2021年高中数学 1.3.3函数的奇偶性练习 新人教A版必修1

2021年高中数学 1.3.3函数的奇偶性练习 新人教A 版必修1 基础梳理
1．奇偶性定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )＝－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )＝f (x )，则称f (x )为偶函数．如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性．如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数．
例如：判断下列函数的奇偶性：
①y ＝－x 2；②y ＝x 3；③y ＝x 2－x ；④y ＝0.
2．由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)．
例如：若奇函数f (x )的定义域为[p ，q ]，则p ＋q ＝____.
基础梳理
1．①偶函数 ②奇函数 ③非奇非偶函数 ④既是奇函数又是偶函数
2．0
,思考应用
1．奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性是否一致？偶函数呢？
解析：奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致，而偶函数刚好相反．
2. 若函数f (x )满足f (－1)＝f (1)，能否判断函数f (x )为偶函数？
解析：不能，由定义可知，必须是定义域内任意x 都有f (－x )＝f (x )，不能用特殊性代替任意性．
自测自评
1．奇函数f (x )图象一定过原点吗？
2．(xx·湖南卷)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
3．(xx·广东卷)定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函
数的个数是( )
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
自测自评
1．当f (0)有意义时，由f (－0)＝－f (0)得：f (0)＝0; 当f (0)没有意义时，如函数f (x )＝1x
，它的图象不过原点． 2.解析：根据奇、偶函数的性质，求出f (x )＋g (x )的解析式．
∵f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，
∴f (－x )－g (－x )＝－x 3＋x 2＋1.
∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，
∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )．
∴f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1.
∴f (1)＋g (1)＝－1＋1＋1＝1.
答案：C
3．C
►基础达标
1．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (0)的值为( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．无法确
定1．解析：∵f (x )为R 上的奇函数，
∴f (－x )＝－f (x )，∴f (0)＝－f (0)，∴f (0)＝0.
答案：B
2．(xx·山东卷)已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x
，则f (－1)＝( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2
2．A
3．下面三个结论：①如果一个函数的定义域关于原点对称，则这个函数为奇函数；②如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于原点对称；③如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数只能为偶函数，其中正确的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3．解析：一个函数的定义域关于坐标原点对称，不一定是奇函数，还必须要看f (－x )与－f (x )是否相等，所以①是错误的，②正确．f (x )＝0(x ∈R)的图象关于y 轴对称，f (x )既是奇函数又是偶函数，③不正确．故选B.
答案：B
4．已知f (x )＝ax 3＋bx ＋5，其中a ，b 为常数，若f (－7)＝－7，则f (7)＝( )
A ．7
B ．－7
C ．12
D ．17
4．解析：∵f (－7)＝－7，
∴a (－7)3＋b (－7)＋5＝－7，
∴73a ＋7b ＝12.
∴f (7)＝73a ＋7b ＋5＝12＋5＝17.
答案：D
5．若函数f (x )＝(k －2)x 2＋(k －1)x ＋3是偶函数，则f (x )的递减区间是________．
5．解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，
∴k －1＝0，∴k ＝1，
∴f (x )＝－x 2＋3的递减区间为[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
►巩固提高
6．设函数f (x )，g (x )的定义域为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A ．f (x )g (x )是偶函数
B ．|f (x )|g (x )是奇函数
C ．f (x )|g (x )|是奇函数
D ．|f (x )g (x )|是奇函数
6．解析：利用函数奇偶性的定义求解．
A ：令h (x )＝f (x )·g (x )，则h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－h (x )，∴h (x )是奇函数，A 错．
B ：令h (x )＝|f (x )|g (x )，则h (－x )＝|f (－x )|·g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )＝h (x )，
∴h (x )是偶函数，B 错．
C ：令h (x )＝f (x )|g (x )|，则h (－x )＝f (－x )|·g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，∴h (x )是奇函数，C 正确．
D ：令h (x )＝|f (x )·g (x )|，则h (－x )＝|f (－x )·g (－x )|＝|－f (x )·g (x )|＝|f (x )·g (x )|＝h (x )，∴h (x )是偶函数，D 错．
答案：C
7．已知定义在R 上的偶函数f (x )的单调递减区间为[0，＋∞)，则使f (x )＜f (2)成立的自变量取值范围是( )
A ．(－∞，2)
B ．(2，＋∞)
C ．(－2，2)
D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
7．解析：∵f (x )是偶函数且在[0，＋∞)为减区间，示意图如下：
由图示可知：f (x )＜f (2)成立的自变量的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)． 答案：D
8．设函数y ＝f (x )是奇函数，若f (－2)＋f (－1)－3＝f (1)＋f (2)＋3，则f (1)＋f (2)＝____.
8．解析：∵函数y ＝f (x )是奇函数，
∴f (－2)＝－f (2)，f (－1)＝－f (1)，
∴－f (2)－f (1)－3＝f (1)＋f (2)＋3，
∴f (1)＋f (2)＝－3，
答案：－3
9．已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x －x 2.求当x ∈(－∞，＋∞)时，f (x )的表达式．
9．解析：当x ∈(0，＋∞)时，－x ∈(－∞，0)，
因为x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x －x 2，
所以f (－x )＝(－x )－(－x )2，
因为f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，
所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝x ＋x 2.
综上，x ∈(－∞，＋∞)时，
f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 2，x ＞0，0，x ＝0，x －x 2，x ＜0.
10．已知函数f(x)＝－x3＋3x.求证：
(1)函数f(x)是奇函数；
(2)函数f(x)在区间(－1，1)上是增函数．
10．证明：(1)显然f(x)的定义域是R.
设任意x∈R，
∵f(－x)＝－(－x)3＋3(－x)＝－(－x3＋3x)＝－f(x)，∴函数f(x)是奇函数．
(2)在区间(－1，1)上任取x1，x2，且x1＜x2.
f(x2)－f(x1)＝－(x2－x1)(x22＋x2x1＋x21)＋3(x2－x1)＝(x2－x1)(3－x22－x2x1－x21)．
因为－1＜x1＜x2＜1，所以x2－x1＞0，
3－x22－x2x1－x21＞0，
所以f(x2)＞f(x1)．
所以函数f(x)＝－x3＋3x在区间(－1，1)上是增函数．
1．利用定义判断函数奇偶性的步骤：
(1)首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称．
(2)确定f(－x)与f(x)的关系．
(3)作出相应结论．
2．若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数．
3．若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数．
4．函数是奇函数或是偶函数称为函数有奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质．5．由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)．6．奇函数在其对称区间上的单调性相同、函数值相反．
7．偶函数在其对称区间上的单调性相反、函数值相同．
8．设f(x)，g(x)有公共的定义域，那么在它们的公共定义域上：
奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，
偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．#(TV U-30659 77C3 矃27896 6CF8 泸22622 585E 塞 M\20836 5164 兤32892 807C 聼。