高二数学第九节 多面体 欧拉公式的发现知识精讲 人教版

高二数学第九节多面体欧拉公式的发现知识精讲人教版
1.多面体的概念和分类
由若干个多边形所围成的几何体，叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，若干个面的公共顶点叫做多面体的顶点.
把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸面体，图1是凸多面体，图2不是凸多面体，前面学过的棱柱，棱锥都是凸多面体.
一个多面体至少有四个面，多面体按它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体.
2.正多面体的概念
为了更好地弄清正多面体的概念，我们讲一讲与多面体有关的一些其他概念.
多面角：从一点出发并且不在同一平面内的几条射线，以及每两条相邻射线之间的平面部分叫组成的图形.
如图所示是一个多面角，记作多面体S—ABCD，或者多面角S.
图中射线如SA叫做多面角的棱，S叫做顶点，相邻两棱如SA、SB之间的平面部分叫做多面角的面，∠ASB为多面角的面角.每相邻两个面角间的二面角为多面角的二面角，如E —SA—B.
正多面体：如果面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角，这样的多面体叫做正多面体.
3.正多面体的性质
(i)正多面体的所有的棱，所有的面角和所有的二面角都相等.
(ii)经过正多面体上各面的中心所在面的垂线相交于一点，这点到各顶点的距离相等，到各面的距离也相等.
(iii)正多面体各面经过它中心的垂线的交点叫做正多面体的中心.
定理：任何正多面体有一个内接球和一个外切球，这两个球同心.
(iv)正多面体只存在五种：
因为一个多面角的面数至少是三，并且它的各面角的和必须小于360°，而正n 边形的每个内角等于
n
n ︒
⋅-180)2(，所以，由正三角形组成的正多面体只有三种：正四面体、正
八面体和正十二面体；由正方形组成的正多面体只有一种：正六面体；由正五边形组成的正多面体也只有一种：正十二面体.
书中是这样定义的正多面体：每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同的数目的棱的凸多面体，叫做正多面体.其实质是一样的.
4.欧拉公式
如果简单多面体的顶点数为V ，面数F ，棱数E ，那么V+F-E ＝2，这个公式叫做欧拉公式.
计算棱数E 常见方法： (1)E ＝V+F-2
(2)E ＝各面多边形边数和的一半 (3)E ＝顶点数与共顶点棱数积的一半
【重点难点解析】
本节是新增内容，教学要求只是了解，作为知识的综合性与联系，重点应掌握正多面体的概念，尤其是正四面体和正方体的性质，难点是欧拉公式
例1 下列几何体是正多面体的是( ) A.长方体 B.正四棱柱
C.正三棱锥
D.棱长都相等的三棱锥 解 选D.因为棱长都相等的三棱锥就是正四面体.
例2 对于下列命题：(1)底面是正多边形的，而侧棱长与底面边界长都相等的棱锥是正多面体；(2)正多面体的面不是三角形，就是正方形；(3)若长方体的各侧面都是正方形时，它就是正多面体；(4)正三棱锥就是正四面体，其中正确的序号是 .
解 (2)显然不对，∵正十二面体每个面都是全等的正五边形.
(1)所给的几何体是正棱锥，作为正棱锥每个侧面都是全等的正三角形，底面正多边形是任意的，而作为正多面体的所有面必须是全等的正多边形，故(1)、(4)不对.∴应填(3).
例3 一个凸多面体有8个顶点，①如果它是棱锥，那么它有 条棱， 面；②如果它是棱柱，那么它有 条棱 个面.
解 ①如果它是棱锥，则是七棱锥，有14条棱，8个面 ②如果它是棱柱，则是四棱柱，有12条棱，6个面
【难题巧解点拨】
例1 一个凸多面体的各面都是五边形，求多面体的顶点数V 与面数F 之间的关系. 解 ∵凸多面体各面是五边形，且面数为F.
∴该凸多面体的棱数E ＝
25F ，代入欧拉公式：V+F-2
5
F ＝2 即2V-3F ＝4.
例2 一凸多面体的棱数为30，面数为12，则它的各面多边形的内角总和为( ) A.5400° B.6480° C.7200° D.7920° 解 由欧拉公式，V ＝E-F+2＝30-12+2＝20
∴内角总和为(V-2)×360°＝6480° ∴应选B.
