参考答案(1)

高三单元试题之一：集合和简易逻辑参考答案
一、1．C 2．A 3．D 4．B 5．A 6．C 7．B 8．C 9．A 10．C 11．D 12．B 二、13．15 14． 2560 15． [1，3] 16． m=12-(也可为m=13
-) 三、17．由题意p ,q 中有且仅有一为真，一为假，
p 真1212
010x x m x x ∆>⎧⎪
⇔+=-<⎨⎪=>⎩⇔m>2，q 真⇔∆<0⇔1<m<3,
若p 假q 真，则2
13m m ≤⎧⎨<<⎩
⇔1<m ≤2；若p 真q 假，则213m m a m >⎧⎨≤≥⎩或⇔m ≥3；
综上所述：m ∈(1,2]∪[3，+∞)．
18．由)0(01222>≤-+-m m x x ，得)0(11>+≤≤-m m x m ， ∴¬q 即A=)}0(11|{>+>-<m m x m x x ，或； 由，
2|3
1
1|≤--
x 得102≤≤-x ，∴¬p 即B=}102|{>-<x x x ，或， ∵¬p 是¬q 的必要不充分条件，且m>0。

∴A ⊂≠
B ，故121100m m m -≤-⎧⎪
+≥⎨⎪>⎩
，，，且不等式组中的第一、
二两个不等式不能同时取等号，解得m ≥9为所求。

19．(1)当k 2+4k －5＝0时，k=－5或k=1。

当k=－5时，不等式变为24x +3+>0，显然不满足题意，∴k ≠－5。

当k=1时，不等式变为3>0，这时x ∈R 。

(2)当k 2
+4k －5≠0，根据题意有2450
k k ⎧+->⎨∆>⎩⇔1<k<19。

20．设解出甲、乙、丙三题的学生的集合分别为A 、B 、C ，并用三个圆表示之，则重叠部分表示同时解出两题或三题的学生的集合，其人数分别以a ,b ,c ,d,e,f ,g 表示。

由于每个学生至少解出一题，故a +b +c +d+e+f +g =25 ① 由于没有解出甲题的学生中，解出乙题的人数是解出丙题的人数的2倍，故b +f =2(c +f ) ② 由于只解出甲题的学生比余下的学生中解出甲题的学生的人数多1，故a =d+e+g +1 ③ 由于只解出一题的学生中，有一半没有解出甲题，故a =b +c ④
由②得：b =2c +f ，f ＝b －2c ⑤
以⑤代入①消去f 得a +2b －c +d+e+g =25 ⑥ 以③④代入⑥得：2b －c +2d+2e+2g =24 ⑦
3b +d+e+g =25 ⑧ 以2×⑧－⑦得：4b +c =26 ⑨ ∵c ≥0,∴4b ≤26，b ≤6
1
2。

利用⑤⑨消去c ，得f =b －2(26－4b )＝9b －52
A B C a b c
d e g
f
∵f ≥0,∴9b ≥52，b ≥
52
9。

∵b ∈Z ，∴b =6。

即只解出乙题的学生有6人。

21．∵点(2,1)∈E ，∴(2－a )2+3b ≤6 ①
∵点(1,0)∉E ，∴(1－a )2+3b >0 ② ∵点(3,2)∉E ，∴(3－a )2+3b >12 ③
由①②得6－(2－a )2>－(1－a )2，解得a >－
32；类似地由①③得a <－12。

∴－32<a <－12。

22．⑴对于非零常数T ，f (x +T)=x +T, T f (x )=T x ． 因为对任意x ∈R ，x +T= T x 不能恒成立，
∴f (x )=.M x ∉
⑵因为函数f (x )=a x
（a >0且a ≠1）的图象与函数y =x 的图象有公共点，
所以方程组：⎩⎨⎧==x
y a y x 有解，消去y 得a x
=x ,
显然x =0不是方程a x
=x 的解，所以存在非零常数T ，使a T =T ．
于是对于f (x )=a x
有)()(x Tf a T a a a T x f x x T T x =⋅=⋅==++ 故f (x )=a x
∈M ．
⑶当k=0时，f (x )=0，显然f (x )=0∈M ．
当k ≠0时，因为f (x )=sin k x ∈M ，所以存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有 f (x +T)=T f (x )成立，即sin(k x +k T)=Tsin k x ． 因为k ≠0，且x ∈R ，所以k x ∈R ，k x +k T ∈R ， 于是sin k x ∈[－1，1]，sin(k x +k T) ∈[－1，1]， 故要使sin(k x +k T)=Tsin k x ．成立，
只有T=1±，当T=1时，sin(k x +k )=sin k x 成立，则k =2m π, m ∈Z ． 当T=－1时，sin(k x －k )=－sin k x 成立，即sin(k x －k +π)= sin k x 成立， 则－k +π=2m π, m ∈Z ，即k =－2(m －1)π, m ∈Z ． 综合得，实数k 的取值范围是{k |k = m π, m ∈Z}。

高三单元试题之二：函数参考答案
一、1．B 2．B 3．A 4．B 5．D 6．B 7．C 8．B 9．D 10．B 11．A 12．A 二、13．2 14．f (x ),g (x ) 15．500 16．(－∞,－1)∪(1,+∞) 三、17．解：
22
22cos sin sin cos ()()x x x x N a b a b M b a a b
+==+。

① 若a >b >0，则a b >1，0<b a <1。

由指数函数的性质知2cos ()x a b ≥1,0<2sin ()x b a ≤1，∴N
M
>1，
于是N>M ； ② 若a ＝b >0，则
a b ＝b a ＝1，∴N M ＝2cos ()x a b ＋2sin ()x
b a
＝1＋1>1，于是N>M ； ③ 若0<a <b ，同理有N>M 。

综上所述N>M 。

18．解：⑴由题设有222
22log ()2log log a a k a a k k
⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，∴2224
log (log 1)0a a k a a ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩①② ∵a ≠1，∴lo g 2a ≠0，由②得lo g 2a －1＝0，∴a =2，代入①解得k ＝2。

⑵∵k=2，∴f (x )=x 2－x +2=(x －
12)2+7
4
>0。

∴2[()]9()f x f x +＝f (x )+9()f x ≥)()
f x ＝6。

当且仅当f (x )＝9()f x ，即[f (x )]2=9时取
等号。

∵f (x )>0，∴f (x )＝3时取等号。

即x 2－x
+2＝3，解得x ＝
12。

当x ＝12
±时，2[()]9
()
f x f x +取最小值。

19．解：⑴由题意，()()00g f =，1||=a 又0>a ，所以1=a 。

⑵()()12|1|2+++-=+x x x x g x f
当1≥x 时，()()x x x g x f 32+=+，它在[)∞+,1上单调递增； 当1<x 时，()()22++=+x x x g x f ，它在[
)1,2
1-上单调递增。

