【典型题】高三数学下期末模拟试题带答案(4)

【典型题】高三数学下期末模拟试题带答案(4)
一、选择题
1．()22
x x
e e
f x x x --=+-的部分图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．设函数()()21,0
4,0x log x x f x x ⎧-<=⎨≥⎩
，则()()233f f log -+=（ ）
A ．9
B ．11
C ．13
D ．15
3．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
4．()62111x x ⎛
⎫++ ⎪⎝⎭
展开式中2x 的系数为（ ） A ．15
B ．20
C ．30
D ．35
5．下列各组函数是同一函数的是（ ）
①(
)f x =
与(
)f x =(
)f x y ==()f x x =与
(
)g x =
③()0
f x x =与()0
1g x x
=
；④()221f x x x =--与()2
21g t t t =--． A ．① ② B ．① ③
C ．③ ④
D ．① ④
6．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3
x π
=
对称的函数是（ ）
A ．2sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
B ．2sin 26y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭ C ．2sin 23x y π⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
D ．2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
7．已知向量()1,1m λ=+r ，()2,2n λ=+r ，若()()m n m n +⊥-r r r r
，则λ=（ ）
A ．4-
B ．3-
C ．2-
D ．1-
8．已知,a b ∈R ，函数32
,0()11(1),03
2x x f x x a x ax x <⎧⎪
=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ） A ．1,0a b <-< B ．1,0a b <-> C ．1,0a b >-<
D ．1,0a b >->
9．在[0,2]π
内，不等式sin x <的解集是（ ） A ．(0)π，
B ．4,33ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．45,33ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．5,23ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
10．一个容量为80的样本中数据的最大值是140,最小值是51,组距是10,则应将样本数据分为( ) A ．10组
B ．9组
C ．8组
D ．7组 11．已知复数z 满足()12i z +=，则复数z 的虚部为（ ） A ．1
B ．1-
C ．i
D ．i -
12．函数()()2
ln 1f x x x
=+-的一个零点所在的区间是( ) A ．()0,1
B ．()1,2
C ．()2,3
D ．()3,4
二、填空题
13．设25a b m ==,且11
2a b
+=,则m =______. 14．曲线2
1
y x x
=+
在点（1，2）处的切线方程为______________．
15．若过点()2,0M
且斜率为3的直线与抛物线(
)2
:0C y ax a =>的准线l 相交于点
B ，与
C 的一个交点为A ，若BM MA =u u u u v u u u v
，则a =____．
16．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．
17．若9
()a
x x
-的展开式中3x 的系数是84-，则a = ．
18．已知复数z=1+2i （i 是虚数单位），则|z|= _________ ．
19．若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≤⎩
，则32z x y =+的最大值为_____________．
20．(
)sin 5013tan10
+=o
o
________________.
三、解答题
21．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，连接BD ，其中DA DP =，
BA BP =.
（1）求证：PA BD ⊥；
（2）若DA DP ⊥，060ABP ∠=，2BA BP BD ===，求二面角D PC B --的正弦值.
22．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ,B ,C 的对边，3c asinC ccosA =-. (Ⅰ)求A ；
(Ⅱ)若a =2，ABC ∆3，求b ，c .
23．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
()1设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；
()2设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期
望．
24．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，1A D 与1AD 交于点E .124AA AB AD ===.
（1）证明：AE ⊥平面ECD ；
（2）求直线1A C 与平面EAC 所成角的正弦值.
25．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PC ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，//AB CD ，
2AB =，1AD CD ==，E 是PB 上一点.
（1）求证:平面EAC ⊥平面PBC ；
（2）若E 是PB 的中点，且二面角P AC E --6
，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值.
26．（辽宁省葫芦岛市2018年二模）直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为
21x tcos y tsin α
α=+⎧⎨
=+⎩
(t 为参数)，在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为6cos ρθ=.
（1）求圆C 的直角坐标方程；
（2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，若点P 的坐标为()2,1，求PA PB +的最小值.
