基本不等式求最值问题，要看是否满足一正、二定、三相等。

10.已知tan 16πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan 6πα⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭（ ）
A. 2
B. 2
C. 2-
D. 2-【答案】D 【解析】
分析：利用“拆角”技巧可得tan 6πα⎛
⎫
- ⎪⎝
⎭tan 63ππα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，利用两角差的正切公式可得结果.
详解：tan 6πα⎛
⎫- ⎪⎝⎭tan 63ππα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，
tan tan
631tan tan
63ππαππα⎛
⎫+- ⎪⎝⎭=⎛
⎫++ ⎪⎝⎭
2=
=-，故选D.
点睛：三角函数求值时要注意：(1)观察角，分析角与角之间的差异以及角与角之间的和、差、倍的关系，巧用诱导公式或拆分技巧；(2)观察名，尽可能使三角函数统一名称；(3)观察结构，以便合理利用公式，整体化简求值.
11.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 2=3，S 4=15，则S 6=（ ） A. 31 B. 32
C. 63
D. 64
【答案】C 【解析】
试题分析：由等比数列的性质可得S 2，S 4﹣S 2，S 6﹣S 4成等比数列，代入数据计算可得． 解：S 2=a 1+a 2，S 4﹣S 2=a 3+a 4=（a 1+a 2）q 2，S 6﹣S 4=a 5+a 6=（a 1+a 2）q 4， 所以S 2，S 4﹣S 2，S 6﹣S 4成等比数列， 即3，12，S 6﹣15成等比数列， 可得122=3（S 6﹣15）， 解得S 6=63 故选：C
考点：等比数列的前n 项和．
12.函数()sin(),(0,0)2
f x x ωϕωϕπ
=+><<
在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是图象的最高点和最低点，O 为坐标原点，且0OM ON ⋅=，则,ωϕ的值分别是（ ）
A.
,36
2ππ B. ,
3
ππ C. 4
π2,
D. 1,
3
π 【答案】A 【解析】 【分析】
先由图观察可知点1(,1)2M ,点1(,1)22
T
N +
-(其中T 为周期),再根据0OM ON ⋅=可得3T =,然后根据周期公式2||T πω=
可求出23πω=;再由1222
k πωϕπ⋅+=+,k Z ∈,以及02
π
ϕ<<
可解得ϕ.
【详解】由图观察可知点1(,1)2M ,点1(,1)22T
N +-(其中T 为周期),
因为0OM ON ⋅=,所以11()1(1)0222
T
⨯++⨯-=,解得3T =,
由周期公式2||T πω=得23||πω= 解得23
πω=; 由1222k πωϕπ⋅
+=+,k Z ∈,以及02π
ϕ<<可解得ϕ6
π=. 【点睛】本题考查了由()sin(),(0,0)2
f x x ωϕωϕπ
=+><<的图象求参数,ω与函数周期有
关,利用周期列式可解得ω,ϕ通常利用最高点或最低点或函数图象上的拐点的坐标代入解析
式来解得.属于中档题.
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡的相应位置） 13.已知向量,a b 均为单位向量，且<a ,b >=3
π
，则||a b +=_______． 3【解析】 【分析】
根据单位向量可得其模长为1,再根据向量数量积可得1
||||cos ,2
a b a b a b ⋅=<>=
,然后将
||a b +222a a b b =+⋅+可求得.
【详解】因为||||1a b ==,所以||||cos ,a b a b a b ⋅=⋅<>111122
=⨯⨯
=,
所以||a b +222a a b b =+⋅+==【点睛】本题考查了向量的数量积和向量的模的求法,通常利用2||a a =来求向量的长度,属于基础题.
14.已知数列{}n a 的前n 项和2
1n S n =+，则数列{}n a 的通项公式是______.
【答案】2,121,2*n n a n n n N =⎧=⎨-≥∈⎩
且
【解析】 【分析】
1n = 时,112a S ==,利用2n ≥ 时,1n n n a S S -=- 可得21n a n =-,最后验证1n =是否
满足上式,不满足时候,要写成分段函数的形式. 【详解】当1n = 时, 112a S ==,
当2n ≥时, 1n n n a S S -=-=22
1(1)121n n n +---=-,
又1n = 时,12111n a a ==⨯-=不适合, 所以2,
121,2
n n a n n =⎧=⎨
-≥⎩.
【点睛】本题考查了由n S 求n a ,注意使用1n n n a S S -=-求n a 时的条件是2n ≥,所以求出
n a 后还要验证n a 适不适合1n = ,如果适合,要将两种情况合成一种情况作答,如果不适合,
要用分段函数的形式作答.属于中档题.
15.在Rt ABC ∆中，2
C π
=，且角,,A B C 所对的边,,a b c 满足a b cx +=，则实数x 的取值
范围是____．
【答案】
【解析】 【分析】
在直角三角形中,利用
sin ,sin a c A b c B ==,将a b cx +=化成
sin cos x A A =+(0)2A π
<<
,再变成 )4
x A π
=+ 后,根据三角函数的性质可得. 【详解】在Rt ABC ∆中, 2
C π
=
,所以sin ,sin a c A b c B ==,
所以由a b cx +=,可得sin sin c A c B cx +=, 又0c >,所以sin sin x A B =+, 因为,2
C π
=