20．解：⑴f (m+n)=f (m)f (n)，令m=1,n=0，则f (1)=f (1)f (0)，且由x >0时，0<f (x )<1，∴f (0)=1；设m=x <0，n=－x >0，∴f (0)=f (x )f (－x )，∴f (x )＝
1
()
f x ->1。

⑵设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，∴0<f (x 2－x 1)<1，∴f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)+x 1]－f (x 1)＝f (x 2－x 1)f (x 1)－f (x 1)＝f (x 1)[f (x 2－x 1)－1]<0，∴f (x )在R 上单调递减。

⑶∵f (x 2)f (y 2)>f (1)，∴f (x 2+y 2)>f (1)，由f (x )单调性知x 2+y 2<1，又f (ax －y +2)=1=f (0)， ∴ax －y +2=0，又A
∩B ＝∅1≥
，∴a 2+1≤
4，从而a ≤≤
21．解：⑴依题意，设B(t,
32t)，A(－t, 3
2t)(t>0)，C(x 0,y 0)。

∵M 是BC 的中点，∴02
t x +＝1，0
3
22
t y +＝m ，∴x 0＝2－t ，y 0＝2m －32t 。

在△ABC 中，|AB|＝2t ，AB 边上的高h ＝y 0－32t ＝2m －3t 。

∴S ＝12|AB|·h ＝1
2
·2t ·(2m －3t)＝－3t 2+2mt ，t ∈(0,1]。

⑵S ＝－3t 2+2mt ＝－3(t －3m )2+23m ，t ∈(0,1]。

若013
3
2m m ⎧
<≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，即32<m ≤3。

当t ＝3m 时，
S m ax ＝2
3
m ，相应的C 点坐标是(2－3m ，32m)。

若3m >1，即m>3时，S=f (t)在区间(0,1]上
是增函数，∴S m ax ＝f (1)=2m －3，相应的C 点坐标是(1,2m －
32
)。

22．⑴证明：由题设条件可知，当]1,1[-∈x 时，有,1|1|)1()(|)(|x x f x f x f -=-≤-=
即.1)(1x x f x -≤≤-
⑵证法一：对任意的 1.|v -u ||f(v)-f(u)|,1||],1,1[,≤≤≤--∈有时当v u v u
当0,u ,1|v -u |<⋅>v 时不妨设,0<u 则1,u -0>>v v 且
所以，|1||1||)1()(||)1()(||)()(|-++≤-+--≤-v u f v f f u f v f u f
.1)(211<--=-++=u v v u 综上可知，对任意的],1,1[,-∈v u 都有
.1|)()(|≤-v f u f
证法二：由⑴可得，当
.||11)1()(||)(|,]0,1[x,-1f(x),]1,0[x x f x f x f x x -=+≤--=-∈≤∈时时 所以，当.||1)(|,]1,1[x x f x -≤-∈时因此，对任意的],1,1[,-∈v u
当1||≤-v u 时，.1|||)()(|≤-≤-v u v f u f 当1||>-v u 时，有0<⋅v u 且.2||||||1≤+=-<v u v u
所以.1)||(|2||1||1|)(||)(||)()(|≤+-=-+-≤+≤-v u v u v f u f v f u f 综上可知，对任意的],1,1[,-∈v u 都有.1|)()(|≤-v f u f
⑶答：满足所述条件的函数不存在．
理由如下，假设存在函数)(x f 满足条件，则由],1,2
1[,|,||)()(|∈-=-v u v u v f u f
得.2
1
|121||)1()21(|=-=-f f 又,0)1(=f 所以.21|)21(|=f ①
又因为)(x f 为奇数，所以.0)0(=f 由条件],2
1,0[,|,||)()(|∈-<-v u v u v f u f
得 .2
1
|)0()21(||)21(|<-=f f f ② ①与②矛盾，所以假设不成立，即这样的函数不存在．
高三单元试题之三：数列参考答案
一、1．D 2．C 3．B 4．A 5．A 6．D 7．C 8．A 9．C 10．D 11．B 12．C
二、13．27 14．2 15．9 16．a ，－a ，a ，－a ，…(a ≠0)，r 与s 同为奇数或偶数
三、17．解：⑴∵a 1＝23，a 6>0，a 7<0，∴115060
a d a d +>⎧⎨+<⎩⇒623
523-<<-d
∵d 为整数，∴d ＝－4。

⑵(1)23(4)2n n n S n -=+
⨯-＝23)1(2--n n n ＝－2n n 252+ =－2
625
)425(22+-n
∴当6=n 时，S n 最大＝78。

⑶S n ＝－2n 2+25n>0得02
25
<
<n ，∴n 最大为12。

18．解：⑴21212
)
1()1(n d n n na a a a f n n =-+
=+++= 2,1,2
)1(1121==∴==
+--+-=-d a n d n
a a a a f n n n ，∴a n ＝2n －1(n ∈N ＋) ⑵,)2
1()21()21()21(221n n n a a a f +++= ∴通过差比数列求和可得：
3)2
1
)(12()21(3)21(2<---=-n n n n f ，又可证2)21(≥n f n 当时为单调递增函数。

∴4
5
)2
1()2
1
(2=
>f f n ，综上可证)3(3)21(45≥<<n f n 。

19．解：(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{a n }，其中a 1＝128，q ＝1．5，
则在2010年应该投入的电力型公交车为a 7＝a 1q 6＝128×1．56＝1458(辆)。

(2)记S n ＝a 1+a 2+…+a n ，依据题意，得1
100003
n n S S >+。

于是S n ＝
128(1 1.5)1 1.5n -->5000(辆)，即1．5n >657
32
，则有n ≈7．5，因此n ≥8。

∴到2011年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的1
3。

20．解：⑴令n=1,S 1=2a 1－3。

∴a 1 =3 ，又S n+1=2a n+1－3(n+1), S n =2a n －3n,两式相减得，
a n+1 =2a n+1－2a n －3，则a n+1 =2a n +3
⑵按照定理：A=2，B=3，∴{ a n +3}是公比为2的等比数列。

则a n +3=（a 1+3）·2n －1=6·2n －1，∴a n =6·2n －
1－3 。

⑶6(12)
3623612
n n n S n n -=
-=---。

21．解：⑴设2004年底沙漠面积为b 1,经过n 年治理后沙漠面积为b n+1。

则a n +b n ＝1。

依题意，a n +1由两部分组成，一部分是原有的绿洲面积减去沙漠化后剩下的面积，
a n －4%a n ＝96%a n ，另一部分是新植树绿洲化的面积16%
b n ，于是
a n +1＝96%a n +16%
b n =96%a n +16%(1－a n )=80% a n +16%=
25
454+n a 。

⑵由254541+=+n n a a 两边减去54得1444()555n n a a +-=-，∴14
{}5n a +-是以
21541-=-a 为首项，5
4
为公比的等比数列。

⑶由⑵可知1414()525n n a +=-，依题意n )54(2154->60%，即42
()55
n <，两边取对数得
.49
.016.012lg 312lg 215lg 2lg 25lg 2lg 52log 5
4
=--=--=--=>n
故至少需要5年才能达到目标。