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一、选择题
1．A 解析：A 【解析】 【分析】
根据函数的奇偶性，排除D ；根据函数解析式可知定义域为{}
1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1，利用特殊值x=0.01和x=1.001代入即可排除错误选项． 【详解】
由函数解析式()22x x e e f x x x --=+-，易知()2
2x x
e e
f x x x ---=+-=() f x - 所以函数()22
x x
e e
f x x x --=+-为奇函数，排除D 选项
根据解析式分母不为0可知,定义域为{}
1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1， 当x=0.01时，代入()f x 可得()0f x <，排除C 选项 当x=1.001时，代入()f x 可得()0f x >，排除B 选项 所以选A 【点睛】
本题考查了根据函数解析式判断函数的图象，依据主要是奇偶性、单调性、特殊值等，注意图中坐标的位置及特殊直线，属于中档题．
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案. 【详解】
∵函数2log (1),0
()4,0x
x x f x x -<⎧=⎨≥⎩
， ∴()2l 23
og 2(3)log 3log 44f f -+=+=2+9=11．
故选B ． 【点睛】
本题考查函数值的求法，考查指对函数的运算性质，是基础题．
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
从正视图和侧视图上分析，去掉的长方体的位置应该在的方位，然后判断俯视图的正确图
形． 【详解】
由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的右侧， 由以上各视图的描述可知去掉的长方体在原长方体的右上方，其俯视图符合C 选项． 故选C ．
点评：本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义． 考点：三视图．
4．C
解析：C 【解析】 【分析】
利用多项式乘法将式子展开,根据二项式定理展开式的通项即可求得2x 的系数. 【详解】
根据二项式定理展开式通项为1C r n r r
r n T a b -+=
()()()66622
111111x x x x x ⎛⎫++=++⋅+ ⎪⎝⎭
则()6
1x +展开式的通项为16r r
r T C x +=
则()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 展开式中2x 的项为22446621C x C x x ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭ 则()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 展开式中2x 的系数为2466151530C C +=+= 故选:C 【点睛】
本题考查了二项定理展开式的应用,指定项系数的求法,属于基础题. 5．C 解析：C 【解析】 【分析】
定义域相同，对应关系一致的函数是同一函数，由此逐项判断即可. 【详解】
①中()f x =
的定义域为(),0∞-，()f x =(),0∞-，但
()
f x ==-与()f x =
②中()f x x =与()g x =
R ，但()g x x ==与()f x x =对应关系不
一致，所以②不是同一函数；
③中()0
f x x =与()01
g x x =
定义域都是{}|0x x ≠，且()0
1f x x ==，()
11g x x ==对应关系一致，所以③是同一函数；
④中()2
21f x x x =--与()2
21g t t t =--定义域和对应关系都一致，所以④是同一函数.
故选C 【点睛】
本题主要考查同一函数的概念，只需定义域和对应关系都一致即可，属于基础题型.
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
首先选项C 中函数2sin 23x y π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭的周期为
2412
T π
π==,故排除C,将3x π=,代入A,B,D 求得函数值,而函数sin()y A x B ωϕ=++在对称轴处取最值,即可求出结果. 【详解】
先选项C 中函数2sin 23x y π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭的周期为
2412
T π
π==,故排除C,将3x π=,代入A,B,D 求得函数值为0,2,3,而函数sin()y A x B ωϕ=++在对称轴处取最值. 故选:B . 【点睛】
本题考查三角函数的周期性、对称性,难度较易.