所以2
B A π=
-,所以sin sin(
)cos 2
B A A π
=-=,
所以sin cos x A A =+
)4
A π
+,
因为02
A π
<<
,所以
34
4
4
A π
π
π
<+
<
,
所以
sin()124
A π
<+≤,
所以x ∈.
所以实数x 的取值范围是.
【点睛】本题考查了正弦定理,两角和与差的正弦公式,利用正玄定理将已知条件中的边化成角,然后利用正弦函数的性质来解是解题一般思路,属中档题.
16.已知四面体ABCD 内接于球O ，且2AB BC AC ==
=，若四面体ABCD 的体积为
3
，球心O 恰好在棱DA 上，则球O 的表面积是_____． 【答案】16π 【解析】 【分析】
根据2AB BC AC ==
=,可知△ABC 为直角三角形,其外接圆的圆心为AC 的中点1O ,
连1OO ,可知1OO ⊥平面ABC ,根据1,O O 为,AD AC 的中点可知DC ⊥ 平面ABC ,所以
DC 为四面体ABCD 的高,根据四面体ABCD 的体积可求得DC ,在直角三角形DCA 中
由勾股定理可求得外接球的直径AD ,从而可得球的半径,再由球的表面积公式可求得球的表面积.
【详解】如图:在三角形ABC 中,因为222AB BC AC +=,所以△ABC 为直角三角形,所以三角形ABC 的外接圆的圆心为AC 的中点1O ,连1OO ,根据垂径定理,可得1OO ⊥平面ABC ,因为1,O O 为,AD AC 的中点可知DC ⊥平面ABC ,所以DC 为四面体ABCD 的高. 所以
1123
2232DC ⨯⨯⨯=
,解得23DC =.所以22(23)24AD =+=. 所以四面体ABCD 的外接球的半径为2,表面积为24R π=24216ππ⨯=.
【点睛】本题考查了球与四面体的组合体,三棱锥的体积,球的表面积公式,利用垂径定理和中位线平行得到
DC ⊥ 平面ABC 是解题关键.属于中档题.
三、解答题：（本大题共6小题，第17-21每题12分，第22题10分，共70分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程、演算步骤） 17.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量22
(
,(sin ,cos ),(0,)22
a b x x x =-=∈π．
（1）若//a b ，求2sin 1
sin 2x x
+的值；
（2）若a 与b 的夹角为3
π
，求x 的值． 【答案】(1) 3
2-；(2) 512
x π= 【解析】 【分析】
(1)0x x =,化简得tan 1x =-,再将1变成22sin cos x x + , 利用二倍角正弦公式将sin 2x 变成2sin cos x x ,代入原式中,然后分子分母同时除以2cos x 转化为正切可计算得.
(2)利用2|||)cos(,)sin cos 22
a b a b a b x x ⋅==
-列式,再化成辅助角的形式可求得.
【详解】解：（1）∵2(
,(sin ,cos )a b x x ==且//a b ,
∴
022
x x +=, ∴tan 1x =-.
∴2222sin 1cos 2sin 12tan 3sin 22sin cos 2tan 2
x x x x x x x x +++===-
（2）∵2(
,(sin ,cos )22
a b x x =-= ∴||||1a b == ∵a 与b 的夹角为
3
π
, ∴1cos ,cos
32||||
a b a b a b a b π⋅<>====⋅,
∴
1222
x x -=,
∴1sin()4
2x π-=
, 又(0,)x π∈,∴444x ππ3π
-<-<,
∴46x ππ
-=,∴512
x π=.
【点睛】本题考查了平面向量平行的坐标表示,平面向量的数量积的几何表示和坐标表示,以及二倍角的正弦公式,辅助角公式, 22sin cos x x +=1的逆用,属中档题.
18.已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，12364a a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21
(1)log n n
b n a =
+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
【答案】(1) 2
*42
2,n n n a n -=⋅=∈N ．(2) 1
n n
S n =+ 【解析】 【分析】
(1)利用等比数列的性质,由12364a a a =,可得3264a =，即24a =,再根据公式n m
n m a a q -=⋅
可求得; (2)先化简21
(1)log n n
b n a =+,得1(1)n
b n n ,再利用裂项公式111
(1)1
n n n n =-++,裂项求
和即可得到.
【详解】解：（1）∵等比数列{}n a 满足12364a a a =,
∴3
264a =，即24a =,
又等比数列{}n a 的公比为2,
∴数列{}n a 的通项公式为2
*42
2,n n n a n -=⋅=∈N , （2）由（1）知22111(1)log (1)log 2(1)
n n n b n a n n n ===+++,
∴111
n b n n =
-+,
∴1111111223
111n n S n n n n 1=-
+-++
-=-=+++, ∴数列{}n b 的前n 项和1
n n
S n =+.
【点睛】本题考查了等比数列的等比中项的性质,等比数列的通项公式,裂项求和方法,常见的裂项公式有:1111()()1n n d d n n =-++,1111
()(21)(21)22121
n n n n =--+-+,属中档题.
19.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥面ABCD ，E 为PD 的中点。