22．⑴P 1(－1，0)，a n ＝－1+(n －1)×1＝n －2，b n ＝2(n －2)+2＝2n －2
⑵f (n )＝⎩⎨
⎧--)
(22)(2为偶数为奇数n n n n ，假设存在符合条件的k
①若k 为偶数，则k +5为奇数，有f (k +5)=k +3，f (k )=2k －2， 如果f (k +5)=2f (k )－2，则k +3=4k －6⇒k =3与k 为偶数矛盾。

②若k 为奇数，则k +5为偶数，有f (k +5)=2k +8，f (k )=k －2， 如果f (k +5)=2f (k )－2，则2k +8=2k －6，这样的k 也不存在。

故不存在符合条件的k 。

⑶∵P n (n －2，2n －2)，∴|P 1P n |＝5(n －1)，(n ≥2) ∴
])
1(1
31211[51||1||1||12
2221231221-++++=+++n P P P P P P n 5
2
]1111[51])1)(2(13212111[51<--+=--++⨯+⨯+<n n n 。

高三单元试题之四：三角函数参考答案
一、1．D 2．A 3．C 4．B 5．C 6．B 7．C 8．B 9．D 10．C 11．C 12．A 二、13．π 14．
43π 15． 6 16．⎥⎦
⎤ ⎝⎛-ππ32,32
三、17．θθπ
θπ
cot )2
tan()24(
2tan -=+=+ ， 又3
4)
24(tan 1)24tan(2)24(2tan 2-=+-+=
+θπθ
πθπ ， ∴tan 43=θ。

θ 为锐角 ∴sin 5
4
cos 53==θθ，
∴θπ
θπ
θπ
sin 3
sin
cos 3
cos
)3
cos(
⋅-=+10
3
3453235421-=
⋅-⋅=
． 18．⑴)4
8
sin(
2)(1π
π
+
=
x x f 。

⑵设)(),(1x f y x P 在'''上，则P ′点关于x =8对称点),(),16(y x y x P =''-
⎩⎨⎧'='=-⇒⎩⎨⎧='='-∴y y x x y y x x ,16,16 x x F x x f 8
c o s 2)(),438sin(
2)(2
π
ππ
=+=
， 单增区间Z k k x k ∈≤≤-,16816。

19．解：⑴4
sin )sin 21(21)(2π-+-=
x a x x f 4
21sin sin )(2
a x a x x f -++-=∴
1
sin 02
04421)2(sin )(2
2≤≤∴≤≤+
-+--=∴x x a a a x x f π
2
143)(212-=≥≥∴a a M a a 时时即当
当120≤≤a 即20≤≤a 时4
421)(2
a a a M +-=
当
02≤a 即0≤a 时4
21)(a a M -= =∴)(a M 2
31
(2)421(02)2441(0)24a a a a a a
a ⎧-≥⎪⎪
⎪-+<≤⎨⎪
⎪-≤⎪⎩
⑵当2)(=a M 时 ，
324
421,310221432
=⇒=+-=⇒=-a a a a a 或2-=a （舍）
624
21-=⇒=-a a
3
10
=
∴a 或6-=a 20．⑴由,2
3,32,23232,23)0(==∴=-=
a a a f 则得 由,1,2
123223,21)4
(=∴=-+=
b b f 得π
).3
2sin(2sin 212cos 2323cos sin cos 3)(2π
+=+=-
+=∴x x x x x x x f ∴函数)(x f 的最小正周期T=.2
2ππ=
⑵由
,12
7
12,2233222ππππππππ
ππ
k x k k k x k +≤≤≤++≤+
≤+得
∴f （x ）的单调递减区间是]12
7
,12[ππππk k ++)(Z k ∈．
⑶)6
(2sin )(π
+
=x x f ，∴奇函数x y 2sin =的图象左移
6
π
即得到)(x f 的图象，
故函数)(x f 的图象右移
6
π
后对应的函数成为奇函数． （注：第⑶问答案不唯一，教师阅卷时可灵活处理．） 21．解：由.4
5cos sin ,45cos )2(
cos 22
=+=
++A A A A 得π
.2
1
cos .01cos 4cos 42=∴=+-∴A A A
A 是△ABC 的内角，.3
2
,3ππ=+=∴C B A
由正弦定理知
sinB+sinC=.2
3
2cos ,232cos 2sin 2.23sin 3=-∴=-+∴=
C B C B C B A B 、C 是△ABC 的内角，.3
3
π
π
=
-=
-∴B C C B 或∴B=
2π，C=6π或C=2π，B=6
π
． 22．⑴假设有两个不同的点（a ，b ），（c ，d ）对应同一函数，即x b x a b a F sin cos ),(+=与x d x c d c F sin cos ),(+=相同，即x d x c x b x a sin cos sin cos +=+为一切实数x 成立．
令x =0，得a =c ；令2
π
=
x ，得b=d 这与（a ，b ），（c ，d ）是两个不同点矛盾，假设不成
立．
故不存在两个不同点对应同函数。

⑵当M x f ∈)(0时，可得常数a 0，b 0，使)()(,sin cos )(01000t x f x f x b x a x f +=+==
,sin )sin cos (cos )sin cos ()sin()cos(000000x t a t b x t b t a t x b t x a -++=+++
因为t b a ,,00为常数，设n m n t a t b m t b t a ,,sin cos ,sin cos 0000则=-=+是常数． 所以M x n x m x f ∈+=sin cos )(1。

⑶设M x f ∈)(0，由此得,sin cos ,sin cos )(000t b t a m x n x m t x f +=+=+其中
,sin cos 00t a t b n -=在映射F 之下，)(0t x f +的原象是（m ，n ），则M 1的原象是 },sin cos ,sin cos |),{(0000R t t a t b n t b t a m n m ∈-=+=．
消去t 得2
2022b a n m +=+，即在映射F 之下，M 1的原象}|),{(2
02
02
2
b a n m n m +=+是以原点为圆心，2
020b a +为半径的圆．
高三单元试题之五：平面向量参考答案
一、1．D 2．C 3．D 4．B 5．B 6．A 7．C 8．C 9．D 10．B 11．C 12．C 二、13．21 14．x y cos =
15．3 16．(0，0)
三、17．解：解法1：由正弦定理：3
14
120sin 7sin 2=
︒==
C c R ， 代入82
cos 2sin
23148)sin (sin 28=-+⋅⇒
=+⇒=+B
A B A B A R b a 7342cos 82cos 2123
14
=
-⇒=-⋅⋅⋅⇒
B A B A ∴2
47
cos()2cos
1249
A B A B --=-= 解法2：由B b
A a C c sin sin sin == 2
cos
2sin 282cos 2sin 27sin sin sin B A B A c c B
A b a C c -+=
⇒++=⇒ ∵cos
sin 022
C A B
+=>
，∴7
8cos 2sin
cos 2
2
A B C A B -=
⇒=-
∴247
cos()2cos 1249
A B A B --=-=（也可由余弦定理求解）
18．解：设(,),OC x y OC OB =⊥ ，∴0OC OB ⋅=，∴20y x -=①
又0)1()2(3)
2,1(,//=+---+=x y y x 即：73=-x y ②
联立①、②得⎩⎨
⎧==7
,
14y x ∴ (14,7),(11,6)OC OD OC OA ==-=于是． 19．解：⑴y =·＝1+cos2x +3sin2x +a ，得f (x ) =1+cos2x +3sin2x +a ；
⑵f (x ) =1+cos2x +3sin2x +a 化简得f (x ) =2sin(2x +6π)+a +1，x ∈[0，2
π
]。