7．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
∵()()m n m n +⊥-r r r r ，∴
()()0m n m n +⋅-=r r r r
. ∴
，即2
2
(1)1[(2)4]0λλ++-++=，
∴3λ=-,，故选B. 【考点定位】 向量的坐标运算
8．C
解析：C 【解析】 【分析】
当0x <时，()(1)y f x ax b x ax b a x b =--=--=--最多一个零点；当0x …
时，
32321111
()(1)(1)323
2
y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=
-++--=-+-，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得． 【详解】 当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1b x a
=
-；()y f x ax b =--最多一个零点； 当0x …
时，32321111
()(1)(1)3232
y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-， 2(1)y x a x =+-'，
当10a +„，即1a -„时，0y '…
，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；
当10a +>，即1a >-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，
1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；
根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点， 如图：
∴01b a <-且32
11(1)(1)(1)03
2b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩， 解得0b <，10a ->，31
0(116
,)b a a >>-+∴>-． 故选C ．
【点睛】
遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.
9．C
解析：C
【解析】 【分析】
根据正弦函数的图象和性质，即可得到结论． 【详解】
解：在[0，2π]内，
若sin x 3
＜，则43π＜x 53π＜， 即不等式的解集为（43π，53
π）， 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查利用三角函数的图象与性质解不等式，考查数形结合的思想，属于基础题．
10．B
解析：B 【解析】
由题意知，(14051)108.9-÷=，所以分为9组较为恰当，故选B.
11．B
解析：B 【解析】
设,,z a bi a b R =+∈（） ，由()1i 22z z i z +=⇒=--（）2a bi i a bi ⇒+=--（）
，2a bi b a i ⇒+=-+-（） ,
2a b b a =-⎧⇒⎨
=-⎩
1b ⇒=- ，故选B. 12．B
解析：B 【解析】 【分析】
先求出(1)(2)0,f f <根据零点存在性定理得解. 【详解】
由题得()2
1ln 2=ln 2201
f =-
-<， ()2
2ln3=ln3102
f =-->，
所以(1)(2)0,f f <
所以函数()()2
ln 1f x x x
=+-的一个零点所在的区间是()1,2. 故选B 【点睛】
本题主要考查零点存在性定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
二、填空题
13．【解析】【分析】变换得到代入化简得到得到答案【详解】则故故答案为：【点睛】本题考查了指数对数变换换底公式意在考查学生的计算能力
【解析】 【分析】
变换得到2log a m =，5log b m =，代入化简得到11
log 102m a b
+==，得到答案. 【详解】
25a b m ==，则2log a m =，5log b m =，
故
11
log 2log 5log 102,m m m m a b
+=+==∴=
【点睛】
本题考查了指数对数变换，换底公式，意在考查学生的计算能力.
14．【解析】设则所以所以曲线在点处的切线方程为即点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一用导数求切线方程的关键在于求出斜率其求法为：设是曲线上的一点则以为切点的切线方程是若曲线在点处的切线平行于轴（即 解析：1y x =+
【解析】
设()y f x =，则21
()2f x x x
'=-，所以(1)211f '=-=， 所以曲线2
1
y x x
=+
在点(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-，即1y x =+． 点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 为切点的切线方程是
000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于y 轴（即导数不
存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．
15．【解析】【分析】由直线方程为与准线得出点坐标再由可得点为线段的中点由此求出点A 的坐标代入抛物线方程得出的值【详解】解：抛物线的准线方程为过点且斜率为的直线方程为联立方程组解得交点坐标为设A 点坐标为因 解析：8
【解析】 【分析】
由直线方程为2)y x =-与准线:a
l x 4
=-
得出点B 坐标，再由BM MA u u u u v u u u v =可得，点M 为线段AB 的中点，由此求出点A 的坐标，代入抛物线方程得出a 的值.
【详解】
解：抛物线()2
:0C y ax a =>的准线方程为:a l x 4
=-
过点()2,0M
2)y x =-，
联立方程组2)4y x a x ⎧=-⎪
⎨=-⎪
⎩
，
解得，交点B
坐标为(a 4-
， 设A 点坐标为00(,)x y ， 因为BM MA u u u u v u u u v
=，
所以点M 为线段AB 的中点，
所以00()4428)402a x a y ⎧
+-⎪=⎪
⎪⎨+⎪+⎪=⎪⎩
，解得(a A 44+，
将)
()a a 8A 444
++代入抛物线方程，
即))()2a 8a
a 444
+=+， 因为0a >， 解得8a =. 【点睛】
本题考查了抛物线的性质、向量相等等知识，解决几何问题时，往往可以转化为代数问题
来进行研究，考查了数形结合的思想.