例3 将边长为a 的正方体各侧面中心连结起来得到一个正八面体，求此正八面体的体积.
解 根据正方体与正八面体的联系.可知正八面体的高为a ，侧棱长为2
2
)2
()2
(a a ＝
2
2
a ，而正八面体可分为两个正四棱锥. 故 V ＝2×(2
2a)2×2a ×31＝62
a .
说明 用分割的方法把八面体分割成两个锥体，然后求体积.
例4 在正四面体ABCD 中，E 、F 分别为棱AD 、BC 的中点，连接AF 、CE ， (1)求异面直线AF 、CE 所成角的大小； (2)求CE 与底面BCD 所成角的大小.
解 (1)如图所示，设正四体棱长为a.在平面AFD 内作EG ∥AF 交DF 于G ，那么CE 与GE 所成非钝角的角就是异面直线AF 、CE 所成的角.由于正四面体的各个面是正三角形，所以AF ＝CE ＝DF ＝
23a,GF ＝EG ＝21AF ＝43a,CG 2＝CF 2+GF 2＝(21a)2+(2
3a)2，即CG 2
＝
167a 2，于是CG ＝4
7
a. 在ΔCEG 中，cos ∠CEG ＝GE
CE CG GE CE ⋅-+22
22，所以cos ∠CEG ＝32，于是∠CEG ＝
arccos
3
2
. 因此AF 、CE 所成的角为arccos
3
2. (2)设A 在底面内射影为O ，连AO ，则AO ⊥平面BCD ，在平面AFD 内作EH ∥AO 交FD 于H ，那么EH ⊥平面BCD ，且EH ＝
2
1
22OD AD -＝
2
12
2)2
332(a a ⋅-＝66a,CE ＝23a ，显然∠ECH 就是CE 底面BCD 所成的角.在Rt ΔEHC 中，sin ∠ECH ＝
CE EH ＝66a ∶2
3a ＝32，所以∠ECH ＝arcsin 3
2
.
例5 如图所示，四面体ABCD 的棱长为1，求AB 与CD 之间的距离.
分析 AB 与CD 显然异面，这是求解异面直线间的距离问题，取AB 、CD 的中点E ，F ，连EF ，可设想EF 就是公垂线段。

事实上，连EC ，ED ，易知EC ＝ED ，所以EF ⊥CD.同理EF ⊥AB.
所以EF 就是AB 与CD 之间的距离.
解 ΔABC 、ΔABD 都是边长为1的正三角形，所以EC ＝ED ＝
2
3. 又在Rt ΔEFC 中，FC ＝
21，EC ＝2
3，
因此EF ＝22FC EC -＝
4
143-＝22
.
【典型热点考题】 例1 如图，在多面体中，大小不等的正方形A ′B ′C ′D ′，ABCD 所在面相互平行，A ′D ′所在的直线与BB ′所在的直线是( )
A.相交直线
B.平行直线
C.不互相垂直的异面直线
D.互相垂直的异面直线 解 由于A ′D ′在上底面A ′B ′C ′D ′中，而BB ′只与该平面有一个交点B ′，且B ′不在AD ′上，所以A ′D ′与BB ′是异面直线，应排除A 、 B.
如果A ′D ′与BB ′垂直，由B ′C ′∥A ′D 知BB ′⊥B ′C ′，而此时多面体已变成了棱柱，所以A ′D ′与BB ′是不互相垂直的异面直线，应选C.
例2 由一个正方体的三个顶点所能构成的正三角形的个数为( ) A.4 B.8 C.12 D.24
解 在共有一个顶点的三个两两垂直的面上，各面有一对角线共同组成惟一的正三角形，这样在正三角形和顶点之间建立了一一对应，而正方体共有8个顶点.
∴恰好有8个正三角形，选B.