当x ＝6π时，f (x )取最大值a ＋3＝4，解得a ＝1，f (x ) =2sin(2x +6
π
)+2。

将y =2sin(x +6
π
)的图象的每一点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标保持不变，再向上
平移2个单位长度可得f (x ) =2sin(2x +6
π
)+2的图象。

20．解：设14
55
),,2
3(2-=⋅+
=⋅∴=⋅BC BA y CB CA AB AC y c 则
又∵三者⋅⋅,，⋅成等差数列．
)
2
3,23(23,43,422522±∴±=∴=∴=+∴c y y y
当)2
3
,21(),23,25(,)23,23(--=--=c 时
︒<<︒∴=
900,7
2cos θθ，23
tan =
∴θ 同理2
3tan ,)23,23(=-θ时c 21．解：⑴设20,52,52||),,(2
222=+∴=+∴==y x y x c y x
x y y x 2,02),2,1(,//=∴=-∴=
由⎩⎨⎧=+=0222
2y x x y ∴⎩⎨⎧==42y x 或 ⎩
⎨⎧-=-=42
y x ∴)4,2(),4,2(--==或
⑵0)2()2(),2()2(=-⋅+∴-⊥+b a b a b a b a
0||23||2,02322
22
2
=-⋅+∴=-⋅+b b a a b b a a ……（※）
,45
)25(
||,5||22
2=== 代入（※）中, 2
50452352-=⋅∴=⨯
-⋅+⨯∴ ,12
5525
cos ,25||,5||-=⋅
-==∴=
=b a θ
πθπθ=∴∈],0[ 22．解：⑴x x
x x x 2cos 2
sin 23sin 2cos 23cos
=⋅-⋅=⋅ x x x
x x 222c o s 22c o s 22)2
s i n 23(s i n )23c o s 23(c o s ||=+=-++=+
x x x c o s 2||,0c o s ],2
,
0[=+∴>∴∈π
⑵（理科）2221)(cos 2)(,cos 42cos )(λλλ---=-=x x f x x x f 即
.1cos 0],2
,0[≤≤∴∈x x π
①当0<λ时，当县仅当0cos =x 时，)(x f 取得最小值－1，这与已知矛盾； ②当λλ=≤≤x cos ,10当且仅当时时，)(x f 取得最小值2
21λ--，由已知得
2
1,23212=-=--λλ解得；
③当1cos ,1=>x 当且仅当时λ时，)(x f 取得最小值λ41-，由已知得2
341-=-λ
解得85=
λ，这与1>λ相矛盾，综上所述，2
1
=λ为所求. （2）（文科）2
3)2
1
(cos 21cos 2cos 2cos 22cos )(22-
-=--=-=x x x x x x f .1c o s 0],2
,0[≤≤∴∈x x π ∴当且仅当)(,21cos x f x 时=取得最小值23
-。

高三单元试题之六：不等式参考答案
一、1．A 2．C 3．C 4．A 5．A 6．A 7．B 8．A 9．A 10．C 11．D 12．B 二、13．[
]4,9
4
14．112)1(131212221+++<++++n n n 15．{x |0≤x ≤4}16．①③⇒②④
三、17．解：a >1时，f (x )＝log a x 为增函数，当x ∈[2,+∞)时，f (x )有最小值 f (2)＝log a 2；
0<a <1时f (x )＝log a x 为减函数，当x ∈[2,+∞)时，f (x )有最大值 f (2)＝log a 2； ∵f (x )在x ∈[2,+∞)上总有|f (x )|>1成立，
∴a >1时|log a 2|>1⇒log a 2>1⇒1<a <2；0<a <1时|log a 2|>1⇒log a 2<－11
2
⇒<a <1。

∴1<a <2或12
1
<<a 。

18．由
2102x x +<+，解得122x -<<-，∴122p -<<-，∴21
44
p <<. ∴方程z 2－2z +5－p 2=0的判别式△＝4(p 2
－4)<0，
从而方程z 2－2z +5－p 2
=0无实根.
19．⑴22222222()()a b y x x y a b a b a b x y x y ++=+++≥++2()a b =+，
故222()a b a b x y x y
++≥
+．当且仅当22y x a b x y =，即a b x y =时上式取等号； ⑵由⑴222
23(23)()252122(12)
f x x x x x +=+≥=-+-．
当且仅当
23212x x =-，即15
x =时上式取最小值，即min [()]25f x =． 20．原不等式即(2x －a －1)(x ＋2a －3)<0，
由0=x 适合不等式故得0)32)(1(>-+a a ，所以1-<a ，或2
3>a . 若1-<a ，则5)1(2
5
2132>+-=+-
+-a a a ，∴2123+>-a a ，
此时不等式的解集是}232
1
|{a x a x -<<+； 若23>a ，由4
5
)1(252132-<+-=+-+-a a a ，∴2123+<-a a ，
此时不等式的解集是}2
1
23|{+<<-a x a x 。

21．解：（理）∵f (2－x )=f (2+x )，∴f (x )的对称轴为x =2，
又∵f (x )的二次项系数大于零，∴f (x )在(－∞，2]上是减函数，在[2，+∞)上是增函数。

⑴当a >0时，2－2ax 2≤2，－ax 2+2ax －a +2＝－a (x －1)2+2≤2，依题意得
2－2ax 2>－ax 2+2ax －a +2⇔ax 2+2ax －a <0⇔x 2+2x －1<0，解得
11x -<<-
⑵当a <0时，2－2ax 2≥2，－ax 2+2ax －a +2＝－a (x －1)2+2≥2，依题意得
2－2ax 2<－ax 2+2ax －a +2⇔ax 2+2ax －a >0⇔x 2+2x －1<0，解得
11x -<<-
综上所述：原不等式的解集为}2121|{+-<<--x x 。

解：(文) ∵f (2－x )=f (2+x )，∴f (x )的对称轴为x =2，
又∵f (x )的二次项系数大于零，∴f (x )在(－∞，2]上是减函数， 又∵2－
12x 2≤2，－x 2+6x －7＝－(x －3)2+2≤2，∴2－1
2
x 2>－x 2+6x －7， 即x 2－12x +18>0，解得236236-<+>x x 或。