16．8【解析】分析：先判断是否成立若成立再计算若不成立结束循环输出结果详解：由伪代码可得因为所以结束循环输出点睛：本题考查伪代码考查考生的读图能力难度较小
解析：8 【解析】
分析：先判断6I <是否成立，若成立，再计算I S ，，若不成立，结束循环，输出结果.详解：由伪代码可得3,2;5,4;7,8I S I S I S ======，因为76>，所以结束循环，输出8.S =
点睛：本题考查伪代码，考查考生的读图能力，难度较小.
17．1【解析】【分析】先求出二项式的展开式的通项公式令的指数等于求出的值即可求得展开式中的项的系数再根据的系数是列方程求解即可【详解】展开式的的通项为令的展开式中的系数为故答案为1【点睛】本题主要考查二
解析：1 【解析】 【分析】
先求出二项式9
()a x x
-的展开式的通项公式，令x 的指数等于4，求出r 的值，即可求得
展开式中3x 的项的系数，再根据3x 的系数是84-列方程求解即可. 【详解】
9()a x x -展开式的的通项为()992199r
r r r r r
r a T C x C x a x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
， 令9233r r -=⇒=，
9()a x x
-的展开式中3x 的系数为()339841C a a -=-⇒=，
故答案为1. 【点睛】
本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考
查二项展开式的通项公式1C r n r r
r n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）
（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
18．【解析】【分析】【详解】复数z=1+2i （i 是虚数单位）则|z|==故答案为 解析：
【解析】 【分析】 【详解】
复数z=1+2i （i 是虚数单位），则|z|==
．
故答案为
．
19．6【解析】【分析】首先根据题中所给的约束条件画出相应的可行域再将目标函数化成斜截式之后在图中画出直线在上下移动的过程中结合的几何意义可以发现直线过B 点时取得最大值联立方程组求得点B 的坐标代入目标函数
解析：6 【解析】 【分析】
首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式
3122y x z =-+，之后在图中画出直线32y x =-，在上下移动的过程中，结合1
2z 的几何
意义，可以发现直线31
22
y x z =-
+过B 点时取得最大值，联立方程组，求得点B 的坐标代入目标函数解析式，求得最大值. 【详解】
根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：
由32z x y =+，可得3122
y x z =-+， 画出直线3
2
y x =-，将其上下移动， 结合
2z
的几何意义，可知当直线3122
y x z =-+在y 轴截距最大时，z 取得最大值， 由2200
x y y --=⎧⎨=⎩，解得(2,0)B ， 此时max 3206z =⨯+=，故答案为6.
点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方
法求解.
20．【解析】【分析】利用弦化切的运算技巧得出然后利用辅助角二倍角正弦以及诱导公式可计算出结果【详解】原式故答案为：【点睛】本题考查利用三角恒等变换思想求非特殊角的三角函数值在计算时要结合角之间的关系选择 解析：1
【解析】 【分析】
利用弦化切的运算技巧得出(
)
sin 50sin 501an10+=o
o
o
利用辅助角、二倍角正弦以及诱导公式可计算出结果. 【详解】
原式
()2sin 1030sin502sin 40cos 40sin50cos10cos10+===
o o o o o o
o o
()sin 9010sin80cos101cos10cos10cos10-====o o
o o o o o . 故答案为：1. 【点睛】
本题考查利用三角恒等变换思想求非特殊角的三角函数值，在计算时要结合角之间的关系选择合适的公式化简计算，考查计算能力，属于中等题.