（1）证明：//PB 平面AEC ; （2）设1AP =，3AD =
，三棱锥P ABD -的体积 3
4
V =
，求A 到平面PBC 的距离。

【答案】（1）证明见解析 （2） A 到平面PBC 的距离为313
13
【解析】
【详解】试题分析：（1）连结BD 、AC 相交于O ，连结OE ，则PB∥OE，由此能证明PB∥平面ACE ．（2）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A 到平面PBD 的距离
试题解析：(1）设BD 交AC 于点O ，连结EO 。

因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点。

又E 为PD 的中点，所以EO∥PB 又EO
平面AEC ，PB
平面AEC
所以PB∥平面AEC 。

（2）13
6V PA AB AD AB =
⋅⋅= 由
，可得
.
作交于。

由题设易知，所以
故，
又313
13
PA AB AH PB ⋅=
=
所以到平面的距离为
法2：等体积法
1366
V PA AB AD AB =
⋅⋅= 由
，可得
. 由题设易知,得BC
假设
到平面
的距离为d ，
又因为PB=
所以
又因为(或)，
，
所以
考点：线面平行的判定及点到面的距离 此处有视频，请去附件查看】
20.已知函数231
()2cos ,22
f x x x x =
--∈R ． （1）求函数()f x 的最小正周期、最小值、对称轴、对称中心； （2）设ABC ∆的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且3,()0c f C =
=，若
2sin sin A B =，求,a b 的值．
【答案】(1) 最小正周期是T π=，最小值是-2. 对称轴为,3
2
k x k Z π
π
=
+
∈；对称中心为(
,1),212
k k ππ
+-∈Z ；(2) 1,2a b ==. 【解析】 【分析】
(1)先根据两角和与差的正弦公式化简为sin()y A x b ωϕ=++ 的形式,结合正弦函数的最值,对称轴和对称中心可得到函数()f x 的最小值,对称轴和对称中心,再由2||
T π
ω= 可求出其最小正周期.
(2)由(1)确定的()f x 的解析式及()0f C =,求出sin(2)16
C π
-
=.由C 的范围,求出26
C π
-
的范围,利用特殊角的三角函数值及正弦函数的图象求出角C 的度数,由sin 2sin B A =,利用正弦定理得到2b a =,再利用余弦定理得到2222cos c a b ab C =+-,将c 与cos C 的值代入得到关于a 和b 的方程求出a 与b 的值. 【详解】解：（1
）∵1cos 21
()222
x f x x +=--=sin(2)16x π--,
∴()f x 的最小正周期是22
T π
π==，最小值是-2. 令2,62x k k Z π
π
π-
=
+∈，则()f x 的对称轴为,32
k x k Z π
π
=
+
∈, 令2,6x k k π-=π∈Z ，则()f x 的对称中心为(
,1),212
k k ππ
+-∈Z , （2）()sin(2)106
f C C π=--=,
则sin(2)6C π
-=1,
0,022C C ππ<<∴<<,11
2666C ππ∴-<-<π,
26
C π
∴-
=
2
π
,解得3C π=,
又
sin 1sin 2A B =，由正弦定理得1
2
a b = ①, 由余弦定理得2
22
2cos
3
c
a b ab π
=+-，即3=22a b ab +- ②,
由①②解得1,2a b ==.
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【点睛】本题考查了两角和与差的正弦公式,正弦函数的最值,对称轴,对称中心,最小正周期,正弦定理角化边,余弦定理.一般地,求含有sin x ,cos x 的函数()f x 的最小正周期,对称轴,对称中心,需要将函数解析式利用公式,化成sin()y A x b ωϕ=++的形式,再利用正弦函数的对应性质解题.属中档题.
21.已知等差数列{}n a 中，26a =，3627a a +=.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1
32
n