故原不等式的解集为：}236236|{-<+>x x x 或。

22．分析：本题为一开放性命题，由于能得到的答案不唯一，使得本题的求解没有固定的模
式，学生既能在一般性的推导中找到一个满足条件的a ，也能先猜后证，所找到的实数a 只需满足
2151≤-a ，且≥+5
1a
1即可.这种新颖的命题形式有较强的综合性，同时也是对于四个命题考查的一种新尝试，如此命题可以考查学生探究问题、解决问题的能力，符合当今
倡导研究性学习的教学方向.
解：已知条件p 即a x -<-15，或a x >-15，∴51a x -<
，或5
1a
x +>， 已知条件q 即01322>+-x x ，∴2
1
<x ，或1>x ； 令4=a ，则p 即5
3
-
<x ，或1>x ，此时必有q p ⇒成立，反之不然. 故可以选取的一个实数是4=a ，A 为p ，B 为q ，对应的命题是若p 则q ，
由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题.
高三单元试题之七：直线和圆的方程参考答案
一、1．B 2．B 3．D 4．B 5．B 6．A 7．C 8．B 9．A 10．A 11．B 12．A 二、13．(x －1)2＋(y+2)2=2 14．x =2 15．16 16．10
三、17．解：设该车间每小时净收益为z 元，生产的产品为每小时x 公斤，直接排入河流的
污水量为每小时y 立方米。

则该车间每小时产生污水量为0.3x ; 污水处理厂污水排放量为0.3x －y ,经污水处理厂处理后的污水排放量为(1－0.85)(0.3 x －y ),车间产品成本为27x ,车间收入为50x ,车间应交纳排污费用17.6[(1－0.85)(0.3 x －y )+y ],车间应交纳污水处理费5(0.3x －y ),于是z =50x －27x －5(0.3x －y )－17.6[0.15 (0.3x －y )+y ]=20.708x －9.96y .
依题意⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧≥≥≥-≤+≤-0
003.04517099.03.0y x y x y x y x
故该车间应每小时生产3.3公斤产品,直接排入河流的污水量为每小时0.09立方米,这样净收益最大.
18．解：x 2+y 2－6x －8y =0即(x －3)2+(y －4)2=25，设所求直线为y ＝
∵圆半径为5，圆心M （3，4）到该直线距离为3，
∴ 3d ==，
∴22
924169(1)k k k -+=+，∴724k =。

∴所求直线为x 24
7
=
或0=x 。

19．解：⑴设动点的坐标为P(x ,y ),则AP ＝(x ,y －1)，BP ＝(x ,y +1)，PC ＝(1－x ,－y )
∵AP ·
BP ＝k |PC |2，∴x 2+y 2－1＝k [(x －1)2+y 2]即(1－k )x 2+(1－k )y 2+2kx －k －1=0。

若k =1，则方程为x =1，表示过点（1，0）是平行于y 轴的直线。

若k ≠1，则方程化为：2221()()11k x y k k ++=--，表示以(1k k -,0)为圆心，以1|1|
k -为半径的圆。

⑵当k =2时，方程化为(x －2)2+y 2=1。

∵2AP ＋BP ＝2(x ,y －1)＋(x ,y +1)＝(3x ,3y －1)， ∴|2AP ＋BP |＝。

又x 2+y 2＝4x －3，∴|2AP ＋BP |＝
∵(x －2)2+y 2＝1，∴令x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ。

则36x －6y －26＝36cos θ－6sin θ+46＝cos (θ+φ)+46∈[46－＋，
作出可行域,由图中可以看出直线z =20.708x -9.96y 在
两条直线0.3x -y =0和9x -170y =45的交点上达到最大值,其交点坐标为(3.3, 0.09),z max =67.44.
∴|2AP＋BP|max
＝＝3
＋，|2AP＋BP|min
＝
＝-3。

20．解：⑴依题意M（2，2），A（4，5），
2
3
=
AM
k，设直线AC的斜率为k，则1
2
3
1
2
3
=
+
-
k
k
,解得5
-
=
k或
5
1
=
k，故所求直线AC的方程为5x+y－25＝0或x－5y+21＝0；
⑵圆的方程可化为(x－2)2+(y－2)2
＝2，设A点的横坐标为a。

则纵坐标为9－a；
①当a≠2时，
2
7
-
-
=
a
a
k
AB
，设AC的斜率为k，把∠BAC看作AB到AC的角，则可得9
2
5
-
=
a
k，直线AC的方程为y－(9－a)＝
9
2
5
-
a
(x－a)即5x－(2a－9)y－2a2+22a－81＝0，又点C在圆M上，所以只需圆心到AC的距离小于等于圆的半径，即
2
34
)9
2(
25
81
22
2
)9
2(2
2
5
2
2
≤
-
+
-
+
-
-
-
⨯
a
a
a
a
，化简得a2－9a+18≤0，解得3≤a≤6；
②当a＝2时，则A（2，7）与直线x=2成45°角的直线为y－7＝x－2即x－y+5＝0，M到
它的距离
2
34
2
2
5
2
5
2
2
>
=
+
-
=
d，这样点C不在圆M上，还有x+y－9＝0，显然也不满足条件，故A点的横坐标范围为［3，6］。

21．解：⑴解（1）由
3
2
4
|
|=
AB可得
|MP
由射影定理得|
|
||
|
|
|2⋅
=MQ
MP
MB得
2
3
|
|
|
|
|
|2
2
2
2=
-
=
-
=MO
MQ
OQ
故5
5-
=
=a
a或，所以直线AB方程是
;0
5
2
5
2
5
2
5
2=
+
-
=
-
+y
x
y
x或
⑵连接MB，MQ，设),
0,
(
),
,
(a
Q
y
x
P由点M，P，Q在一直线上，得)
(,
2
2
A
x
y
a
-
=
-
由射影定理得|,
||
|
|
|2MQ
MP
MB⋅
=即)
(,1
4
)2
(2
2
2B
a
y
x=
+
⋅
-
+
把（A）及（B）消去a，并注意到2
<
y，可得).2
(
16
1
)
4
7
(2
2≠
=
-
+y
y
x
22．解：由题设，我们以直线OB,OA 分别为x 轴，y 轴建立直角坐标系，问题可转化为：求以M(3,3)点为圆心，半径为1的圆的切线被x 的正半轴和y 的正半轴所截的线段 AB 长的最小值。

设直线AB 的方程为
1x y a b
+=，∵它与圆()()22
331x y -+-=相切， ∴
331a b +-=……（1） ，又∵原点O(0,0)与点M(3,3)在直线1x y a b +=的
异侧，∴
33
10a b
+-> ，∴（1
3()a b ab =+- (2)
下面求AB =
a >0,
b >0）的最小值。

设
sin ,cos ,0,0,.2a r b r r πθθθ⎛⎫
==>∈ ⎪⎝⎭
代入（2）得()3sin cos 1sin cos r θθθθ+-=
，……（3） 再设t =sin θ+cos θ
,(
0,,2t πθ⎛⎫
∈∴∈ ⎪⎝⎭
.21sin cos 2t θθ-=,代入（3）
得2621
t r t -=
-
，2
620rt t r ∴--+=,记(
2()62,,0.f t rt t r t r =--+∈> 这里f (1)=
－4<0, 2
620rt t r ∴--+=
在(
t ∈
内有解⇔
2
02f
r r =-≥⇔≥。