三、解答题
21．(1)见解析；(2)
sin 7
α= 【解析】
试题分析：.（1）取AP 中点M ，易证PA ⊥面DMB ，所以PA BD ⊥，（2）以
,,MP MB MD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，平面DPC
的法向量
(1n =u v ，设平面PCB 的法向量2n u u v
=，121212•1cos ,7
n n n n n n ==u v u u v
u v u u v u v u u v ，
即sin α=
试题解析：
（1）证明：取AP 中点M ，连,DM BM ， ∵DA DP =，BA BP =
∴PA DM ⊥，PA BM ⊥，∵DM BM M ⋂= ∴PA ⊥面DMB ，又∵BD ⊂面DMB ，∴PA BD ⊥
（2）∵DA DP =，BA BP =，DA DP ⊥，060ABP ∠=
∴DAP ∆是等腰三角形，ABP ∆是等边三角形，∵2AB PB BD ===，∴1DM =，
3BM =.
∴222BD MB MD =+，∴MD MB ⊥
以,,MP MB MD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()1,0,0A -，()
3,0B ，()1,0,0P ，()0,0,1D
从而得()1,0,1DP =-u u u v ，()3,0DC AB ==u u u v u u u u u v ，()
1,3,0BP =-u u u v ，()1,0,1BC AD ==u u u v u u u v
设平面DPC 的法向量()1111,,n x y z =u v
则11•0•0n DP n DC ⎧=⎪⎨=⎪⎩u v u u u v
u v u u u v ，即11110
30
x z x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴(13,1,3n =--u v ， 设平面PCB 的法向量()2212,,n x y z =u u v
，
由22•0•0n BC n BP ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u v u u u v
u u v u u u v ，得22220
30
x z x +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，∴23,1,3n =-u u v ∴121212•1
cos ,7
n n n n n n ==u v u u v
u v u u v u
v u u v 设二面角D PC B --为α，∴21243
sin 1cos ,n n α=-=
u v u u v
点睛：利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 22．(1)3
A π
=(2)b c ==2
【解析】 【分析】 【详解】
(Ⅰ)由3sin cos c a C c A =-及正弦定理得
sin cos sin sin A C A C C -=
由于sin 0C ≠，所以1sin 62
A π⎛⎫
-= ⎪⎝
⎭， 又0A π<<，故3
A π
=.
(Ⅱ)ABC ∆的面积S =
1
sin 2
bc A
故bc =4， 而2222cos a b c bc A =+-故22c b +=8，解得b c ==2 23．（1）1
3
； （2）()1E X =. 【解析】 【分析】
（1）可根据题意分别计算出“从10人中选出2人”以及“2人参加义工活动的次数之和为4”的所有可能情况数目，然后通过概率计算公式即可得出结果；
（2）由题意知随机变量X 的所有可能取值，然后计算出每一个可能取值所对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值． 【详解】
（1）由已知有1123432
101
()3
C C C P A C ⋅+==， 所以事件A 的发生的概率为
13
； （2）随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2；
2223342104(0)15C C C P X C ++===；1
1
1
1
33342107
(1)15
C C C C P X C ⋅+⋅===； 11
342
104
(2)15
C C P X C ⋅===； 所以随机变量X 的分布列为：
数学期望为()
0121151515
E X =???. 【点睛】
本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，能否正确计算出每一个随机变量所对应的的概率是解决本题的关键，考查推理能力，是中档题． 24．（1）证明见解析；（2
【解析】 【分析】
（1）证明1AA CD ⊥，CD AD ⊥，推出CD ⊥平面11AA D D ，得到CD AE ⊥，证明
AE ED ⊥，即可证明AE ⊥平面ECD ；
（2）建立坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量的数量积求解直线1A C 与平面EAC 所成角的正弦值． 【详解】
（1）证明：∵四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱， ∴1AA ⊥平面ABCD ，而CD ⊂平面ABCD ，则1AA CD ⊥， 又CD AD ⊥，1AA AD A =I ，
∴CD ⊥平面11AA D D ，因为平面11AA D D ，∴CD AE ⊥， ∵1AA AD ⊥，1AA AD =， ∴11AA D D 是正方形，∴AE ED ⊥， 又CD ED D =I ，∴AE ⊥平面ECD .