本周强化练习： 【同步达纲练习】
一、选择题
1.P ＝｛正多面体｝，Q ＝｛凸多面体｝，R ＝｛多面体｝，S ＝｛简单多面体｝，P 、Q 、R 、S 之间关系( )
A.P Q R S
B.R Q S P
C.P Q S R
D.R S Q P
2.每个顶点都有3条棱的正多面体共有( )
A.2种
B.3种
C.4种
D.5种
3.连结正十二面体各面的中心，得到一个( ) A.正六面体 B.正八面体
C.正十二面体
D.正二十面体
4.正十二面体和正二十面体的棱数分别是( )
A.29、30
B.30、30
C.30、31
D.32、35
5.已知一个简单多面体的各个顶点都有三条棱，那么2F-V ＝( ) A.2 B.4 C.8 D.12
6.过正四面体一边及对边中点的截面截锥体分成两部分和体积的比为( ) A.1∶2 B.1∶1 C.1∶4 D.2∶3
7.正方体的八个顶点中有四个恰是正四面体的顶点，则正方体的全面积与正四面体的全面积之比是( )
A.2
B.3
C.
2
6 D.
3
3
2
8.一个多面体共有10个顶点，每个顶点处都有四条棱，面的形状只有三角形和四边形，则多面体有三角形和四边形的面分别为( )
A.8个、4个
B.4个、8个
C.5个、6个
D.6个、5个
9.一个十二面体共有8个顶点，其中2个顶点，各有6条棱，其他的顶点都有相同数目的棱，则其他各有( )条棱.
A.4
B.5
C.6
D.7
10.如果四面体的每一个面都不是等腰三角形，那么其长度不等的棱的条数最少的为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
二、填空题
1.正八面体的棱长为a ，则它的对角线长为 .
2.正多面体共有 种，它是 .
3. 叫简单多面体.
4.一个简单多面体的各面都是四边形，则它的顶点V 与面F 之间有关系 .
三、填空题
1.试求所有各个面都是三角形的正多面体共有多少种?
2.某一凸多面体有32个面，每个面都是三角形或五边形，对于V 个顶点的每一个都有T 个三角形和P 个五边形相交，求100P+10T+V 的值.
【素质优化训练】
1.求棱长为2的正四面体的体积.
2.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少?
【知识验证实验】
已知四面体ABCD中，AB＝CD＝41，AC＝BD＝34，AD＝BC＝5.
求它的体积和异面直线AD和BC的距离.
解通过补形使ABCD成为长方体EAMD—BFCH的内接四面体.
设BF＝x,CF＝y,AF＝z.
从而；x2+y2＝25,y2+z2＝34,x2+z2＝41.
则 x＝4,y＝3,z＝5.
长方体体积 V＝xyz＝60.
而V A—BCD＝V-V A—BCF-V A—BED-V A—DMC-V DBHC
＝V-4V A—BCF＝20.
∵AD⊂面AD，BC⊂面BC，面AD∥面BC.
∴AD、BC的距离就等于面AD与面BC的距离AF＝z＝5.
[参考答案]
【同步达纲练习】
一、1.D 2.B 3.D 4.B 5.B 6.B 7.B 8.A 9.A 10.A
二、1.2a
2.5种.正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体
3.表面能经过连续变形变为球面的多面体
4.V-F ＝2
三、1.面数F ，棱数E ，V 个顶点，则E ＝2
3
F ，过每一个顶点都有P 条棱.则V ·P ＝2E ，又V+F-E ＝2.
∴ E ＝
P
P -⋅66＝-6+P -636
.而E ＞0. ∴P ≥3.
得P ＝5，4，3 F ＝32E ＝-4+P
-624
∴ F ＝20，8，4
故可能为正四面体，正八面体，正十二面体三种.
2.E 条棱，V 个顶点，F 个面，则F ＝32.
∵T 个三角形和P 个五边形交于每一个顶点.∴每个顶点出发，T+P 条棱.得2E ＝V(T+P)，又V+F-E ＝2，∴E ＝V+30 则V(T+P-2)＝60. 又每个三角形面有三条边，∴三角形面为3
VT
个.同理五边形面共有
5VP 个，得3
VT +5VP
＝32.消去V ，解得3T+5P ＝16.又T 、P ＞0，则T ＝2，P ＝2，从而V ＝30，所求100P+10T+V ＝250.
【素质优化训练】
1.22
2.显然S 、A 、B 所染颜色不同，共有5×4×3＝60种染色方法.当S 、A 、B 已染好，C 、D 还有7种染法，从而染色方法总数为60×7＝420.。