n n S T -=⋅，若对于一切正整数n ，总有n T m ≤成立，求实数m 的取值范围
【答案】（1）3n a n =;（2）32
m ≥. 【解析】
试题分析：(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,运用等差数列的通项公式,计算即可得到; (2)由等差数列的求和公式和数列的单调性,可得n T 的最大值,再由恒成立思想,即可得到m 的范围.
试题解析：（1）设公差为d ，由题意得：
116
{2727
a d a d +=+=，解得13
{3a d ==， ∴3n a n =.
（2）∵()()3
312312
n S n n n =+++⋯+=+， ∴()12n n
n n T +=
，
∴()()()()()11
112112222n n n n
n n n n n n n T T +++++++--=
-=，
∴当3n ≥时，1n n T T +>，且123312
T T T =<==， ∴n T 的最大值是32，故32
m ≥.
22.已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是26x t
y t =⎧⎨=+⎩
（t 是参数），以原点O 为
极点，x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为
ρθ=.
（Ⅰ）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设(,)M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围.
【答案】(Ⅰ)直线l 的普通方程为260x y -+=，曲线C 的普通方程为
(2
22x y +=.(Ⅱ)2⎡-⎣.
【解析】
分析：（Ⅰ）由26
x t
y t =⎧⎨
=+⎩消去参数即可得到直线l 的普通方程；把ρθ=化为
2cos ρθ=，可得曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）据题意设点)
M
θθ，则x y θθ+=+
2sin 4πθ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，从而即可得到x y +的取值范围.
解析：（Ⅰ）由26x t
y t =⎧⎨=+⎩
，得26y x =+，
故直线l 的普通方程为260x y -+=，
由ρθ=，得2cos ρθ=，
所以2
2
x y +=，即(2
22x y +=，
故曲线C 的普通方程为(2
22x y -+=.
（Ⅱ）据题意设点)
M
θθ，
则x y θθ+=
2sin 4πθ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
所以x y +的取值范围是2⎡-++⎣.
点睛：将参数方程化为普通方程的方法
将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如22sin cos 1θθ+=.
23.已知函数() 1.f x x a x =-++
(1）若2a ，=求不等式()2f x x >+的解集；
(2）如果关于x 的不等式()2f x <的解集不是空集，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|13}x x x 或；（2）()3,1- 【解析】 【分析】
（1）代入a 的值，由绝对值不等式分类讨论得到最后的解。

（2）由绝对值三角不等关系，得到关于a 的表达式，再根据条件求得a 的取值范围。

【详解】（1）当2a =时，知()()21(1)
3
(12)212x x f x x x x ⎧-+<-⎪
=-≤<⎨⎪-≥⎩
，不等式()2f x x >+ 等价于 1212x x x <-⎧⎨-+>+⎩ 或1232x x -≤<⎧⎨>+⎩ 或2212x x x ≥⎧
⎨
->+⎩
解得：13x x 或 故原不等式的解集为{|13}x x x 或 . （2）
()()()111f x x a x x a x a =-++≥--+=+，当()()10x a x -+≤时取等号.
∴若关于x 的不等式()2f x <的解集不是空集，只需12,a +<
解得-31a <<，即实数a 的取值范围是-31.（，）
【点睛】本题考查了含绝对值不等式的解法，核心是如何去绝对值，属于中档题。