（2）解：建立如图所示的坐标系，1A D 与1AD 交于点E ，124AA AD AB ===，
则()()()()10,0,0,0,0,4,2,4,0,0,4,0A A C D ， ∴()0,2,2E ， ∴()()()12,4,4,2,4,0,0,2,2A C AC AE =-==u u u u r u u u r u u u r
，
设平面EAC 的法向量为(),,n x y z =r ，则·0·
0n AC n AE ⎧=⎨=⎩u u u v v u u u v v ，即240220x y y z +=⎧⎨+=⎩，
不妨取()2,1,1n =--r
，
则直线1A C 与平面EAC 所成角的正弦值为4446
63666n AC n AC
-+-==r u u u r g r u u u r g ．
【点睛】
本题主要考查直线与平面所成角的求法，考查直线与平面垂直的判断和性质，考查推理能
力与计算能力，属于中档题． 25．（1）证明见解析（2
）3
【解析】 【分析】
（1）先证明AC ⊥平面PBC ，然后可得平面EAC ⊥平面PBC ； （2）建立坐标系，根据二面角P AC E --
可得PC 的长度，然后可求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值. 【详解】
（1）PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，得AC PC ⊥. 又1AD CD ==，在Rt ADC ∆
中，得AC =
，
设AB 中点为G ，连接CG ，则四边形ADCG 为边长为1的正方形，所以CG AB ⊥
，且
BC =
因为222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥， 又因为BC PC C ⋂=，所以AC ⊥平面PBC ， 又AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC .
（2）以C 为坐标原点，分别以射线CD ､射线CP 为y 轴和z 轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，
则()0,0,0C ，()1,1,0A ，()1,1,0B -.
又设()()0,0,0P a a >，则11,,222a E ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，()1,1,0CA =u u
u r ，()0,0,CP a =u u u r ， 11,,222a CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
u u u r ，()1,1,PA a =-u u u r
.
由BC AC ⊥且BC PC ⊥知，()1,1,0m CB ==-u r u u u r
为平面PAC 的一个法向量. 设(),,n x y z =r 为平面EAC 的一个法向量，则0n CA n CE ⋅=⋅=r u u u r r u u u r
，
即0
x y x y az +=⎧⎨-+=⎩，取x a =，y a =-，则(),,2n a a =--r
，有
cos ,m n m n m n ⋅===⋅u r r u r r u r r 2a =，从而()2,2,2n =--r ，()1,1,2PA =-u u u r . 设直线PA 与平面EAC 所成的角为θ，则
sin cos ,n PA n PA n PA θ⋅==⋅r u u u r
r u u u r r u u u
r 3==
.
即直线PA 与平面EAC
所成角的正弦值为
23
.
【点睛】
本题主要考查空间平面与平面垂直及线面角的求解，平面与平面垂直一般转化为线面垂直来处理，空间中的角的问题一般是利用空间向量来求解. 26．（1）()2
239x y -+=（2）27 【解析】
分析：（1）将6cos ρθ=两边同乘ρ，根据直角坐标与极坐标的对应关系得出直角坐标方程；
（2）将直线的参数方程代入圆的普通方程，根据参数的几何意义与根与系数的关系得出
PA PB +．
详解：
（1）由2
6cos ,6cos ρθρρθ==得，化为直角坐标方程为2
2
6x y x +=， 即()2
239x y -+=
（2）将l 的参数方程带入圆C 的直角坐标方程，得()2
2cos sin 70t t αα+--=
因为0V >，可设12,t t 是上述方程的两根，()
12122cos sin 7t t t t αα⎧+=--⎨⋅=-⎩
所以
又因为（2，1）为直线所过定点，
()
1212
2
1212
4324sin23247
PA PB t t t t t t t t α∴+=+=-=
+-⋅=-≥-=
所以27PA PB 的最小值为∴+点睛：本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程的几何意义与应用，属于基础题．。