这时.4
t π
θ=⇔=
这说明能水平移过的宽1米的矩形的长至多为min 3
()2627
r t =<⨯-=， 故该设备不能水平移进过道。

另解：()
(
226424,()[3]0,1111t
r r t t t t t t '=
+=-+<∈+-+-∴r (t ) 在(
t ∈上是减函数，min ()r t r ==
高三单元试题之八：圆锥曲线方程参考答案
一、1．C 2．D 3．B 4．A 5．A 6．D 7．C 8．A 9．C 10．D 11．B 12．C 二、13．(1,0) 14．3 15．)5(362--=x y 16．4(x －3)2＋9(y －2)2＝36
三、17．解：∵b ,a ,c 成等差数列，∴2a =b +c ；又∵a =|BC|=2,∴b +c =4>a ,即|AB|+|AC|=4>|BC|，
则顶点A 的轨迹为椭圆（除长轴顶点）。

由已知得椭圆的c ′=1，a ′=2，
∴椭圆方程为.13422=+y x 则顶点A 的轨迹方程为.13
42
2=+y x （x ≠0）。

18．解：由题意得C 为AP 中点，设)0,2(),,(00-A y x C ，),2,22(00y x P +
把C 点代入椭圆方程、P 点代入双曲线方程可得,12
4)22(312432
02
02
020⎪⎩⎪⎨
⎧=-+=+y x y x
解之得：)
0,2(),3,4(),23,1(,231
00B P C y x 又故⎪⎩
⎪
⎨⎧==
故直线PD 的斜率为232403=--，直线PD 的方程为),2(23-=x y 联立)23,1(1
34
)
2(232
2-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=+-=D y x x y 解得，故直线CD 的倾斜角为90°. 19．解：设C 的半焦距为c ，由对称性，不妨设l 1：y =－
a b x ，l 2：y =a
b
x 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
-==),(,
c x b
a y x a
b
y 得P （c a 2，c ab ），故点P 在椭圆的右准线x =c a 2上。

设点A 内分有向线段的比为λ，由定比分点坐标公式求出点A 的坐标为
λλ+⋅+1(
2c a c ，λ
λ+⋅
1c ab ），∵点A 在椭圆C 上，将点A 的坐标代入椭圆方程化简．整理得：
（c 2+λa 2)2+λ2a 4=a 2c 2(1+λ)2，两边同除以 a 4，由e =
a
c
得（e 2+λ)2+λ2=e 2(1+λ)2，∴λ2=24
2e 2e e --=－[（2－e 2)+2e 22-]+3≤－2)e
22()e 2(2
2
-⋅-+3=3－22=(2－1)2，当且仅当2－e 2=
2
e
22-即e 2=2－2时，λmax =2－1 分别过A 、B 作椭圆C 的右准线的垂线，垂足分别为N 、M 。

设|PB|=t |PA|，可得|BM|=t |AN|，∵|
||
|BM BF =e ，∴|BM|=e BF ||，同理有|AN|=e AF ||，∴
|BF|=t |AF|
∴|AB|=|BF|+|AF|=（t +1）|AF| 又∵|AB|=|PB|－|PA|=（t －1)|PA| ∴（t +1)|AF|=(t －1)|PA|，∴
11||||+-=t t AP FA ，又∵|
||
|AP FA =λ（∵A 为的内分点）
∴
1t 1t +-=λ，由λ≤2－1，解不等式1t 1t +-≤2－1，得t ≤2+1， ∴|
||
|PA PB 的最大值为2+1，此时椭圆C 的离心率e =22-
20．解：⑴.1,,),,(),,(2212212211=+∴b y a x B A y x B y x A 在椭圆上 ① 122
2
222=+b
y a x ②
4,)1,2(21=+∴x x AB M 中点为 ③y 1+y 2=2 ④
14
21
1,,,,2121-=-+=--∴
x x y y N M B A 四点共线 ⑤
①—②得212
12
212212212122121)()(,0))(())((x x y y a
y y b x x b y y y y a x x x x --=++=+-++-即…* 将③、④、⑤式代入*式，得a 2=2b 2,c 2=b 2
)2(22
,211222
1
分===e a
c e
设椭圆的右准线为1，过N 作NN ′⊥1，则由双曲线定义及题设知.
2|
42|2
2|4|2)42(||||2
222=-=-+-='=a c
a N N MN e 解之，得19
18,9,23)4(,2232
22
=+
====v x b a a a 椭圆方程为时当分或 . 当2=a 时，椭圆方程为,1222
=+y x 此时点M （2，1）在椭圆外，不可能是椭圆弦的中点，应舍去，故所求椭圆方程为
)6(19
182
2分=+y x ⑵由题设知AB 方程为y =-x +3，椭圆方程为x 2+2y 2-a 2=0. 由⎩⎨
⎧=-++-=0
23
2
22a y x x y 得3x 2-12x +18-a 2=0（8分）
)
11.(22222226)10(2222222222,.1|
42|22.6,07212)18(34)12(2
222分或分或得解之又解得由+<<<<∴+<<<<->->>-=-⨯--=∆a a a a a e a a a
故椭圆长轴2a 取值范围是)12)(424,24()24,62(分+⋃
21．解：⑴∵F 为定点，l 为定直线，,12
1|
|||<=PQ PF
∴由椭圆第二定义可知，P 点在以F 为左焦点，l 为左准线的椭圆上。

依题意知,3123,2122=∴⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=b c a c c
a a c 解得
∴曲线E 的标准方程为13
42
2=+y x 。

⑵设),0,1(),0,0(,23).,(),,(2211-=+F O y x B y x A 又
),2,2(),3(),,(2)0,1(3),(22112211y x y x y x y x =---=-+--∴即
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
-=+-=∴,2,231212y y x x
又∵A 、B 都在椭圆上，∴⎪⎩
⎪⎨⎧=-++-=+,12)2(4)23(312432
1212121y x y x
,8
5
3,47;453,212211±=-=±==
∴y x y x
).8
53,47(),453,21()853,47(),453,21(----∴B A B A 或
22．⑴以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标，并设点P 坐
标为P(x ，y )，设PA 、PB 分别切⊙O ′于E 、F ，则|PE|=|PF|，|AE|=|AC|，|BC|=|BF|， ∵|PA|－|PB|=|AC|－|BC|=202>，
故点P 的轨迹为以A 、B 为焦点，实轴长为22的双曲线右支（除去与x 轴交点） 由题意，2,2,22=∴==
b c a 故P 点轨迹E 的方程为：)2(222>=-x y x
⑵设直线l 的倾斜角为θ，直线l 方程为y =tan θ·(x －2)及x ＝2，注意到θ≠0， ∴直线l 方程可写成y ·cot θ＝x －2，由直线l 与E 交于M 、N 两点知)4
3
,4(
ππθ∈
由⎩⎨⎧=--=2
2cot 2
2y x x y θ ⇒02cot 4)1(cot 22=+⋅+-y y θθ 由|y 1－y 2|2=2
22
)1(cot )cot 1(8-+θθ得：S △AMN =θ
θθθsin 1
sin 2242cos sin 24||||2121-
=-=-⋅y y AB
由)43
,4(
ππθ∈，知)1,2
2
(sin ∈θ∵函数x x y 12-=在区间（0，－∞）上为增函数. ∴1sin =θ,即2
π
θ=时,(S △AMN )min =4.2
高三单元试题之九：直线、平面、简单几何体参考答案
一、1．D 2．A 3．C 4．B 5．C 6．B 7．C 8．B 9．D 10．C 11．C 12．A 二、13．1：2：3 14． ③④ 15．
3
42
16．矩形(长方形) 三、17．⑴平面BCD ⊥平面ABC ，BD ⊥BC ，平面BCD ∩平面ABC ＝BC ，∴BD ⊥平面ABC 。

AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥BD ，又AC ⊥AB ，BD ∩AB ＝B ，∴AC ⊥平面ABD 。

又AC ⊂平面ACD ，∴平面ABD ⊥平面ACD ；
⑵设BC 中点为E ，连AE ，过E 作EF ⊥CD 于F ，连AF 。

由三垂线定理：∠EFA 为二面角的平面角
2
t a n 3
2
3
~==∠∴==∴=∴
∆∆EF
AE
EFA AE EF CD CE
BD EF DBC EFC 又， ∴二面角的平面角的正切值为2 。

（III ）过点D 作DG//BC ，且CB ＝DG ，连AG ∴平面ADG 为平面α BC ∥平面ADG
∴B 到平面ADG 的距离与C 到平面ADG 的距离h
AE S h S V V BCD AGD CBD
A AGD C ∆∆--==3
1
31
7
7
6=
∴h ． 18．⑴解：在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∵AD ⊥BC ，∴D 是BC 的中点。

连A 1C 交AC 1于E ，则E 是A 1C 的中点，连ED ，则ED 为△A 1BC 的中位线。

∴ED ∥A 1B 。

又ED ⊂平面ADC 1，∴A 1B ∥平面ADC 。

⑴过D 作DM ⊥AC 于M ，∵正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧面ACC 1A 1⊥底面ABC ，
DM ⊂底面ABC ，∴DM ⊥侧面ACC 1A 1，作MN ⊥AC 1于N ，连ND ，则根据三垂线定理知：AC 1⊥ND ，∴AC 1⊥面NDM ，∴∠DNM 即为二面角D —AC 1—C 的平面角， 在R t △DMC 中，DM=DC ,2
32322160sin =⨯⨯=
在R t △ANM 中，NM=AM ,4
232224345sin 4345sin =⨯⨯==
AC 在R t △DMN 中，tan ∠DNM=
,3
6
4
2323==MN DM ,36
arctan
=∠∴DNM 即所求二面角的大小为.3
6arctan 19．解：证明
C
B
∵P －ABD ，Q －CBD 是相同的正三棱锥，∴△这BD 与△QBD 是全等的等腰三角形， 取BD 中点E ，连结PE ，QE ，则BD ⊥PE ，BD ⊥QE ∴BD ⊥平面PQE ，从而PQ ⊥BD 。

⑵证明：由⑴知∠PEQ 是二面角P －BD －Q 的平面角；
作PM ⊥α，垂足为M ，作QN ⊥α，垂足为N ，则PM//QN ，M ，N 分别为正∆ABD 与正∆BCD 的中心，从而A ，M ，E ，N ，C 在一条直线上。

PM 与QN 确定平面PACD 且PMNQ 为矩形 经计算ME NE ==
36，PE QE PQ MN ====1233
, ∴∠=+-⋅=∴∠=cos ,arccos PEQ PE QE PQ PE QE PEQ 2222131
3
，
∴二面角P BD Q --为arccos
1
3。

⑶解：由⑴知：BD ⊥平面PEQ ，设点P 到平面QBD 的距离为h 则V S h h P QBD QBD -=
⋅⋅=13112
∆ 又 V S BD PEQ P QBD PEQ -=
⋅⋅=∠=-=
131241241132
36
2∆sin () ∴
=∴=11223623h h ,。

即点P 到平面QBD 的距离为2
3。

20．⑴（如右图）证：.,,2,1,90222AC CD AD DC AC AC BC AB ABC ⊥∴=+∴=∴==︒=∠
又︒=∠90PAB ，且平面PAB ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥平面ABCD.
∴PA ⊥CD. ∴CD ⊥平面PAC. 又CD ⊂平面PCD ， ∴平面PCD ⊥平面PAC.
（2）过A 作AE ⊥PC 于E. ∴AE ⊂平面PAC.
由（1）知平面PAC ⊥平面PDC ， ∴AE ⊥平面PCD. 连接ED ， ∴∠ADE 是直线AD 与平面PDC 所成的角. 622=+=AC PA PC
，
.3/3/sin .3/32/==∠∴=⋅=∴AD AE ADE PC AC PA AE
（3）解由（2）∵AE ⊥平面PDC ，过E 作EF ⊥PD 于F ，连结AF ，∴AF ⊥PD. ∴∠AFE 是二面角A —PD —C 的平面角.
.3/6/sin ,2,22==∠∴==∴AF AE AFE AF PD 21．解：⑴在.2
sin 400)cos 1(200cos 200200,2
2γ
γγ=-=-=∆AB ABS 中同理
.
2
sin 400,2
sin 4002
2
2αβ
==BC AC 因为2
sin 2sin 2sin 222γβα=+，所以AC 2+BC 2+AB 2，即△ABC 是直角三角形（∠ACB=90°）.又SA=SB=SC=10，则S 在底面的射影O 为△ABC 的外心，由△ABC 是直角三角形知O 为斜边AB 的中点. ∴SO ⊥平面ABC ，SO ⊂平面SAB. ∴平面SAB ⊥平面ABC.
⑵可求得
.
2cos
10.2
sin
2sin
2002
122γβα=-==⋅=
∆AO SA SO BC AC S ABC 22．⑴过A 作AE ∥BD ，过D 在作DE ⊥AE ，垂足为E ， AB ⊥BD ∴AB ⊥AE 又 AB
⊥AC ∴∠CAE 为二面角C －AB －D 的平面角，这时AB ⊥平面ACE ，于是DE ⊥ 平
面ACE,连CE 在R t △CDE 中，CD=42，DE=AB=4，∴CE=4，在△ACE 中，AE=BD=3，AC=2，由余弦定理得.4
1
arccos ,412321694cos -=∠∴-=⋅⋅-+=
∠πCAE CAE
即二面角C —AB —D 的大小为.4
1
arccos -π；
⑵由⑴可知4
15
sin =
∠CAE ，过C 在平面ACE 内作CH ⊥AE ，垂足为H ，∵AB ⊥平面ACE ，∴平面ABD ⊥平面ACE ，∴CH ⊥平面ABD ，则CH 为C 到平面ABD 的距离，
2
15
2154152sin 的距离为
到平面即ABD C CAE AC CH =⋅
=∠=； ⑶∴AB ∥DE ，∴AB 与平面CDE 的距离即AB 与CD 的距离，在平面ACE 内作AN
⊥CE ，垂足为N ， DE ⊥平面ACE 。

∴平面CDE ⊥平面ACE ，于是AN ⊥平面CDE 。

则AN 为AB 与平面CDE 的距离。

在△ACE 中可得
AN=
81534215
332sin =⋅
⋅=
∠⋅⋅CE
CAE
AE AC ，即AB 与CD 。

P
F
D C
E
A
高三单元试题之十：空间向量参考答案
一、1．A 2．C 3．D 4．B 5．B 6．A 7．C 8．D 9．D 10．B 11．C 12．D 二、13．
163或－11 14．2
43
x -<< 15．0
16．
三、17．解：⑴建立如图所示的空间直角坐标系，取A （0，0，a ）. 由),0,0,0(),0,2
3
,23(),0,3,0(30B a a C a D ADB 可得 =∠
).2
,23,0(),2,43,43(a a F a a a E 所以)0,23,23(),0,0(),0,43,43(a a a a a ==-=
因为 BC EF AB EF ⊥⊥=⋅=⋅,,0,0所以
所以ABC DEF BEF EF ABC EF 平面所以平面平面又平面⊥≠⊥.,
⑵作216
3)
0,23,0(,)0,43,43(,a S a F F BD F F a a E E BC E E F E B =
''⊥'''⊥'''∆于作于
EF BE a a a a a ⊥=⋅-==所以显然,0)0,4
3
,43(),2,43,43(
所以.5151015/163cos ,1615,46||.410||222=====∆a a a S a a BEF θ所以
所以θ=,5
15arccos 即平面BEF 和平面BCD 所成的角为.515arccos
18．解：⑴设正三棱柱的高为h ，由AB=2及正三棱柱的性质知
B ),1,3(),,1,0(),0,1,0(),,0,3(),0,0,3(111h AB h
C A h B =∴- ),,1,3(1h BC -=又0,1111=⋅∴⊥BC AB BC AB ，
即,2,011)3(322==+⨯+-⨯h h 得
2,0=∴>h h ，则正三棱柱的侧棱长为2.
⑵连结AC 1，∵点M 是BC 1的中点
.21
2121)(21)(2111111AC AA AB C A AA AB AC AB AM ++=++=+=∴
⑶),2,1,3(),0,1,3(),10,0(),0,0,3(1=-=∴AB C B 又
,20211)3(31-=⨯+⨯+-⨯=⋅∴BC AB 2013||,6213||=++==++=，
而,6
62
62|
|||,cos 1111-=
⨯-=
⋅>=
<BC AB BC AB
∴异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值为.6
6．
19．解：⑴解法（一）（1）以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系0－xyz ，则D （0，0，0），A （2，0，0），C （0，2，0），B （2，2，0）， A 1（2，0，4），D 1（0，0，4），C 1（0，2，4），B 1（2，2，4）， 设E （0，2，t ），则∵),4,0,2(),,0,2(,11--=-=⊥B t C B BE
,1,04041=∴=-+=⋅∴t t C B BE
404),0,2,2(),4,2,2(),
1,0,2(),1,2,0(11=-+=⋅∴=--=-=∴BE C A A E 又 且,00441=++-=⋅DB C A
,11A A ⊥⊥∴且
BDE C A BE C A DB C A 平面且⊥∴⊥⊥∴111,
（2）设A 1C ∩平面BDE=K ， 设A 1C ∩平面BDE=K ，
),
4,22,22(),
,22,2(),,22,2()1,2,0()0,2,2(1-+-=∴+∴+=+=⋅+⋅=n n m m A n n m m K n n m m n m n m 设
0120)22(2)22(211=-+⇒=++-=⋅⇒⊥n m n m m A A …①
同理有045404)22(211=-+⇒=-++=⋅⇒⊥n m n n m A A …②
由①，②联立解得),3
10
,35,35(,32,611--=∴==
K A n m
,52||,3
6
5||11==
∴A A 又易知
,630526
35||||sin 111===∠∴B A A BK A 即所求角的正弦值是6
30
解法（二）（1）证明：连AC 交BD 于点O ，由正四棱柱性质可知AA 1⊥底面ABCD ，AC
⊥BD ，∴A 1C ⊥BD 又∵A 1B ⊥侧面BC 1且B 1C ⊥BE ， ∴A 1C ⊥BE ， ∵BD ∩BE=B ， ∴A 1C ⊥平面BDE （2）解：设A 1C 交平面BDE 于点K ，连BK ，
则∠A 1BK 为A 1B 与平面BDE 所成的角，
∵在侧面BC 1中BE ⊥B 1C ，∴△BCE ∽△B 1BC ，
1,4,2,11
=∴===∴
CE BB BC BB BC
BC CE 又
连结OE ，则OE 为平面ACC 1A 1与平面DBE 的交线，
1
,1,22
,
OE
AC K Rt ECO CO AC AB OE OE CK EC CO CK ∴=∆=
==∴==⋅=⋅∴==
在中又
3
6
53662,
62121221=
-=∴=++=
K A AA BC AB C A
6304
26
35sin 221111=+==
∠∆∴B
A K
A BK A BK A Rt 中在
即为A 1B 与平面BDE 所成的角的正弦值.
20．解：⑴因为BD AB CA CD BD CA BD AC ++=>=<>=<又所以.120,,60, ，故有
BD
CA BD AB AB CA BD AB CA BD AB CA BD AB CA CD CD ⋅+⋅+⋅+++=++++==222))((||2，
因为CA ⊥AB ，BD ⊥AB ，所以.0,0=⋅=⋅ 所以172||.682
1
862846||2
2
2
2
==⨯
⨯⨯-++=所以. （2）过C 作CE ⊥平面α于E ，连接AE 、CE 在△ACE 中，CE=6sin 60°=33，连接DE ，则∠CDE 就是CD 与平面α所成角。

34
51
3arcsin
.3451317233sin =∠===
∠CDE CD CE CDE 所以. 21．⑴证：∵AE ＝BF ＝x ，∴A ′(a ,0,a )、C ′(0,a ,a )、E(a ,x ,0)、F(a －x ,
),,,,(),,,(a a x a C a a x A --='--='∴……4分 2)(a a x a ax E C F A +-+-='⋅',022=+-+-=a a ax ax
∴A ′F ⊥C ′E 。

⑵由BF ＝x ，EB ＝a －x ，
A
B D
C
A 1
B 1
D 1
C 1
E
F
K
O。